Theorem prmlem2 14147

Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than 5 ^ 2 = 2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to 2 9 ^ 2 = 8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 14160).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmlem2.n	|- N e. NN
prmlem2.lt	|- N < ;; 8 4 1
prmlem2.gt	|- 1 < N
prmlem2.2	|- -. 2 || N
prmlem2.3	|- -. 3 || N
prmlem2.5	|- -. 5 || N
prmlem2.7	|- -. 7 || N
prmlem2.11	|- -. ; 1 1 || N
prmlem2.13	|- -. ; 1 3 || N
prmlem2.17	|- -. ; 1 7 || N
prmlem2.19	|- -. ; 1 9 || N
prmlem2.23	|- -. ; 2 3 || N

Assertion

Ref	Expression
prmlem2	|- N e. Prime

Proof of Theorem prmlem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmlem2.n	. 2 |- N e. NN
2		prmlem2.gt	. 2 |- 1 < N
3		prmlem2.2	. 2 |- -. 2 || N
4		prmlem2.3	. 2 |- -. 3 || N
5		eluzelre 10871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> x e. RR )
6	5	resqcld 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
7		eluzle 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ; 2 9 <_ x )
8		2nn0 10596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. NN0
9		9nn0 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 9 e. NN0
10	8, 9	deccl 10769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ; 2 9 e. NN0
11	10	nn0rei 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ; 2 9 e. RR
12	10	nn0ge0i 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ ; 2 9
13		le2sq2 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( (; 2 9 e. RR /\ 0 <_ ; 2 9 ) /\ ( x e. RR /\ ; 2 9 <_ x ) ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
14	11, 12, 13	mpanl12 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ ; 2 9 <_ x ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
15	5, 7, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) )
16	1	nnrei 10331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- N e. RR
17	11	resqcli 11951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (; 2 9 ^ 2 ) e. RR
18		prmlem2.lt	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N < ;; 8 4 1
19	10	nn0cni 10591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 9 e. CC
20	19	sqvali 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (; 2 9 ^ 2 ) = (; 2 9 x. ; 2 9 )
21		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 9 = ; 2 9
22		1nn0 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. NN0
23		6nn0 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 6 e. NN0
24	8, 23	deccl 10769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ; 2 6 e. NN0
25		5nn0 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 5 e. NN0
26		8nn0 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 8 e. NN0
27	19	2timesi 10442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 2 x. ; 2 9 ) = (; 2 9 + ; 2 9 )
28		2p2e4 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( 2 + 2 ) = 4
29	28	oveq1i 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 2 + 2 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
30		4p1e5 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 4 + 1 ) = 5
31	29, 30	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 2 + 2 ) + 1 ) = 5
32		9p9e18 10824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 9 + 9 ) = ; 1 8
33	8, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32	decaddc 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (; 2 9 + ; 2 9 ) = ; 5 8
34	27, 33	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 x. ; 2 9 ) = ; 5 8
35		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ; 2 6 = ; 2 6
36		5p2e7 10459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 5 + 2 ) = 7
37	36	oveq1i 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 5 + 2 ) + 1 ) = ( 7 + 1 )
38		7p1e8 10451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 7 + 1 ) = 8
39	37, 38	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 5 + 2 ) + 1 ) = 8
40		4nn0 10598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 4 e. NN0
41		8p6e14 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 8 + 6 ) = ; 1 4
42	25, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41	decaddc 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 x. ; 2 9 ) + ; 2 6 ) = ; 8 4
43		9t2e18 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 9 x. 2 ) = ; 1 8
44		1p1e2 10435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 1 + 1 ) = 2
45		8p8e16 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 8 + 8 ) = ; 1 6
