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Theorem prmreclem1 14446
Description: Lemma for prmrec 14452. Properties of the "square part" function, which extracts the  m of the decomposition  N  =  r
m ^ 2, with  m maximal and  r squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
prmreclem1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    n, r, N    Q, r
Allowed substitution hints:    Q( n)    K( n)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3581 . . 3  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  NN
2 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( r ^ 2 )  ||  n  <->  ( r ^ 2 )  ||  N ) )
32rabbidv 3101 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  n }  =  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
43supeq1d 7923 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  n } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
5 prmreclem1.1 . . . . 5  |-  Q  =  ( n  e.  NN  |->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  n } ,  RR ,  <  ) )
6 ltso 9682 . . . . . 6  |-  <  Or  RR
76supex 7940 . . . . 5  |-  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  _V
84, 5, 7fvmpt 5956 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } ,  RR ,  <  ) )
9 nnssz 10905 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
101, 9sstri 3508 . . . . . 6  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  C_  ZZ )
12 1nn 10567 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN )
14 nnz 10907 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
15 1dvds 14010 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1614, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  ||  N )
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
18 sq1 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  1  ->  (
r ^ 2 )  =  1 )
2019breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  1  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  1  ||  N ) )
2120elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( 1  e.  NN  /\  1  ||  N ) )
2213, 16, 21sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
23 ne0i 3799 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =/=  (/) )
25 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 zsqcl 12241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z ^ 2 )  e.  ZZ )
28 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN )
29 dvdsle 14043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z ^ 2 )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
3027, 28, 29syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  ( z ^ 2 )  <_  N )
)
31 nnlesq 12274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  <_  ( z ^ 2 ) )
33 nnre 10563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
3534resqcld 12339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z ^ 2 )  e.  RR )
36 nnre 10563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
38 letr 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z ^ 2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
3934, 35, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  <_ 
( z ^ 2 )  /\  ( z ^ 2 )  <_  N )  ->  z  <_  N ) )
4032, 39mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  <_  N  ->  z  <_  N )
)
4130, 40syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z ^
2 )  ||  N  ->  z  <_  N )
)
4241ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( ( z ^ 2 )  ||  N  ->  z  <_  N
) )
43 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  z  ->  (
r ^ 2 )  =  ( z ^
2 ) )
4443breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  z  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( z ^ 2 )  ||  N ) )
4544ralrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N } z  <_  N  <->  A. z  e.  NN  (
( z ^ 2 )  ||  N  -> 
z  <_  N )
)
4642, 45sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
)
47 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  N  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  N ) )
4847ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  ( A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x  <->  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  N
) )
4948rspcev 3210 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  N )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
5014, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)
51 suprzcl2 11197 . . . . 5  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  {
r  e.  NN  | 
( r ^ 2 )  ||  N }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e. 
