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Theorem prmreclem3 14294
Description: Lemma for prmrec 14298. The main inequality established here is  # M  <_  # { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  x.  sqr N, where  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } is the set of squarefree numbers in  M. This is demonstrated by the map  y  |->  <. y  /  ( Q `  y ) ^ 2 ,  ( Q `  y ) >. where  Q `  y is the largest number whose square divides  y. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmreclem2.5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem3  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( sqr `  N
) ) )
Distinct variable groups:    n, p, r, F    n, K, p   
n, M, p    ph, n, p    Q, n, p, r   
n, N, p
Allowed substitution hints:    ph( r)    K( r)    M( r)    N( r)

Proof of Theorem prmreclem3
Dummy variables  x  y  z  A are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12049 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
2 prmrec.4 . . . . . . 7  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
3 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N )
42, 3eqsstri 3534 . . . . . 6  |-  M  C_  ( 1 ... N
)
5 ssfi 7740 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  M  C_  ( 1 ... N ) )  ->  M  e.  Fin )
61, 4, 5mp2an 672 . . . . 5  |-  M  e. 
Fin
7 hashcl 12395 . . . . 5  |-  ( M  e.  Fin  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  M )  e.  NN0
98nn0rei 10805 . . 3  |-  ( # `  M )  e.  RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  RR )
11 2nn 10692 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
12 prmrec.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1312nnnn0d 10851 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
14 nnexpcl 12146 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ K
)  e.  NN )
1511, 13, 14sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  NN )
1615nnnn0d 10851 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  NN0 )
17 prmrec.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1817nnrpd 11254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
1918rpsqrtcld 13205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  RR+ )
2019rprege0d 11262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )
21 flge0nn0 11921 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  NN0 )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  NN0 )
2316, 22nn0mulcld 10856 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
NN0 )
2423nn0red 10852 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
2515nnred 10550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  RR )
2619rpred 11255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  RR )
2725, 26remulcld 9623 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
28 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  C_  M
29 ssfi 7740 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } 
C_  M )  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin )
306, 28, 29mp2an 672 . . . . . 6  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin
31 hashcl 12395 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( # `
 { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )  e. 
NN0 )
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  e.  NN0
3332nn0rei 10805 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  e.  RR
3422nn0red 10852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
35 remulcl 9576 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  e.  RR )
3633, 34, 35sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( |_
`  ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
37 fzfi 12049 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  e.  Fin
38 xpfi 7790 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e. 
Fin )
3930, 37, 38mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e.  Fin
40 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  M )
414, 40sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
42 elfznn 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  NN )
44 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
4544prmreclem1 14292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
4645simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 ) 
||  y )
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 ) 
||  y )
4845simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN  ->  ( Q `  y )  e.  NN )
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  NN )
5049nnsqcld 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN )
5150nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  ZZ )
5250nnne0d 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =/=  0 )
5343nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  ZZ )
54 dvdsval2 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y 
<->  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e.  ZZ ) )
5647, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
57 nnre 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
58 nngt0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
5957, 58jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )
60 nnre 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  RR )
61 nngt0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )
6260, 61jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
63 divgt0 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  /\  ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  -> 
0  <  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
6459, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  0  <  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
6543, 50, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  0  <  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) )
66 elnnz 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
6756, 65, 66sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN )
6867nnred 10550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  RR )
6943nnred 10550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  RR )
7017nnred 10550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  RR )
72 dvdsmul1 13865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ||  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
7356, 51, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) 
||  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
7443nncnd 10551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  CC )
7550nncnd 10551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  CC )
7674, 75, 52divcan1d 10320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  y )
7773, 76breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) 
||  y )
78 dvdsle 13889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ||  y  ->  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  <_  y )
)
7956, 43, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ||  y  -> 
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  <_  y )
)
8077, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  <_  y )
81 elfzle2 11689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  <_  N )
8241, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  <_  N )
8368, 69, 71, 80, 82letrd 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  <_  N )
84 nnuz 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8567, 84syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
8617nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  ZZ )
88 elfz5 11679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <_  N ) )
8985, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <_  N ) )
9083, 89mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N ) )
91 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  y
) )
9291notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  y ) )
9392ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
9493, 2elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  M  <->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
9540, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  y ) )
9695simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
9777adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  ||  y )
98 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  Prime )
99 prmz 14079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  ZZ )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
10256adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
10353adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
104 dvdstr 13877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  /\  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  ||  y )  ->  p  ||  y ) )
105101, 102, 103, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  /\  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ||  y )  ->  p  ||  y
) )
10697, 105mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ->  p  ||  y
) )
107106con3d 133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( -.  p  ||  y  ->  -.  p  ||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
108107ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  y  ->  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
10996, 108mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
110 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
111110notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
112111ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
113112, 2elrab2 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K
) )  -.  p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
11490, 109, 113sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M )
11544prmreclem1 14292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( A ^ 2 )  ||  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  /  ( ( Q `
 ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
116115simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) 
||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
11767, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) 
||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
118115simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN )
11967, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN )
120 elnn1uz2 11157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN  <->  ( ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1  \/  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
121119, 120sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  \/  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
122121ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( -.  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  -> 
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
