Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Unicode version

Theorem prmreclem1 14446
 Description: Lemma for prmrec 14452. Properties of the "square part" function, which extracts the of the decomposition , with maximal and squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1
Assertion
Ref Expression
prmreclem1
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3581 . . 3
2 breq2 4460 . . . . . . 7
32rabbidv 3101 . . . . . 6
43supeq1d 7923 . . . . 5
5 prmreclem1.1 . . . . 5
6 ltso 9682 . . . . . 6
76supex 7940 . . . . 5
84, 5, 7fvmpt 5956 . . . 4
9 nnssz 10905 . . . . . . 7
101, 9sstri 3508 . . . . . 6
1110a1i 11 . . . . 5
12 1nn 10567 . . . . . . . 8
1312a1i 11 . . . . . . 7
14 nnz 10907 . . . . . . . 8
15 1dvds 14010 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7
17 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
18 sq1 12265 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
2019breq1d 4466 . . . . . . . 8
2120elrab 3257 . . . . . . 7
2213, 16, 21sylanbrc 664 . . . . . 6
23 ne0i 3799 . . . . . 6
2422, 23syl 16 . . . . 5
25 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11
26 zsqcl 12241 . . . . . . . . . . 11
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
28 id 22 . . . . . . . . . 10
29 dvdsle 14043 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29syl2anr 478 . . . . . . . . 9
31 nnlesq 12274 . . . . . . . . . . 11
3231adantl 466 . . . . . . . . . 10
33 nnre 10563 . . . . . . . . . . . 12
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3534resqcld 12339 . . . . . . . . . . 11
36 nnre 10563 . . . . . . . . . . . 12
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11
38 letr 9695 . . . . . . . . . . 11
3934, 35, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
4032, 39mpand 675 . . . . . . . . 9
4130, 40syld 44 . . . . . . . 8
4241ralrimiva 2871 . . . . . . 7
43 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
4443breq1d 4466 . . . . . . . 8
4544ralrab 3261 . . . . . . 7
4642, 45sylibr 212 . . . . . 6
47 breq2 4460 . . . . . . . 8
4847ralbidv 2896 . . . . . . 7
4948rspcev 3210 . . . . . 6
5014, 46, 49syl2anc 661 . . . . 5
51 suprzcl2 11197 . . . . 5
5211, 24, 50, 51syl3anc 1228 . . . 4
538, 52eqeltrd 2545 . . 3
541, 53sseldi 3497 . 2
55 oveq1 6303 . . . . . 6
5655breq1d 4466 . . . . 5
5744cbvrabv 3108 . . . . 5
5856, 57elrab2 3259 . . . 4
5953, 58sylib 196 . . 3
6059simprd 463 . 2
6154adantr 465 . . . . . . . 8
6261nncnd 10572 . . . . . . 7
6362mulid1d 9630 . . . . . 6
64 eluz2b2 11179 . . . . . . . . 9
6564simprbi 464 . . . . . . . 8
6665adantl 466 . . . . . . 7
67 1red 9628 . . . . . . . 8
68 eluz2nn 11144 . . . . . . . . . 10
6968adantl 466 . . . . . . . . 9
7069nnred 10571 . . . . . . . 8
7161nnred 10571 . . . . . . . 8
7261nngt0d 10600 . . . . . . . 8
73 ltmul2 10414 . . . . . . . 8
7467, 70, 71, 72, 73syl112anc 1232 . . . . . . 7
7566, 74mpbid 210 . . . . . 6
7663, 75eqbrtrrd 4478 . . . . 5
77 nnmulcl 10579 . . . . . . . 8
7854, 68, 77syl2an 477 . . . . . . 7
7978nnred 10571 . . . . . 6
8071, 79ltnled 9749 . . . . 5
8176, 80mpbid 210 . . . 4
8210a1i 11 . . . . . 6
8350ad2antrr 725 . . . . . 6
8478adantr 465 . . . . . . 7
85 simpr 461 . . . . . . . . 9
8669adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8786nnsqcld 12333 . . . . . . . . . . 11
88 nnz 10907 . . . . . . . . . . 11
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . 10
9054nnsqcld 12333 . . . . . . . . . . . . . 14
919, 90sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13
9290nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13
93 dvdsval2 14001 . . . . . . . . . . . . 13
9491, 92, 14, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
9560, 94mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
9791ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
98 dvdscmul 14022 . . . . . . . . . 10
9989, 96, 97, 98syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
10085, 99mpd 15 . . . . . . . 8
10162adantr 465 . . . . . . . . . 10
10286nncnd 10572 . . . . . . . . . 10
103101, 102sqmuld 12325 . . . . . . . . 9
104103eqcomd 2465 . . . . . . . 8
105 nncn 10564 . . . . . . . . . 10
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
10790ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
108107nncnd 10572 . . . . . . . . 9
10992ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
110106, 108, 109divcan2d 10343 . . . . . . . 8
111100, 104, 1103brtr3d 4485 . . . . . . 7
112 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
113112breq1d 4466 . . . . . . . 8
114113elrab 3257 . . . . . . 7
11584, 111, 114sylanbrc 664 . . . . . 6
116 suprzub 11198 . . . . . 6
11782, 83, 115, 116syl3anc 1228 . . . . 5
1188ad2antrr 725 . . . . 5
119117, 118breqtrrd 4482 . . . 4
12081, 119mtand 659 . . 3
121120ex 434 . 2
12254, 60, 1213jca 1176 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   wss 3471  c0 3793   class class class wbr 4456   cmpt 4515  cfv 5594  (class class class)co 6296  csup 7918  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   cmul 9514   clt 9645   cle 9646   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  cz 10885  cuz 11106  cexp 12169   cdvds 13998 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-exp 12170  df-dvds 13999 This theorem is referenced by:  prmreclem2  14447  prmreclem3  14448
 Copyright terms: Public domain W3C validator