{ r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x
)  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
5211, 24, 50, 51syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
538, 52eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } )
541, 53sseldi 3497 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Q `  N )  e.  NN )
55 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
z ^ 2 )  =  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )
5655breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( z  =  ( Q `  N )  ->  (
( z ^ 2 )  ||  N  <->  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5744cbvrabv 3108 . . . . 5  |-  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N }  =  { z  e.  NN  |  ( z ^
2 )  ||  N }
5856, 57elrab2 3259 . . . 4  |-  ( ( Q `  N )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( Q `
 N )  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
5953, 58sylib 196 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N ) )
6059simprd 463 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 ) 
||  N )
6154adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  NN )
6261nncnd 10572 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
6362mulid1d 9630 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  =  ( Q `
 N ) )
64 eluz2b2 11179 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
6564simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  K )
6665adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  <  K )
67 1red 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  RR )
68 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
6968adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  NN )
7069nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  K  e.  RR )
7161nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  RR )
7261nngt0d 10600 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <  ( Q `  N ) )
73 ltmul2 10414 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  (
( Q `  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( Q `  N ) ) )  ->  ( 1  < 
K  <->  ( ( Q `
 N )  x.  1 )  <  (
( Q `  N
)  x.  K ) ) )
7467, 70, 71, 72, 73syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  <  K  <->  ( ( Q `  N
)  x.  1 )  <  ( ( Q `
 N )  x.  K ) ) )
7566, 74mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  1 )  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
7663, 75eqbrtrrd 4478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( Q `  N
)  <  ( ( Q `  N )  x.  K ) )
77 nnmulcl 10579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Q `  N
)  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
7854, 68, 77syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
7978nnred 10571 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  RR )
8071, 79ltnled 9749 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( Q `  N )  <  (
( Q `  N
)  x.  K )  <->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) ) )
8176, 80mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
8210a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ )
8350ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } z  <_  x )
8478adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  NN )
85 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
8669adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  NN )
8786nnsqcld 12333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  NN )
88 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K ^ 2 )  e.  NN  ->  ( K ^ 2 )  e.  ZZ )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( K ^ 2 )  e.  ZZ )
9054nnsqcld 12333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  NN )
919, 90sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  e.  ZZ )
9290nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
) ^ 2 )  =/=  0 )
93 dvdsval2 14001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N 
<->  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ ) )
9491, 92, 14, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  <->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ ) )
9560, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
9791ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
98 dvdscmul 14022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) )  ->  ( (
( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) )  ||  ( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
9989, 96, 97, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( K ^
2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) ) )
10085, 99mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) ) 
||  ( ( ( Q `  N ) ^ 2 )  x.  ( N  /  (
( Q `  N
) ^ 2 ) ) ) )
10162adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  e.  CC )
10286nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  K  e.  CC )
103101, 102sqmuld 12325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N
) ^ 2 )  x.  ( K ^
2 ) ) )
104103eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( K ^ 2 ) )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
105 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  ->  N  e.  CC )
10790ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  NN )
108107nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  e.  CC )
10992ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N ) ^ 2 )  =/=  0 )
110106, 108, 109divcan2d 10343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N ) ^
2 )  x.  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )  =  N )
111100, 104, 1103brtr3d 4485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( Q `
 N )  x.  K ) ^ 2 )  ||  N )
112 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
r ^ 2 )  =  ( ( ( Q `  N )  x.  K ) ^
2 ) )
113112breq1d 4466 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( ( Q `
 N )  x.  K )  ->  (
( r ^ 2 )  ||  N  <->  ( (
( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
114113elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q `  N
)  x.  K )  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 )  ||  N }  <->  ( ( ( Q `  N )  x.  K )  e.  NN  /\  ( ( ( Q `  N
)  x.  K ) ^ 2 )  ||  N ) )
11584, 111, 114sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )
116 suprzub 11198 . . . . . 6  |-  ( ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N }  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. z  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } z  <_  x  /\  ( ( Q `  N )  x.  K
)  e.  { r  e.  NN  |  ( r ^ 2 ) 
||  N } )  ->  ( ( Q `
 N )  x.  K )  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
11782, 83, 115, 116syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
1188ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( Q `  N
)  =  sup ( { r  e.  NN  |  ( r ^
2 )  ||  N } ,  RR ,  <  ) )
119117, 118breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) )  -> 
( ( Q `  N )  x.  K
)  <_  ( Q `  N ) )
12081, 119mtand 659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) )
121120ex 434 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( K  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  -.  ( K ^ 2 ) 
||  ( N  / 
( ( Q `  N ) ^ 2 ) ) ) )
12254, 60, 1213jca 1176 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( Q `  N
)  e.  NN  /\  ( ( Q `  N ) ^ 2 )  ||  N  /\  ( K  e.  ( ZZ>=
`  2 )  ->  -.  ( K ^ 2 )  ||  ( N  /  ( ( Q `
 N ) ^
2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12169    || cdvds 13998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-exp 12170  df-dvds 13999
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