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Theorem prmreclem2 13240
 Description: Lemma for prmrec 13245. There are at most squarefree numbers which divide no primes larger than . (We could strengthen this to but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most because no square divides the number, so there are at most possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmreclem2.5
Assertion
Ref Expression
prmreclem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prmreclem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . . 4
2 fveq2 5687 . . . . . . . 8
32eqeq1d 2412 . . . . . . 7
43elrab 3052 . . . . . 6
5 prmrec.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75, 6eqsstri 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107, 9sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 prmuz2 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716prmreclem1 13239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1912, 15, 18sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2221oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2422, 23syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2612nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2726div1d 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2825, 27eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3012nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 2nn0 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 pcdvdsb 13197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3413, 30, 32, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3529, 34bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3619, 35mtbid 292 . . . . . . . . . . . . . . 15
3713, 12pccld 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 ltnle 9111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4138, 39, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
4236, 41mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14
43 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . . 13
4537nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . 14
46 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . 14
47 zleltp1 10282 . . . . . . . . . . . . . 14
4845, 46, 47sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13
4944, 48mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12
50 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . 14
5137, 50syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . 13
52 elfz5 11007 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 46, 52sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
5449, 53mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
55 0z 10249 . . . . . . . . . . . . 13
56 fzpr 11057 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
58 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . . . 13
5958oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . 12
6058preq2i 3847 . . . . . . . . . . . 12
6157, 59, 603eqtr4i 2434 . . . . . . . . . . 11
6254, 61syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10
63 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . 12
6463prid1 3872 . . . . . . . . . . 11
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10
6662, 65ifclda 3726 . . . . . . . . 9
67 eqid 2404 . . . . . . . . 9
6866, 67fmptd 5852 . . . . . . . 8
69 prex 4366 . . . . . . . . 9
70 ovex 6065 . . . . . . . . 9
7169, 70elmap 7001 . . . . . . . 8
7268, 71sylibr 204 . . . . . . 7
7372ex 424 . . . . . 6
744, 73syl5bi 209 . . . . 5
75 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
7675eqeq1d 2412 . . . . . . . 8
7776elrab 3052 . . . . . . 7
784, 77anbi12i 679 . . . . . 6
79 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12
8079, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . 11
8180, 67fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10
82 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12
8382, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . 11
84 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11
8583, 84fnmpti 5532 . . . . . . . . . 10
86 eqfnfv 5786 . . . . . . . . . 10
8781, 85, 86mp2an 654 . . . . . . . . 9
88 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13
89 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13
90 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13
9188, 89, 90ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12
92 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13
9392, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12
9491, 67, 93fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11
95 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13
9688, 95, 90ifbieq12d 3721 . . . . . . . . . . . 12
97 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . 13
9897, 63ifex 3757 . . . . . . . . . . . 12
9996, 84, 98fvmpt 5765 . . . . . . . . . . 11
10094, 99eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10
101100ralbiia 2698 . . . . . . . . 9
10287, 101bitri 241 . . . . . . . 8
103 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13
104 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14
108107simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
109103, 108syl 16 . . . . . . . . . . . 12
110 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . 13
111 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113112ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113, 5elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . 14
115114simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12
117 r19.26 2798 . . . . . . . . . . . . 13
118 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11911ssriv 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1207, 119sstri 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120, 103sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123118, 121, 122syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124120, 110sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126118, 124, 125syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127123, 126anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 eqtr3 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15
129127, 128syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . 14
130129ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . 13
131117, 130syl5bir 210 . . . . . . . . . . . 12
132109, 116, 131mp2and 661 . . . . . . . . . . 11
133132biantrud 494 . . . . . . . . . 10
134 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134uneq1i 3457 . . . . . . . . . . . . . 14
136 inundif 3666 . . . . . . . . . . . . . 14
137135, 136eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . 13
138137raleqi 2868 . . . . . . . . . . . 12
139 ralunb 3488 . . . . . . . . . . . 12
140138, 139bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11
141 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . . . 15
142 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 iffalse 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144142, 143eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15
145141, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
146145rgen 2731 . . . . . . . . . . . . 13
147146biantru 492 . . . . . . . . . . . 12
148 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . 14
150 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . . . 15
152150, 151eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14
153149, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
154153ralbiia 2698 . . . . . . . . . . . 12
155147, 154bitr3i 243 . . . . . . . . . . 11
156140, 155bitri 241 . . . . . . . . . 10
157 inundif 3666 . . . . . . . . . . . 12
158157raleqi 2868 . . . . . . . . . . 11
159 ralunb 3488 . . . . . . . . . . 11
160158, 159bitr3i 243 . . . . . . . . . 10
161133, 156, 1603bitr4g 280 . . . . . . . . 9
162121nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10
163124nnnn0d 10230 . . . . . . . . . 10
164 pc11 13208 . . . . . . . . . 10
165162, 163, 164syl2anc 643 . . . . . . . . 9
166161, 165bitr4d 248 . . . . . . . 8
167102, 166syl5bb 249 . . . . . . 7
168167ex 424 . . . . . 6
16978, 168syl5bi 209 . . . . 5
17074, 169dom2d 7107 . . . 4
1711, 170mpi 17 . . 3
172 fzfi 11266 . . . . . . 7
173 ssfi 7288 . . . . . . 7
174172, 6, 173mp2an 654 . . . . . 6
1755, 174eqeltri 2474 . . . . 5
176 ssrab2 3388 . . . . 5
177 ssfi 7288 . . . . 5
178175, 176, 177mp2an 654 . . . 4
179 prfi 7340 . . . . 5
180 fzfid 11267 . . . . 5
181 mapfi 7361 . . . . 5
182179, 180, 181sylancr 645 . . . 4
183 hashdom 11608 . . . 4
184178, 182, 183sylancr 645 . . 3
185171, 184mpbird 224 . 2
186 hashmap 11653 . . . 4
187179, 180, 186sylancr 645 . . 3
188 ax-1ne0 9015 . . . . . . 7
189188necomi 2649 . . . . . 6
190 0cn 9040 . . . . . . 7
191 ax-1cn 9004 . . . . . . 7
192 hashprg 11621 . . . . . . 7
193190, 191, 192mp2an 654 . . . . . 6
194189, 193mpbi 200 . . . . 5
195194a1i 11 . . . 4
196 prmrec.2 . . . . . 6
197196nnnn0d 10230 . . . . 5
198 hashfz1 11585 . . . . 5
199197, 198syl 16 . . . 4
200195, 199oveq12d 6058 . . 3
201187, 200eqtrd 2436 . 2
202185, 201breqtrd 4196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   cun 3278   cin 3279   wss 3280  cif 3699  cpr 3775   class class class wbr 4172   cmpt 4226   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040   cmap 6977   cdom 7066  cfn 7068  csup 7403  cc 8944  cr 8945  cc0 8946  c1 8947   caddc 8949   clt 9076   cle 9077   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  cuz 10444  cfz 10999  cexp 11337  chash 11573   cdivides 12807  cprime 13034   cpc 13165 This theorem is referenced by:  prmreclem3  13241 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
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