Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmodvdslcmf Structured version   Unicode version

Theorem prmodvdslcmf 14983
 Description: The primorial of a nonnegative integer divides the least common multiple of all positive integers less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmodvdslcmf #p lcm

Proof of Theorem prmodvdslcmf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmoval 14969 . . 3 #p
2 eqidd 2421 . . . . . 6
3 simpr 462 . . . . . . . 8
43eleq1d 2489 . . . . . . 7
54, 3ifbieq1d 3929 . . . . . 6
6 elfznn 11822 . . . . . 6
7 1nn 10616 . . . . . . . 8
87a1i 11 . . . . . . 7
96, 8ifcld 3949 . . . . . 6
102, 5, 6, 9fvmptd 5962 . . . . 5
1110eqcomd 2428 . . . 4
1211prodeq2i 13951 . . 3
131, 12syl6eq 2477 . 2 #p
14 fzfid 12179 . . . 4
15 fz1ssnn 11824 . . . 4
1614, 15jctil 539 . . 3
17 fzssz 11795 . . . . 5
1817a1i 11 . . . 4
19 0nelfz1 11812 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
21 lcmfn0cl 14577 . . . 4 lcm
2218, 14, 20, 21syl3anc 1264 . . 3 lcm
23 id 23 . . . . . 6
247a1i 11 . . . . . 6
2523, 24ifcld 3949 . . . . 5
2625adantl 467 . . . 4
27 eqid 2420 . . . 4
2826, 27fmptd 6053 . . 3
29 simpr 462 . . . . . . 7
3029adantr 466 . . . . . 6
31 eldifi 3584 . . . . . . 7
3231adantl 467 . . . . . 6
33 eldif 3443 . . . . . . . 8
34 elsn 4007 . . . . . . . . . . . 12
3534biimpri 209 . . . . . . . . . . 11
3635equcoms 1844 . . . . . . . . . 10
3736necon3bi 2651 . . . . . . . . 9
3837adantl 467 . . . . . . . 8
3933, 38sylbi 198 . . . . . . 7
4039adantl 467 . . . . . 6
4127fvprmselgcd1 14981 . . . . . 6
4230, 32, 40, 41syl3anc 1264 . . . . 5
4342ralrimiva 2837 . . . 4
4443ralrimiva 2837 . . 3
45 eqidd 2421 . . . . . 6
46 simpr 462 . . . . . . . 8
4746eleq1d 2489 . . . . . . 7
4847, 46ifbieq1d 3929 . . . . . 6
4915, 29sseldi 3459 . . . . . 6
5017, 29sseldi 3459 . . . . . . 7
51 1zzd 10964 . . . . . . 7
5250, 51ifcld 3949 . . . . . 6
5345, 48, 49, 52fvmptd 5962 . . . . 5
54 elfzuz2 11798 . . . . . . . . 9
5554adantl 467 . . . . . . . 8
56 eluzfz1 11800 . . . . . . . 8
5755, 56syl 17 . . . . . . 7
5829, 57ifcld 3949 . . . . . 6
5916adantr 466 . . . . . . 7
60172a1i 12 . . . . . . . 8
6160imdistanri 695 . . . . . . 7
62 dvdslcmf 14582 . . . . . . 7 lcm
6359, 61, 623syl 18 . . . . . 6 lcm
64 breq1 4420 . . . . . . 7 lcm lcm
6564rspcv 3175 . . . . . 6 lcm lcm
6658, 63, 65sylc 62 . . . . 5 lcm
6753, 66eqbrtrd 4438 . . . 4 lcm
6867ralrimiva 2837 . . 3 lcm
69 coprmproddvds 14658 . . 3 lcm lcm lcm
7016, 22, 28, 44, 68, 69syl122anc 1273 . 2 lcm
7113, 70eqbrtrd 4438 1 #p lcm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616   wnel 2617  wral 2773   cdif 3430   wss 3433  cif 3906  csn 3993   class class class wbr 4417   cmpt 4476  wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6297  cfn 7569  cc0 9535  c1 9536  cn 10605  cn0 10865  cz 10933  cuz 11155  cfz 11778  cprod 13937   cdvds 14283   cgcd 14446  lcmclcmf 14526  cprime 14600  #pcprmo 14967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-inf 7955  df-oi 8023  df-card 8370  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-fl 12021  df-mod 12090  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-prod 13938  df-dvds 14284  df-gcd 14447  df-lcmf 14531  df-prm 14601  df-prmo 14968 This theorem is referenced by:  prmolelcmf  14984
 Copyright terms: Public domain W3C validator