Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmn2uzge3 Structured version   Unicode version

Theorem prmn2uzge3 30392
Description: A prime number which is not 2 is an integer greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
prmn2uzge3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  3 )
)

Proof of Theorem prmn2uzge3
StepHypRef Expression
1 3z 10785 . . 3  |-  3  e.  ZZ
21a1i 11 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  3  e.  ZZ )
3 prmz 13880 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
43adantr 465 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ZZ )
5 prmuz2 13894 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6 eluz2 10973 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  2  <_  P ) )
7 2re 10497 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
9 zre 10756 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  e.  RR )
108, 9ltlend 9625 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  <->  ( 2  <_  P  /\  P  =/=  2 ) ) )
11 2z 10784 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
12 zltp1le 10800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
1311, 12mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
14 2p1e3 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  +  1 )  =  3 )
1615breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  +  1 )  <_  P  <->  3  <_  P ) )
1716biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  +  1 )  <_  P  ->  3  <_  P ) )
1813, 17sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  <  P  ->  3  <_  P ) )
1910, 18sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
( 2  <_  P  /\  P  =/=  2
)  ->  3  <_  P ) )
2019expdimp 437 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  2  <_  P )  -> 
( P  =/=  2  ->  3  <_  P )
)
21203adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  2  <_  P )  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
226, 21sylbi 195 . . . 4  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
235, 22syl 16 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  =/=  2  ->  3  <_  P ) )
2423imp 429 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  3  <_  P )
25 eluz2 10973 . 2  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  3  <_  P ) )
262, 4, 24, 25syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  P  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   1c1 9389    + caddc 9391    < clt 9524    <_ cle 9525   2c2 10477   3c3 10478   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   Primecprime 13876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-dvds 13649  df-prm 13877
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  30848
  Copyright terms: Public domain W3C validator