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Theorem prmreclem5 13243
 Description: Lemma for prmrec 13245. Here we show the inequality by decomposing the set into the disjoint union of the set of those numbers that are not divisible by any "large" primes (above ) and the indexed union over of the numbers that divide the prime . By prmreclem4 13242 the second of these has size less than times the prime reciprocal series, which is less than by assumption, we find that the complementary part must be at least large. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmrec.5
prmrec.6
prmrec.7
Assertion
Ref Expression
prmreclem5
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem prmreclem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmrec.3 . . . 4
21nnred 9971 . . 3
32rehalfcld 10170 . 2
4 fzfi 11266 . . . . . 6
5 prmrec.4 . . . . . . 7
6 ssrab2 3388 . . . . . . 7
75, 6eqsstri 3338 . . . . . 6
8 ssfi 7288 . . . . . 6
94, 7, 8mp2an 654 . . . . 5
10 hashcl 11594 . . . . 5
119, 10ax-mp 8 . . . 4
1211nn0rei 10188 . . 3
1312a1i 11 . 2
14 2nn 10089 . . . . 5
15 prmrec.2 . . . . . 6
1615nnnn0d 10230 . . . . 5
17 nnexpcl 11349 . . . . 5
1814, 16, 17sylancr 645 . . . 4
1918nnred 9971 . . 3
201nnrpd 10603 . . . . 5
2120rpsqrcld 12169 . . . 4
2221rpred 10604 . . 3
2319, 22remulcld 9072 . 2
242recnd 9070 . . . . . 6
25242halvesd 10169 . . . . 5
267a1i 11 . . . . . . . . 9
2715peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . 13
28 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13
29 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . 14
3029uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . 13
3127, 28, 30syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
32 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15
36 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15
3935, 36, 38fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14
4039adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
41 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl6eqss 3358 . . . . . . . . . . . 12
4331, 42syldan 457 . . . . . . . . . . 11
4443ralrimiva 2749 . . . . . . . . . 10
45 iunss 4092 . . . . . . . . . 10
4644, 45sylibr 204 . . . . . . . . 9
4726, 46unssd 3483 . . . . . . . 8
48 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4948notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5049cbvralv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5251notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5450, 53syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . 15
5554, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14
56 elun1 3474 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13
5857ex 424 . . . . . . . . . . . 12
5958adantl 453 . . . . . . . . . . 11
60 dfrex2 2679 . . . . . . . . . . . 12
61 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6261ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6463ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6766, 29syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6815nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6968ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
70 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7167, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7262, 71mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7315nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7566nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7674, 75ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7772, 76mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78 prmz 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7964, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
80 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8169, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8277, 81mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8584nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
862ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88 dvdsle 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8979, 84, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9087, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9375, 85, 86, 90, 92letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9468peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
961nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9796ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 elfz 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9979, 95, 97, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10082, 93, 99mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10264, 87jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10351anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104103elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105101, 102, 104sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108107rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10937rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110108, 36, 109fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11166, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112105, 111eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116100, 112, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 eliun 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15
118116, 117sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
119 elun2 3475 . . . . . . . . . . . . . 14
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
121120rexlimdvaa 2791 . . . . . . . . . . . 12
