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Theorem prmreclem3 14825
Description: Lemma for prmrec 14829. The main inequality established here is  # M  <_  # { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  x.  sqr N, where  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } is the set of squarefree numbers in  M. This is demonstrated by the map  y  |->  <. y  /  ( Q `  y ) ^ 2 ,  ( Q `  y ) >. where  Q `  y is the largest number whose square divides  y. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
prmrec.2  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
prmrec.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmrec.4  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
prmreclem2.5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem3  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( sqr `  N
) ) )
Distinct variable groups:    n, p, r, F    n, K, p   
n, M, p    ph, n, p    Q, n, p, r   
n, N, p
Allowed substitution hints:    ph( r)    K( r)    M( r)    N( r)

Proof of Theorem prmreclem3
Dummy variables  x  y  z  A are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12182 . . . . . 6  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
2 prmrec.4 . . . . . . 7  |-  M  =  { n  e.  ( 1 ... N )  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }
3 ssrab2 3552 . . . . . . 7  |-  { n  e.  ( 1 ... N
)  |  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  n }  C_  ( 1 ... N )
42, 3eqsstri 3500 . . . . . 6  |-  M  C_  ( 1 ... N
)
5 ssfi 7798 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  M  C_  ( 1 ... N ) )  ->  M  e.  Fin )
61, 4, 5mp2an 676 . . . . 5  |-  M  e. 
Fin
7 hashcl 12535 . . . . 5  |-  ( M  e.  Fin  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
86, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  M )  e.  NN0
98nn0rei 10880 . . 3  |-  ( # `  M )  e.  RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  RR )
11 2nn 10767 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
12 prmrec.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1312nnnn0d 10925 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
14 nnexpcl 12282 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ K
)  e.  NN )
1511, 13, 14sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  NN )
1615nnnn0d 10925 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  NN0 )
17 prmrec.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1817nnrpd 11339 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
1918rpsqrtcld 13452 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  RR+ )
2019rprege0d 11348 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )
21 flge0nn0 12051 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) )  ->  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  NN0 )
2220, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  NN0 )
2316, 22nn0mulcld 10930 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
NN0 )
2423nn0red 10926 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
2515nnred 10624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  RR )
2619rpred 11341 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  N
)  e.  RR )
2725, 26remulcld 9670 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
28 ssrab2 3552 . . . . . . 7  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  C_  M
29 ssfi 7798 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } 
C_  M )  ->  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin )
306, 28, 29mp2an 676 . . . . . 6  |-  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin
31 hashcl 12535 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  e.  Fin  ->  ( # `
 { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )  e. 
NN0 )
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  e.  NN0
3332nn0rei 10880 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  e.  RR
3422nn0red 10926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )
35 remulcl 9623 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR )  ->  (
( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  e.  RR )
3633, 34, 35sylancr 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( |_
`  ( sqr `  N
) ) )  e.  RR )
37 fzfi 12182 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  e.  Fin
38 xpfi 7848 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e. 
Fin )
3930, 37, 38mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e.  Fin
40 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  M )
414, 40sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  ( 1 ... N
) )
42 elfznn 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  e.  NN )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  NN )
44 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
4544prmreclem1 14823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( n  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( n ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
4645simp2d 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 ) 
||  y )
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 ) 
||  y )
4845simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  NN  ->  ( Q `  y )  e.  NN )
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  NN )
5049nnsqcld 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN )
5150nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  ZZ )
5250nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =/=  0 )
5343nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  ZZ )
54 dvdsval2 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  =/=  0  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y 
<->  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e.  ZZ ) )
5647, 55mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
57 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
58 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
5957, 58jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )
60 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  RR )
61 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  0  <  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )
6260, 61jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Q `  y
) ^ 2 )  e.  NN  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
63 divgt0 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  /\  ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  -> 
0  <  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )
6459, 62, 63syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  NN )  ->  0  <  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
6543, 50, 64syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  0  <  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) )
66 elnnz 10947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
6756, 65, 66sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN )
6867nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  RR )
6943nnred 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  RR )
7017nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
7170adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  RR )
72 dvdsmul1 14302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ||  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
7356, 51, 72syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) 
||  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
7443nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  e.  CC )
7550nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  CC )
7674, 75, 52divcan1d 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  y )
7773, 76breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) 
||  y )
78 dvdsle 14328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ||  y  ->  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  <_  y )
)
7956, 43, 78syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ||  y  -> 
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  <_  y )
)
8077, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  <_  y )
81 elfzle2 11801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... N )  ->  y  <_  N )
8241, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  y  <_  N )
8368, 69, 71, 80, 82letrd 9791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  <_  N )
84 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8567, 84syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
8617nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
8786adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  ZZ )
88 elfz5 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <_  N ) )
8985, 87, 88syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  <_  N ) )
9083, 89mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N ) )
91 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  y
) )
9291notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  y ) )
9392ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
9493, 2elrab2 3237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  M  <->  ( y  e.  ( 1 ... N
