MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmn2uzge3 Structured version   Unicode version

Theorem prmn2uzge3 14324
Description: A prime number which is not 2 is an integer greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
prmn2uzge3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  3 )
)

Proof of Theorem prmn2uzge3
StepHypRef Expression
1 3z 10893 . . 3  |-  3  e.  ZZ
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  3  e.  ZZ )
3 prmz 14308 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
43adantr 463 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
5 prmuz2 14322 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6 eluz2 11088 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  2  <_  P ) )
7 2re 10601 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
9 zre 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
108, 9ltlend 9719 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
11 2z 10892 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
12 zltp1le 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
1311, 12mpan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
14 2p1e3 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  +  1 )  =  3 )
1615breq1d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  +  1 )  <_  P  <->  3  <_  P ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  +  1 )  <_  P  ->  3  <_  P ) )
1813, 17sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  ->  3  <_  P ) )
1910, 18sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  <_  P  /\  P  =/=  2
)  ->  3  <_  P ) )
2019expdimp 435 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  2  <_  P )  -> 
( P  =/=  2  ->  3  <_  P )
)
21203adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  2  <_  P )  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
226, 21sylbi 195 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
235, 22syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
2423imp 427 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  3  <_  P )
25 eluz2 11088 . 2  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  3  <_  P ) )
262, 4, 24, 25syl3anbrc 1178 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10581   3c3 10582   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   Primecprime 14304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-dvds 14074  df-prm 14305
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  25317
  Copyright terms: Public domain W3C validator