Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmordvdslcmsOLDOLD Structured version   Unicode version

Theorem prmordvdslcmsOLDOLD 14999
 Description: The primorial of a positive integer divides the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) Obsolete version of prmordvdslcmfOLD 14997 as of 27-Aug-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prmorlelcmsOLDOLD.f
prmorlelcmsOLDOLD.p
prmorlelcmsOLDOLD.l
Assertion
Ref Expression
prmordvdslcmsOLDOLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem prmordvdslcmsOLDOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 11824 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fzfid 12179 . . . 4
42, 3jca 534 . . 3
5 ssrab2 3543 . . . 4
6 eqid 2420 . . . . . 6
76lcmscllemOLD 14560 . . . . 5
84, 7syl 17 . . . 4
95, 8sseldi 3459 . . 3
10 simpr 462 . . . . 5
11 1nn 10616 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
1310, 12ifcld 3949 . . . 4
14 prmorlelcmsOLDOLD.f . . . 4
1513, 14fmptd 6053 . . 3
16 simpr 462 . . . . . . 7
1716adantr 466 . . . . . 6
18 eldifi 3584 . . . . . . 7
1918adantl 467 . . . . . 6
20 eldif 3443 . . . . . . . 8
21 elsn 4007 . . . . . . . . . . . 12
2221biimpri 209 . . . . . . . . . . 11
2322equcoms 1844 . . . . . . . . . 10
2423necon3bi 2651 . . . . . . . . 9
2524adantl 467 . . . . . . . 8
2620, 25sylbi 198 . . . . . . 7
2726adantl 467 . . . . . 6
2814fvprmselgcd1 14981 . . . . . 6
2917, 19, 27, 28syl3anc 1264 . . . . 5
3029ralrimiva 2837 . . . 4
3130ralrimiva 2837 . . 3
3214fvprmselelfz 14980 . . . . 5
334adantr 466 . . . . . 6
34 breq2 4421 . . . . . . . . . . 11
3534ralbidv 2862 . . . . . . . . . 10
3635cbvrabv 3077 . . . . . . . . 9
37 breq1 4420 . . . . . . . . . . . 12
3837cbvralv 3053 . . . . . . . . . . 11
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10
4039rabbiia 3067 . . . . . . . . 9
4136, 40eqtri 2449 . . . . . . . 8
4241supeq1i 7959 . . . . . . 7
4342lcmsOLD 14562 . . . . . 6
4433, 43syl 17 . . . . 5
45 breq1 4420 . . . . . 6
4645rspcv 3175 . . . . 5
4732, 44, 46sylc 62 . . . 4
4847ralrimiva 2837 . . 3
49 coprmproddvds 14658 . . 3
504, 9, 15, 31, 48, 49syl122anc 1273 . 2
51 oveq2 6305 . . . 4
5251prodeq1d 13953 . . 3
53 prmorlelcmsOLDOLD.p . . 3
54 prodex 13939 . . 3
5552, 53, 54fvmpt 5956 . 2
56 oveq2 6305 . . . . . 6
5756raleqdv 3029 . . . . 5
5857rabbidv 3070 . . . 4
5958supeq1d 7958 . . 3
60 prmorlelcmsOLDOLD.l . . 3
61 gtso 9711 . . . 4
6261supex 7975 . . 3
6359, 60, 62fvmpt 5956 . 2
6450, 55, 633brtr4d 4448 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  wral 2773  crab 2777   cdif 3430   wss 3433  cif 3906  csn 3993   class class class wbr 4417   cmpt 4476  ccnv 4845  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6297  cfn 7569  csup 7952  cr 9534  c1 9536   clt 9671  cn 10605  cfz 11778  cprod 13937   cdvds 14283   cgcd 14446  cprime 14600 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-mod 12090  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-prod 13938  df-dvds 14284  df-gcd 14447  df-prm 14601 This theorem is referenced by:  prmorlelcmsOLDOLD  15000
 Copyright terms: Public domain W3C validator