)  /\  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
) )
9540, 94sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  e.  ( 1 ... N )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  y ) )
9695simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  y
)
9777adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  ||  y )
98 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  Prime )
99 prmz 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  ->  p  e.  ZZ )
101100adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
10256adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
10353adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
104 dvdstr 14315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  /\  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  ||  y )  ->  p  ||  y ) )
105101, 102, 103, 104syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( (
p  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  /\  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ||  y )  ->  p  ||  y
) )
10697, 105mpan2d 678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  ->  p  ||  y
) )
107106con3d 138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  M )  /\  p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) ) )  ->  ( -.  p  ||  y  ->  -.  p  ||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
108107ralimdva 2840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  y  ->  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
10996, 108mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
110 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  (
p  ||  n  <->  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
111110notbid 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( -.  p  ||  n  <->  -.  p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
112111ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K ) )  -.  p  ||  n  <->  A. p  e.  ( Prime  \  (
1 ... K ) )  -.  p  ||  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) )
113112, 2elrab2 3237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  ( 1 ... N )  /\  A. p  e.  ( Prime  \  ( 1 ... K
) )  -.  p  ||  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
11490, 109, 113sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M )
11544prmreclem1 14823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  NN  /\  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( A ^ 2 )  ||  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  /  ( ( Q `
 ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
116115simp2d 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) 
||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
11767, 116syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) 
||  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )
118115simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  NN  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN )
11967, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN )
120 elnn1uz2 11235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  NN  <->  ( ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1  \/  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
121119, 120sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  \/  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
122121ord 378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( -.  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  -> 
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
12344prmreclem1 14823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  y
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  /\  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) )  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) ) )
124123simp3d 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
12543, 122, 124sylsyld 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( -.  ( Q `  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) )  =  1  ->  -.  ( ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  ||  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) ) )
126117, 125mt4d 143 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 )
127 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  ( Q `  x )  =  ( Q `  ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ) )
128127eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  ->  (
( Q `  x
)  =  1  <->  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
129128elrab 3235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  <->  ( (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  M  /\  ( Q `  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) ) )  =  1 ) )
130114, 126, 129sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )
13150nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  e.  RR )
132 dvdsle 14328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( Q `  y ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( Q `
 y ) ^
2 )  ||  y  ->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_  y )
)
13351, 43, 132syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( ( Q `  y ) ^ 2 )  ||  y  -> 
( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_  y )
)
13447, 133mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  y )
135131, 69, 71, 134, 82letrd 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  N )
13671recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  N  e.  CC )
137136sqsqrtd 13479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( sqr `  N
) ^ 2 )  =  N )
138135, 137breqtrrd 4452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  N ) ^ 2 ) )
13949nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  RR+ )
14019adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( sqr `  N )  e.  RR+ )
141 rprege0 11316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q `  y )  e.  RR+  ->  ( ( Q `  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( Q `  y
) ) )
142 rprege0 11316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  N )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )
143 le2sq 12346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( Q `  y )  e.  RR  /\  0  <_  ( Q `  y ) )  /\  ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  N
) ) )  -> 
( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N )  <->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
144141, 142, 143syl2an 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Q `  y
)  e.  RR+  /\  ( sqr `  N )  e.  RR+ )  ->  ( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N
)  <->  ( ( Q `
 y ) ^
2 )  <_  (
( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
145139, 140, 144syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  <_  ( sqr `  N )  <->  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  N
) ^ 2 ) ) )
146138, 145mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N
) )
14726adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( sqr `  N )  e.  RR )
14849nnzd 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ZZ )
149 flge 12038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  N
)  e.  RR  /\  ( Q `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( Q `  y )  <_  ( sqr `  N )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
150147, 148, 149syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  <_  ( sqr `  N )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
151146, 150mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
15249, 84syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
15322nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  ZZ )
154153adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  ZZ )
155 elfz5 11790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Q `  y
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( sqr `  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( Q `
 y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
156152, 154, 155syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  (
( Q `  y
)  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )  <->  ( Q `  y )  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
157151, 156mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  ( Q `  y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
158 opelxpi 4886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  e.  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  /\  ( Q `  y )  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
159130, 157, 158syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  M )  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
160159ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  M  -> 
<. ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  e.  ( { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
161 ovex 6333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  e. 
_V
162 fvex 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q `
 y )  e. 
_V
163161, 162opth 4696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>. 
