Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmrec Structured version   Unicode version

Theorem prmrec 14854
 Description: The sum of the reciprocals of the primes diverges. This is the "second" proof at http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_harmonic_series, attributed to Paul Erdős. This is Metamath 100 proof #81. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.f
Assertion
Ref Expression
prmrec
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem prmrec
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2494 . . . . 5
2 oveq2 6310 . . . . 5
31, 2ifbieq1d 3932 . . . 4
43cbvmptv 4513 . . 3
54prmreclem6 14853 . 2
6 inss2 3683 . . . . . . . . 9
76sseli 3460 . . . . . . . . . . 11
8 elfznn 11829 . . . . . . . . . . 11
9 nnrecre 10647 . . . . . . . . . . . 12
109recnd 9670 . . . . . . . . . . 11
117, 8, 103syl 18 . . . . . . . . . 10
1211rgen 2785 . . . . . . . . 9
136, 12pm3.2i 456 . . . . . . . 8
14 fzfi 12185 . . . . . . . . 9
1514olci 392 . . . . . . . 8
16 sumss2 13780 . . . . . . . 8
1713, 15, 16mp2an 676 . . . . . . 7
18 elin 3649 . . . . . . . . . 10
1918rbaib 914 . . . . . . . . 9
2019ifbid 3931 . . . . . . . 8
2120sumeq2i 13753 . . . . . . 7
2217, 21eqtri 2451 . . . . . 6
238adantl 467 . . . . . . . 8
24 prmnn 14613 . . . . . . . . . . . 12
2524, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11
2625adantl 467 . . . . . . . . . 10
27 0cnd 9637 . . . . . . . . . 10
2826, 27ifclda 3941 . . . . . . . . 9
2928trud 1446 . . . . . . . 8
304fvmpt2 5970 . . . . . . . 8
3123, 29, 30sylancl 666 . . . . . . 7
32 id 23 . . . . . . . 8
33 nnuz 11195 . . . . . . . 8
3432, 33syl6eleq 2520 . . . . . . 7
3529a1i 11 . . . . . . 7
3631, 34, 35fsumser 13784 . . . . . 6
3722, 36syl5eq 2475 . . . . 5
3837mpteq2ia 4503 . . . 4
39 prmrec.f . . . 4
40 1z 10968 . . . . . . 7
41 seqfn 12225 . . . . . . 7
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6
4333fneq2i 5686 . . . . . 6
4442, 43mpbir 212 . . . . 5
45 dffn5 5923 . . . . 5
4644, 45mpbi 211 . . . 4
4738, 39, 463eqtr4i 2461 . . 3
4847eleq1i 2499 . 2
495, 48mtbir 300 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wo 369   wa 370   wceq 1437   wtru 1438   wcel 1868  wral 2775   cin 3435   wss 3436  cif 3909   cmpt 4479   cdm 4850   wfn 5593  cfv 5598  (class class class)co 6302  cfn 7574  cc 9538  cc0 9540  c1 9541   caddc 9543   cdiv 10270  cn 10610  cz 10938  cuz 11160  cfz 11785   cseq 12213   cli 13536  csu 13740  cprime 14610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-dvds 14294  df-gcd 14457  df-prm 14611  df-pc 14775 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator