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Theorem prmreclem4 13242
 Description: Lemma for prmrec 13245. Show by induction that the indexed (nondisjoint) union is at most the size of the prime reciprocal series. The key counting lemma is hashdvds 13119, to show that the number of numbers in that divide is at most . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmrec.5
prmrec.6
prmrec.7
Assertion
Ref Expression
prmreclem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem prmreclem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . . . 7
21iuneq1d 4076 . . . . . 6
32fveq2d 5691 . . . . 5
41sumeq1d 12450 . . . . . 6
54oveq2d 6056 . . . . 5
63, 5breq12d 4185 . . . 4
76imbi2d 308 . . 3
8 oveq2 6048 . . . . . . 7
98iuneq1d 4076 . . . . . 6
109fveq2d 5691 . . . . 5
118sumeq1d 12450 . . . . . 6
1211oveq2d 6056 . . . . 5
1310, 12breq12d 4185 . . . 4
1413imbi2d 308 . . 3
15 oveq2 6048 . . . . . . 7
1615iuneq1d 4076 . . . . . 6
1716fveq2d 5691 . . . . 5
1815sumeq1d 12450 . . . . . 6
1918oveq2d 6056 . . . . 5
2017, 19breq12d 4185 . . . 4
2120imbi2d 308 . . 3
22 oveq2 6048 . . . . . . 7
2322iuneq1d 4076 . . . . . 6
2423fveq2d 5691 . . . . 5
2522sumeq1d 12450 . . . . . 6
2625oveq2d 6056 . . . . 5
2724, 26breq12d 4185 . . . 4
2827imbi2d 308 . . 3
29 0le0 10037 . . . . . 6
30 prmrec.3 . . . . . . . 8
3130nncnd 9972 . . . . . . 7
3231mul01d 9221 . . . . . 6
3329, 32syl5breqr 4208 . . . . 5
34 prmrec.2 . . . . . . . . . . . 12
3534nnred 9971 . . . . . . . . . . 11
3635ltp1d 9897 . . . . . . . . . 10
3734nnzd 10330 . . . . . . . . . . . 12
3837peano2zd 10334 . . . . . . . . . . 11
39 fzn 11027 . . . . . . . . . . 11
4038, 37, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
4136, 40mpbid 202 . . . . . . . . 9
4241iuneq1d 4076 . . . . . . . 8
43 0iun 4108 . . . . . . . 8
4442, 43syl6eq 2452 . . . . . . 7
4544fveq2d 5691 . . . . . 6
46 hash0 11601 . . . . . 6
4745, 46syl6eq 2452 . . . . 5
4841sumeq1d 12450 . . . . . . 7
49 sum0 12470 . . . . . . 7
5048, 49syl6eq 2452 . . . . . 6
5150oveq2d 6056 . . . . 5
5233, 47, 513brtr4d 4202 . . . 4
5352a1i 11 . . 3
54 fzfi 11266 . . . . . . . . . . 11
55 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . 15
5634peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5956, 58sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16
60 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
61 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6260, 61anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6362rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64 prmrec.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6763, 64, 66fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7068, 69syl6eqss 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7159, 70syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
7255, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
7372ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
75 iunss 4092 . . . . . . . . . . . 12
7674, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
77 ssfi 7288 . . . . . . . . . . 11
7854, 76, 77sylancr 645 . . . . . . . . . 10
79 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10
8078, 79syl 16 . . . . . . . . 9
8180nn0red 10231 . . . . . . . 8
8230nnred 9971 . . . . . . . . . 10
8382adantr 452 . . . . . . . . 9
84 fzfid 11267 . . . . . . . . . 10
8556adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
8685, 55, 58syl2an 464 . . . . . . . . . . 11
87 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . 12
88 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12
89 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . 12
9087, 88, 89sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
9186, 90syl 16 . . . . . . . . . 10
9284, 91fsumrecl 12483 . . . . . . . . 9
9383, 92remulcld 9072 . . . . . . . 8
94 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . 12
95 nnrecre 9992 . . . . . . . . . . . 12
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11
9796adantl 453 . . . . . . . . . 10
9888a1i 11 . . . . . . . . . 10
9997, 98ifclda 3726 . . . . . . . . 9
10083, 99remulcld 9072 . . . . . . . 8
10181, 93, 100leadd1d 9576 . . . . . . 7
102 eluzp1p1 10467 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13
105 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . 13
10690recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14
10759, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
108104, 105, 107syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12
109 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13
110 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13
111 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13
112109, 110, 111ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12
113103, 108, 112fsumm1 12492 . . . . . . . . . . 11
114 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116115zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15
117 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15
119116, 117, 118sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
120119oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13
121120sumeq1d 12450 . . . . . . . . . . . 12
122121oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11
123113, 122eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10
124123oveq2d 6056 . . . . . . . . 9
12531adantr 452 . . . . . . . . . 10
12692recnd 9070 . . . . . . . . . 10
12799recnd 9070 . . . . . . . . . 10
128125, 126, 127adddid 9068 . . . . . . . . 9
129124, 128eqtrd 2436 . . . . . . . 8
130129breq2d 4184 . . . . . . 7
131101, 130bitr4d 248 . . . . . 6
132105, 71sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14
133132ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13
134133adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
135 iunss 4092 . . . . . . . . . . . 12
136134, 135sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
137 ssfi 7288 . . . . . . . . . . 11
13854, 136, 137sylancr 645 . . . . . . . . . 10
139 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10
140138, 139syl 16 . . . . . . . . 9
141140nn0red 10231 . . . . . . . 8
14257uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . 15
14334, 142sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