12344prmreclem1 14292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) )  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
124123simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
12543, 122, 124sylsyld 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( -.  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
126117, 125mt4d 138 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 )
127 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
128127eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
129128elrab 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M  /\  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
130114, 126, 129sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )
13150nnred 10550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  RR )
132 dvdsle 13889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( Q `
 y ) ^
2 )  ||  y  ->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_  y )
)
13351, 43, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  -> 
( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_  y )
)
13447, 133mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  y )
135131, 69, 71, 134, 82letrd 9737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  N )
13671recnd 9621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  CC )
137136sqsqrtd 13232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( sqr `  N
) ^ 2 )  =  N )
138135, 137breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  N ) ^ 2 ) )
13949nnrpd 11254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  RR+ )
14019adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
141 rprege0 11233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  y )  e.  RR+  ->  ( ( Q `  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( Q `  y
) ) )
142 rprege0 11233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  N )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )
143 le2sq 12209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Q `  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( Q `  y ) )  /\  ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )  -> 
( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N )  <->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
144141, 142, 143syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  y
)  e.  RR+  /\  ( sqr `  N )  e.  RR+ )  ->  ( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N
)  <->  ( ( Q `
 y ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
145139, 140, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  <_  ( sqr `  N )  <->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
146138, 145mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N
) )
14726adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( sqr `  N )  e.  RR )
14849nnzd 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ZZ )
149 flge 11909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  ( Q `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  <_  ( sqr `  N )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
151146, 150mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
15249, 84syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
15322nn0zd 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  ZZ )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  ZZ )
155 elfz5 11679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( Q `
 y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
156152, 154, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
157151, 156mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
158 opelxpi 5030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  ( Q `  y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
159130, 157, 158syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
160159ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  M  -> 
<. ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
161 ovex 6308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e. 
_V
162 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 y )  e. 
_V
163161, 162opth 4721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>. 
<->  ( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  /\  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) ) )
164 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  y )  =  ( Q `  z )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )
165 oveq12 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  =  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  ->  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
166164, 165sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )  /\  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) )  -> 
( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) )
167163, 166sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>.  ->  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
16876adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  y )
16942ssriv 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
1704, 169sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  C_  NN
171 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  M )
172170, 171sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  NN )
173172nncnd 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  CC )
17444prmreclem1 14292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( Q `  z
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  z ) ^ 2 )  ||  z  /\  ( 2  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  -.  ( 2 ^ 2 )  ||  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ) ) )
175174simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  ( Q `  z )  e.  NN )
176172, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( Q `  z
)  e.  NN )
177176nnsqcld 12297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  e.  NN )
178177nncnd 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  e.  CC )
179177nnne0d 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  =/=  0 )
180173, 178, 179divcan1d 10320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  =  z )
181168, 180eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  <-> 
y  =  z ) )
182167, 181syl5ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( <. ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y )
>.  =  <. ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ,  ( Q `  z
) >.  ->  y  =  z ) )
183 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
184 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) )
185184oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )
186183, 185oveq12d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
187186, 184opeq12d 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  =  <. ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z ) >. )
188182, 187impbid1 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( <. ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y )
>.  =  <. ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ,  ( Q `  z
) >. 
<->  y  =  z ) )
189188ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  M  /\  z  e.  M )  ->  ( <. ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
190160, 189dom2d 7556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )  e.  Fin  ->  M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
19139, 190mpi 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )
192 hashdom 12414 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  M )  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  <-> 
M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) ) )
1936, 39, 192mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  <-> 
M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )
194191, 193sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
195 hashxp 12457 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )  =  ( (
# `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
19630, 37, 195mp2an 672 . . . . 5  |-  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  =  ( ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
197 hashfz1 12386 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
19822, 197syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
199198oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )  =  ( (
# `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
200196, 199syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  =  ( ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
201194, 200breqtrd 4471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( ( # `
 { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
20233a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  e.  RR )
20322nn0ge0d 10854 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )
204 prmrec.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
205204, 12, 17, 2, 44prmreclem2 14293 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
206202, 25, 34, 203, 205lemul1ad 10484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( |_
`  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
20710, 36, 24, 201, 206letrd 9737 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
20815nnrpd 11254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  RR+ )
209208rprege0d 11262 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ K ) ) )
210 fllelt 11901 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  N )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N
)  /\  ( sqr `  N )  <  (
( |_ `  ( sqr `  N ) )  +  1 ) ) )
21126, 210syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N )  /\  ( sqr `  N )  < 
( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  +  1 ) ) )
212211simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N
) )
213 lemul2a 10396 . . 3  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR  /\  ( sqr `  N )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ K
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ K ) ) )  /\  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N ) )  -> 
( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) ) )
21434, 26, 209, 212, 213syl31anc 1231 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) ) )
21510, 24, 27, 207, 214letrd 9737 1  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( sqr `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   supcsup 7899   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    < clt 9627    <_ cle 9628    / cdiv 10205   NNcn 10535   2c2 10584   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   RR+crp 11219   ...cfz 11671   |_cfl 11894   ^cexp 12133   #chash 12372   sqrcsqrt 13028    || cdivides 13846   Primecprime 14075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-dvds 13847  df-gcd 14003  df-prm 14076  df-pc 14219
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