12260, 121syl5bir 210 . . . . . . . . . . 11
12359, 122pm2.61d 152 . . . . . . . . . 10
124123ex 424 . . . . . . . . 9
125124ssrdv 3314 . . . . . . . 8
12647, 125eqssd 3325 . . . . . . 7
127126fveq2d 5691 . . . . . 6
1281nnnn0d 10230 . . . . . . 7
129 hashfz1 11585 . . . . . . 7
130128, 129syl 16 . . . . . 6
131127, 130eqtr2d 2437 . . . . 5
1329a1i 11 . . . . . 6
133 ssfi 7288 . . . . . . 7
1344, 46, 133sylancr 645 . . . . . 6
135 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136 noel 3592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138137biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140138, 139syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14173ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143141, 142syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145144eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146140, 145bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147136, 146mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148135, 147eldifd 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
150149notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151150ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152151, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153152simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156155notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157156rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158148, 154, 157sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15
159158expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14
160 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . 14
161159, 160sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
16231adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
164163eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
165 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166165anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14
169164, 168syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . 13
170161, 169mtod 170 . . . . . . . . . . . 12
171170nrexdv 2769 . . . . . . . . . . 11
172171, 117sylnibr 297 . . . . . . . . . 10
173172ex 424 . . . . . . . . 9
174 imnan 412 . . . . . . . . 9
175173, 174sylib 189 . . . . . . . 8
176 elin 3490 . . . . . . . 8
177175, 176sylnibr 297 . . . . . . 7
178177eq0rdv 3622 . . . . . 6
179 hashun 11611 . . . . . 6
180132, 134, 178, 179syl3anc 1184 . . . . 5
18125, 131, 1803eqtrd 2440 . . . 4
182 hashcl 11594 . . . . . . 7
183134, 182syl 16 . . . . . 6
184183nn0red 10231 . . . . 5
185 fzfid 11267 . . . . . . . 8
18627, 30sylan 458 . . . . . . . . . 10
187 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . 11
188 0re 9047 . . . . . . . . . . 11
189 ifcl 3735 . . . . . . . . . . 11
190187, 188, 189sylancl 644 . . . . . . . . . 10
191186, 190syl 16 . . . . . . . . 9
19228, 191sylan2 461 . . . . . . . 8
193185, 192fsumrecl 12483 . . . . . . 7
1942, 193remulcld 9072 . . . . . 6
195 prmrec.1 . . . . . . . 8
196 prmrec.5 . . . . . . . 8
197 prmrec.6 . . . . . . . 8
198195, 15, 1, 5, 196, 197, 36prmreclem4 13242 . . . . . . 7
199 eluz 10455 . . . . . . . . . 10
20096, 68, 199syl2anc 643 . . . . . . . . 9
201 nnleltp1 10285 . . . . . . . . . 10
2021, 15, 201syl2anc 643 . . . . . . . . 9
203 fzn 11027 . . . . . . . . . 10
20494, 96, 203syl2anc 643 . . . . . . . . 9
205200, 202, 2043bitrd 271 . . . . . . . 8
206 0le0 10037 . . . . . . . . . 10
20724mul01d 9221 . . . . . . . . . 10
208206, 207syl5breqr 4208 . . . . . . . . 9
209 iuneq1 4066 . . . . . . . . . . . . 13
210 0iun 4108 . . . . . . . . . . . . 13
211209, 210syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12
212211fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
213 hash0 11601 . . . . . . . . . . 11
214212, 213syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10
215 sumeq1 12438 . . . . . . . . . . . 12
216 sum0 12470 . . . . . . . . . . . 12
217215, 216syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11
218217oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10
219214, 218breq12d 4185 . . . . . . . . 9
220208, 219syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8
221205, 220sylbid 207 . . . . . . 7
222 uztric 10463 . . . . . . . 8
22368, 96, 222syl2anc 643 . . . . . . 7
224198, 221, 223mpjaod 371 . . . . . 6
225 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
226 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13
227 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13
228 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13
229226, 227, 228ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12
230 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13
231 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . 13
232230, 231ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12
233229, 195, 232fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11
234186, 233syl 16 . . . . . . . . . 10
235190recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14
236233, 235eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13
237236adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
23829, 27, 237iserex 12405 . . . . . . . . . . 11
239196, 238mpbid 202 . . . . . . . . . 10
240225, 94, 234, 191, 239isumrecl 12504 . . . . . . . . 9
241 1re 9046 . . . . . . . . . . 11
242241rehalfcli 10172 . . . . . . . . . 10
243242a1i 11 . . . . . . . . 9
244 fzssuz 11049 . . . . . . . . . . 11
245244a1i 11 . . . . . . . . . 10
246 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . 14
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