144143peano2nnd 9973 . . . . . . . . . . . . 13
14570ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . 14
146145adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
147 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14
149148rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . 13
150144, 146, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
151 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . 12
15254, 150, 151sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
153 hashcl 11594 . . . . . . . . . . 11
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10
155154nn0red 10231 . . . . . . . . 9
15681, 155readdcld 9071 . . . . . . . 8
15781, 100readdcld 9071 . . . . . . . 8
15838adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
159 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
16034nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163161, 117, 162sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
164163fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14
165159, 164eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . 13
166 fzsuc2 11060 . . . . . . . . . . . . 13
167158, 165, 166syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
168167iuneq1d 4076 . . . . . . . . . . 11
169 iunxun 4132 . . . . . . . . . . . 12
170 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14
171170, 147iunxsn 4130 . . . . . . . . . . . . 13
172171uneq2i 3458 . . . . . . . . . . . 12
173169, 172eqtri 2424 . . . . . . . . . . 11
174168, 173syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10
175174fveq2d 5691 . . . . . . . . 9
176 hashun2 11612 . . . . . . . . . 10
17778, 152, 176syl2anc 643 . . . . . . . . 9
178175, 177eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8
17983, 144nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . . 14
180 flle 11163 . . . . . . . . . . . . . 14
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
182 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
183182nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
184183subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
185184breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186185rabbiia 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15
187186fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . 14
188 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
189188a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
19030nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
192117subidi 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
193192fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
194191, 193eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
195190, 194syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
196195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
197 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
199144, 189, 196, 198hashdvds 13119 . . . . . . . . . . . . . . 15
200125subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201200oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202201fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203192oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
205204subidi 9327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
206203, 205eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
207206oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208144nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
209144nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
210208, 209div0d 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
211207, 210syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
212211fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
213 flid 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
214197, 213ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
215212, 214syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
216202, 215oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15
217179flcld 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
218217zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219218subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . . . 15
220199, 216, 2193eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . 14
221187, 220syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . 13
222125, 208, 209divrecd 9749 . . . . . . . . . . . . . 14
223222eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . 13
224181, 221, 2233brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . 12
225224adantr 452 . . . . . . . . . . 11
226 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
227 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
228226, 227anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
229228rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23065rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . 16
231229, 64, 230fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15
232144, 231syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
233232adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
234 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
235234biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . . 14
236235rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . 13
237233, 236eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12
238237fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
239 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13
240239adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
241240oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11
242225, 238, 2413brtr4d 4202 . . . . . . . . . 10
24329a1i 11 . . . . . . . . . . 11
244 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
245244con3i 129 . . . . . . . . . . . . . . . 16
246245ralrimivw 2750 . . . . . . . . . . . . . . 15
247 rabeq0 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15
248246, 247sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14
249232, 248sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . 13
250249fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12
251250, 46syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11
252 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . 13
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