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Theorem prmreclem2 14940
 Description: Lemma for prmrec 14945. There are at most squarefree numbers which divide no primes larger than . (We could strengthen this to but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most because no square divides the number, so there are at most possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmrec.1
prmrec.2
prmrec.3
prmrec.4
prmreclem2.5
Assertion
Ref Expression
prmreclem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prmreclem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6336 . . . 4
2 fveq2 5879 . . . . . . . 8
32eqeq1d 2473 . . . . . . 7
43elrab 3184 . . . . . 6
5 prmrec.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75, 6eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
98ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107, 9sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16 prmreclem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1716prmreclem1 14939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1912, 15, 18sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2120ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2221oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
23 sq1 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2422, 23syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2524oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2612nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2726div1d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2825, 27eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3012nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 pcdvdsb 14897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3413, 30, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3529, 34bitr4d 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3619, 35mtbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15
3713, 12pccld 14879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3837nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16
40 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4138, 39, 40sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15
4236, 41mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14
43 df-2 10690 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . 13
4537nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . 14
46 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . 14
47 zleltp1 11011 . . . . . . . . . . . . . 14
4845, 46, 47sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
4944, 48mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12
50 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . 14
5137, 50syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13
52 elfz5 11818 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 46, 52sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
5449, 53mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
55 0z 10972 . . . . . . . . . . . . 13
56 fzpr 11877 . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
58 1e0p1 11102 . . . . . . . . . . . . 13
5958oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12
6058preq2i 4046 . . . . . . . . . . . 12
6157, 59, 603eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . 11
6254, 61syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10
63 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . 12
6463prid1 4071 . . . . . . . . . . 11
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10
6662, 65ifclda 3904 . . . . . . . . 9
67 eqid 2471 . . . . . . . . 9
6866, 67fmptd 6061 . . . . . . . 8
69 prex 4642 . . . . . . . . 9
70 ovex 6336 . . . . . . . . 9
7169, 70elmap 7518 . . . . . . . 8
7268, 71sylibr 217 . . . . . . 7
7372ex 441 . . . . . 6
744, 73syl5bi 225 . . . . 5
75 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
7675eqeq1d 2473 . . . . . . . 8
7776elrab 3184 . . . . . . 7
784, 77anbi12i 711 . . . . . 6
79 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
8079, 63ifex 3940 . . . . . . . . . . 11
8180, 67fnmpti 5716 . . . . . . . . . 10
82 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
8382, 63ifex 3940 . . . . . . . . . . 11
84 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
8583, 84fnmpti 5716 . . . . . . . . . 10
86 eqfnfv 5991 . . . . . . . . . 10
8781, 85, 86mp2an 686 . . . . . . . . 9
88 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
89 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . 12
91 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
9291, 63ifex 3940 . . . . . . . . . . . 12
9390, 67, 92fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11
94 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
9588, 94ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . 12
96 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13
9796, 63ifex 3940 . . . . . . . . . . . 12
9895, 84, 97fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11
9993, 98eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10
10099ralbiia 2822 . . . . . . . . 9
10187, 100bitri 257 . . . . . . . 8
102 simprll 780 . . . . . . . . . . . . 13
103 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104103notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105104ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15
106105, 5elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . 14
107106simprbi 471 . . . . . . . . . . . . 13
108102, 107syl 17 . . . . . . . . . . . 12
109 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . 13
110 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112111ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112, 5elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . 14
114113simprbi 471 . . . . . . . . . . . . 13
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12
116 r19.26 2904 . . . . . . . . . . . . 13
117 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11811ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1197, 118sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120119, 102sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 pceq0 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122117, 120, 121syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123119, 109sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
124 pceq0 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125117, 123, 124syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126122, 125anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15
128126, 127syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . 14
129128ralimdva 2805 . . . . . . . . . . . . 13
130116, 129syl5bir 226 . . . . . . . . . . . 12
131108, 115, 130mp2and 693 . . . . . . . . . . 11
132131biantrud 515 . . . . . . . . . 10
133 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . 14
135 inundif 3836 . . . . . . . . . . . . . 14
136134, 135eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13
137136raleqi 2977 . . . . . . . . . . . 12
138 ralunb 3606 . . . . . . . . . . . 12
139137, 138bitr3i 259 . . . . . . . . . . 11
140 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143141, 142eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15
144140, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
145144rgen 2766 . . . . . . . . . . . . 13
146145biantru 513 . . . . . . . . . . . 12
147 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15
148147sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . 14
149 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15
150 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15
151149, 150eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14
152148, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
153152ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . 12
154146, 153bitr3i 259 . . . . . . . . . . 11
155139, 154bitri 257 . . . . . . . . . 10
156 inundif 3836 . . . . . . . . . . . 12
157156raleqi 2977 . . . . . . . . . . 11
158 ralunb 3606 . . . . . . . . . . 11
159157, 158bitr3i 259 . . . . . . . . . 10
160132, 155, 1593bitr4g 296 . . . . . . . . 9
161120nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
162123nnnn0d 10949 . . . . . . . . . 10
163 pc11 14908 . . . . . . . . . 10
164161, 162, 163syl2anc 673 . . . . . . . . 9
165160, 164bitr4d 264 . . . . . . . 8
166101, 165syl5bb 265 . . . . . . 7
167166ex 441 . . . . . 6
16878, 167syl5bi 225 . . . . 5
16974, 168dom2d 7628 . . . 4
1701, 169mpi 20 . . 3
171 fzfi 12223 . . . . . . 7
172 ssfi 7810 . . . . . . 7
173171, 6, 172mp2an 686 . . . . . 6
1745, 173eqeltri 2545 . . . . 5
175 ssrab2 3500 . . . . 5
176 ssfi 7810 . . . . 5
177174, 175, 176mp2an 686 . . . 4
178 prfi 7864 . . . . 5
179 fzfid 12224 . . . . 5
180 mapfi 7888 . . . . 5
181178, 179, 180sylancr 676 . . . 4
182 hashdom 12596 . . . 4
183177, 181, 182sylancr 676 . . 3
184170, 183mpbird 240 . 2
185 hashmap 12648 . . . 4
186178, 179, 185sylancr 676 . . 3
187 0ne1 10699 . . . . . 6
188 0cn 9653 . . . . . . 7
189 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
190 hashprg 12610 . . . . . . 7
191188, 189, 190mp2an 686 . . . . . 6
192187, 191mpbi 213 . . . . 5
193192a1i 11 . . . 4
194 prmrec.2 . . . . . 6
195194nnnn0d 10949 . . . . 5
196 hashfz1 12567 . . . . 5
197195, 196syl 17 . . . 4
198193, 197oveq12d 6326 . . 3
199186, 198eqtrd 2505 . 2
200184, 199breqtrd 4420 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cif 3872  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490   cdom 7585  cfn 7587  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310  chash 12553   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866 This theorem is referenced by:  prmreclem3  14941
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