<->  ( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  /\  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) ) )
164 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  y )  =  ( Q `  z )  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )
165 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )  /\  ( ( Q `  y ) ^ 2 )  =  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  ->  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
166164, 165sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )  /\  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) )  -> 
( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) )
167163, 166sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>.  ->  ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
16876adantrr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  y
) ^ 2 ) )  =  y )
16942ssriv 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... N )  C_  NN
1704, 169sstri 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  C_  NN
171 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  M )
172170, 171sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  NN )
173172nncnd 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
z  e.  CC )
17444prmreclem1 14823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( Q `  z
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  z ) ^ 2 )  ||  z  /\  ( 2  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  -.  ( 2 ^ 2 )  ||  ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ) ) )
175174simp1d 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  NN  ->  ( Q `  z )  e.  NN )
176172, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( Q `  z
)  e.  NN )
177176nnsqcld 12433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  e.  NN )
178177nncnd 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  e.  CC )
179177nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( Q `  z ) ^ 2 )  =/=  0 )
180173, 178, 179divcan1d 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  x.  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  =  z )
181168, 180eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( ( ( y  /  ( ( Q `
 y ) ^
2 ) )  x.  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( ( z  /  (
( Q `  z
) ^ 2 ) )  x.  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) )  <-> 
y  =  z ) )
182167, 181syl5ib 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( <. ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y )
>.  =  <. ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ,  ( Q `  z
) >.  ->  y  =  z ) )
183 id 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
184 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( Q `  y )  =  ( Q `  z ) )
185184oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( Q `  y
) ^ 2 )  =  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) )
186183, 185oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) )  =  ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) )
187186, 184opeq12d 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  <. (
y  /  ( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y ) >.  =  <. ( z  /  ( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z ) >. )
188182, 187impbid1 206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  M  /\  z  e.  M ) )  -> 
( <. ( y  / 
( ( Q `  y ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  y )
>.  =  <. ( z  /  ( ( Q `
 z ) ^
2 ) ) ,  ( Q `  z
) >. 
<->  y  =  z ) )
189188ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  M  /\  z  e.  M )  ->  ( <. ( y  /  (
( Q `  y
) ^ 2 ) ) ,  ( Q `
 y ) >.  =  <. ( z  / 
( ( Q `  z ) ^ 2 ) ) ,  ( Q `  z )
>. 
<->  y  =  z ) ) )
190160, 189dom2d 7617 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )  e.  Fin  ->  M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
19139, 190mpi 21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )
192 hashdom 12555 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  M )  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  <-> 
M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) ) )
1936, 39, 192mp2an 676 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  <-> 
M  ~<_  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )
194191, 193sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
195 hashxp 12601 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  e.  Fin  /\  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )  =  ( (
# `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) ) )
19630, 37, 195mp2an 676 . . . . 5  |-  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 }  X.  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  =  ( ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )
197 hashfz1 12526 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
19822, 197syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )  =  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) )
199198oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) ) )  =  ( (
# `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
200196, 199syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 }  X.  ( 1 ... ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) ) )  =  ( ( # `  { x  e.  M  |  ( Q `  x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
201194, 200breqtrd 4450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( ( # `
 { x  e.  M  |  ( Q `
 x )  =  1 } )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
20233a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  e.  RR )
20322nn0ge0d 10928 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )
204 prmrec.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( 1  /  n
) ,  0 ) )
205204, 12, 17, 2, 44prmreclem2 14824 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  <_  ( 2 ^ K ) )
206202, 25, 34, 203, 205lemul1ad 10546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
x  e.  M  | 
( Q `  x
)  =  1 } )  x.  ( |_
`  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) ) )
20710, 36, 24, 201, 206letrd 9791 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N ) ) ) )
20815nnrpd 11339 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ K
)  e.  RR+ )
209208rprege0d 11348 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ K ) ) )
210 fllelt 12030 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  N )  e.  RR  ->  (
( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N
)  /\  ( sqr `  N )  <  (
( |_ `  ( sqr `  N ) )  +  1 ) ) )
21126, 210syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N )  /\  ( sqr `  N )  < 
( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  +  1 ) ) )
212211simpld 460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N
) )
213 lemul2a 10459 . . 3  |-  ( ( ( ( |_ `  ( sqr `  N ) )  e.  RR  /\  ( sqr `  N )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ K
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ K ) ) )  /\  ( |_ `  ( sqr `  N ) )  <_  ( sqr `  N ) )  -> 
( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) ) )
21434, 26, 209, 212, 213syl31anc 1267 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ K )  x.  ( |_ `  ( sqr `  N
) ) )  <_ 
( ( 2 ^ K )  x.  ( sqr `  N ) ) )
21510, 24, 27, 207, 214letrd 9791 1  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  <_  ( (
2 ^ K )  x.  ( sqr `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   {crab 2786    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   <.cop 4008   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ~<_ cdom 7575   Fincfn 7577   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11782   |_cfl 12023   ^cexp 12269   #chash 12512   sqrcsqrt 13275    || cdvds 14283   Primecprime 14593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594  df-pc 14750
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