46	22, 26, 26, 43, 44, 23, 45	decaddci 10800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 9 x. 2 ) + 8 ) = ; 2 6
47		9t9e81 10857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 9 x. 9 ) = ; 8 1
48	9, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47	decmul2c 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 9 x. ; 2 9 ) = ;; 2 6 1
49	10, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48	decmul1c 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (; 2 9 x. ; 2 9 ) = ;; 8 4 1
50	20, 49	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (; 2 9 ^ 2 ) = ;; 8 4 1
51	18, 50	breqtrri 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N < (; 2 9 ^ 2 )
52		ltletr 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. RR /\ (; 2 9 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( N < (; 2 9 ^ 2 ) /\ (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
53	51, 52	mpani 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. RR /\ (; 2 9 ^ 2 ) e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
54	16, 17, 53	mp3an12 1304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x ^ 2 ) e. RR -> ( (; 2 9 ^ 2 ) <_ ( x ^ 2 ) -> N < ( x ^ 2 ) ) )
55	6, 15, 54	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> N < ( x ^ 2 ) )
56		ltnle 9454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. RR /\ ( x ^ 2 ) e. RR ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
57	16, 6, 56	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( N < ( x ^ 2 ) <-> -. ( x ^ 2 ) <_ N ) )
58	55, 57	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> -. ( x ^ 2 ) <_ N )
59	58	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( ( x ^ 2 ) <_ N -> -. x || N ) )
60	59	adantld 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
61	60	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. 2 || ; 2 9 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
62		9nn 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 9 e. NN
63		3nn 10480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. NN
64		1lt9 10523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 9
65		1lt3 10490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 3
66		9t3e27 10851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 9 x. 3 ) = ; 2 7
67	62, 63, 64, 65, 66	nprmi 13778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. ; 2 7 e. Prime
68	67	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 2 7 e. Prime -> -. ; 2 7 || N )
69		7nn0 10601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 7 e. NN0
70		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 2 7 = ; 2 7
71		7p2e9 10466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 + 2 ) = 9
72	8, 69, 8, 70, 71	decaddi 10799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (; 2 7 + 2 ) = ; 2 9
73	61, 68, 72	prmlem0 14133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. 2 || ; 2 7 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
74		5nn 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. NN
75		1lt5 10497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 < 5
76		5t5e25 10831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 5 x. 5 ) = ; 2 5
77	74, 74, 75, 75, 76	nprmi 13778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ; 2 5 e. Prime
78	77	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 2 5 e. Prime -> -. ; 2 5 || N )
79		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ; 2 5 = ; 2 5
80	8, 25, 8, 79, 36	decaddi 10799	. . . . . . . . . . . . 13 |- (; 2 5 + 2 ) = ; 2 7
81	73, 78, 80	prmlem0 14133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. 2 || ; 2 5 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
82		prmlem2.23	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ; 2 3 || N
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 2 3 e. Prime -> -. ; 2 3 || N )
84		3nn0 10597	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
85		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ; 2 3 = ; 2 3
86		3p2e5 10454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 + 2 ) = 5
87	8, 84, 8, 85, 86	decaddi 10799	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 2 3 + 2 ) = ; 2 5
88	81, 83, 87	prmlem0 14133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 2 || ; 2 3 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 3 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
89		7nn 10484	. . . . . . . . . . . . 13 |- 7 e. NN
