Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmordvdslcmfOLD Structured version   Unicode version

Theorem prmordvdslcmfOLD 14997
 Description: The primorial of a positive integer divides the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.) Obsolete version of prmodvdslcmf 14983 as of 29-Aug-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prmordvdslcmfOLD.f
prmordvdslcmfOLD.p
Assertion
Ref Expression
prmordvdslcmfOLD lcm
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()

Proof of Theorem prmordvdslcmfOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6305 . . . 4
21prodeq1d 13953 . . 3
3 prmordvdslcmfOLD.p . . 3
4 prodex 13939 . . 3
52, 3, 4fvmpt 5956 . 2
6 fzfid 12179 . . . 4
7 fz1ssnn 11824 . . . 4
86, 7jctil 539 . . 3
9 fzssz 11795 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 0nelfz1 11812 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
13 lcmfn0cl 14577 . . . 4 lcm
1410, 6, 12, 13syl3anc 1264 . . 3 lcm
15 simpr 462 . . . . 5
16 1nn 10616 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
1815, 17ifcld 3949 . . . 4
19 prmordvdslcmfOLD.f . . . 4
2018, 19fmptd 6053 . . 3
21 simpr 462 . . . . . . 7
2221adantr 466 . . . . . 6
23 eldifi 3584 . . . . . . 7
2423adantl 467 . . . . . 6
25 eldif 3443 . . . . . . . 8
26 elsn 4007 . . . . . . . . . . . 12
2726biimpri 209 . . . . . . . . . . 11
2827equcoms 1844 . . . . . . . . . 10
2928necon3bi 2651 . . . . . . . . 9
3029adantl 467 . . . . . . . 8
3125, 30sylbi 198 . . . . . . 7
3231adantl 467 . . . . . 6
3319fvprmselgcd1 14981 . . . . . 6
3422, 24, 32, 33syl3anc 1264 . . . . 5
3534ralrimiva 2837 . . . 4
3635ralrimiva 2837 . . 3
3719fvprmselelfz 14980 . . . . 5
388adantr 466 . . . . . 6
3992a1i 12 . . . . . . 7
4039imdistanri 695 . . . . . 6
41 dvdslcmf 14582 . . . . . 6 lcm
4238, 40, 413syl 18 . . . . 5 lcm
43 breq1 4420 . . . . . 6 lcm lcm
4443rspcv 3175 . . . . 5 lcm lcm
4537, 42, 44sylc 62 . . . 4 lcm
4645ralrimiva 2837 . . 3 lcm
47 coprmproddvds 14658 . . 3 lcm lcm lcm
488, 14, 20, 36, 46, 47syl122anc 1273 . 2 lcm
495, 48eqbrtrd 4438 1 lcm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616   wnel 2617  wral 2773   cdif 3430   wss 3433  cif 3906  csn 3993   class class class wbr 4417   cmpt 4476  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6297  cfn 7569  cc0 9535  c1 9536  cn 10605  cz 10933  cfz 11778  cprod 13937   cdvds 14283   cgcd 14446  lcmclcmf 14526  cprime 14600 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-mod 12090  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-prod 13938  df-dvds 14284  df-gcd 14447  df-lcmf 14531  df-prm 14601 This theorem is referenced by:  prmorlelcmfOLD  14998
 Copyright terms: Public domain W3C validator