90		1lt7 10508	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 < 7
91		7t3e21 10838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 7 x. 3 ) = ; 2 1
92	89, 63, 90, 65, 91	nprmi 13778	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ; 2 1 e. Prime
93	92	pm2.21i 131	. . . . . . . . . . 11 |- (; 2 1 e. Prime -> -. ; 2 1 || N )
94		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 2 1 = ; 2 1
95		1p2e3 10446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 + 2 ) = 3
96	8, 22, 8, 94, 95	decaddi 10799	. . . . . . . . . . 11 |- (; 2 1 + 2 ) = ; 2 3
97	88, 93, 96	prmlem0 14133	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. 2 || ; 2 1 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 2 1 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
98		prmlem2.19	. . . . . . . . . . 11 |- -. ; 1 9 || N
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 9 e. Prime -> -. ; 1 9 || N )
100		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ; 1 9 = ; 1 9
101		9p2e11 10817	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 + 2 ) = ; 1 1
102	22, 9, 8, 100, 44, 22, 101	decaddci 10800	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 9 + 2 ) = ; 2 1
103	97, 99, 102	prmlem0 14133	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. 2 || ; 1 9 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
104		prmlem2.17	. . . . . . . . . 10 |- -. ; 1 7 || N
105	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- (; 1 7 e. Prime -> -. ; 1 7 || N )
106		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ; 1 7 = ; 1 7
107	22, 69, 8, 106, 71	decaddi 10799	. . . . . . . . 9 |- (; 1 7 + 2 ) = ; 1 9
108	103, 105, 107	prmlem0 14133	. . . . . . . 8 |- ( ( -. 2 || ; 1 7 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
109		5t3e15 10829	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 x. 3 ) = ; 1 5
110	74, 63, 75, 65, 109	nprmi 13778	. . . . . . . . 9 |- -. ; 1 5 e. Prime
111	110	pm2.21i 131	. . . . . . . 8 |- (; 1 5 e. Prime -> -. ; 1 5 || N )
112		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ; 1 5 = ; 1 5
113	22, 25, 8, 112, 36	decaddi 10799	. . . . . . . 8 |- (; 1 5 + 2 ) = ; 1 7
114	108, 111, 113	prmlem0 14133	. . . . . . 7 |- ( ( -. 2 || ; 1 5 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
115		prmlem2.13	. . . . . . . 8 |- -. ; 1 3 || N
116	115	a1i 11	. . . . . . 7 |- (; 1 3 e. Prime -> -. ; 1 3 || N )
117		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ; 1 3 = ; 1 3
118	22, 84, 8, 117, 86	decaddi 10799	. . . . . . 7 |- (; 1 3 + 2 ) = ; 1 5
119	114, 116, 118	prmlem0 14133	. . . . . 6 |- ( ( -. 2 || ; 1 3 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 3 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
120		prmlem2.11	. . . . . . 7 |- -. ; 1 1 || N
121	120	a1i 11	. . . . . 6 |- (; 1 1 e. Prime -> -. ; 1 1 || N )
122		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ; 1 1 = ; 1 1
123	22, 22, 8, 122, 95	decaddi 10799	. . . . . 6 |- (; 1 1 + 2 ) = ; 1 3
124	119, 121, 123	prmlem0 14133	. . . . 5 |- ( ( -. 2 || ; 1 1 /\ x e. ( ZZ>= ` ; 1 1 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
125		9nprm 14140	. . . . . 6 |- -. 9 e. Prime
126	125	pm2.21i 131	. . . . 5 |- ( 9 e. Prime -> -. 9 || N )
127	124, 126, 101	prmlem0 14133	. . . 4 |- ( ( -. 2 || 9 /\ x e. ( ZZ>= ` 9 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
128		prmlem2.7	. . . . 5 |- -. 7 || N
129	128	a1i 11	. . . 4 |- ( 7 e. Prime -> -. 7 || N )
130	127, 129, 71	prmlem0 14133	. . 3 |- ( ( -. 2 || 7 /\ x e. ( ZZ>= ` 7 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
131		prmlem2.5	. . . 4 |- -. 5 || N
132	131	a1i 11	. . 3 |- ( 5 e. Prime -> -. 5 || N )
133	130, 132, 36	prmlem0 14133	. 2 |- ( ( -. 2 || 5 /\ x e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( x e. ( Prime \ { 2 } ) /\ ( x ^ 2 ) <_ N ) -> -. x || N ) )
134	1, 2, 3, 4, 133	prmlem1a 14134	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1756   \ cdif 3325   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   < clt 9418   <_ cle 9419   NNcn 10322   2c2 10371   3c3 10372   4c4 10373   5c5 10374   6c6 10375   7c7 10376   8c8 10377   9c9 10378  ;cdc 10755   ZZ>=cuz 10861   ^cexp 11865   || cdivides 13535   Primecprime 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-seq 11807  df-exp 11866  df-dvds 13536  df-prm 13764

This theorem is referenced by:  37prm  14148  43prm  14149  83prm  14150  139prm  14151  163prm  14152  317prm  14153  631prm  14154