MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem prmlem2 14463
Description: Our last proving session got as far as 25 because we started with the two "bootstrap" primes 2 and 3, and the next prime is 5, so knowing that 2 and 3 are prime and 4 is not allows us to cover the numbers less than  5 ^ 2  =  2 5. Additionally, nonprimes are "easy", so we can extend this range of known prime/nonprimes all the way until 29, which is the first prime larger than 25. Thus, in this lemma we extend another blanket out to  2 9 ^ 2  =  8 4 1, from which we can prove even more primes. If we wanted, we could keep doing this, but the goal is Bertrand's postulate, and for that we only need a few large primes - we don't need to find them all, as we have been doing thus far. So after this blanket runs out, we'll have to switch to another method (see 1259prm 14476).

As a side note, you can see the pattern of the primes in the indentation pattern of this lemma! (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prmlem2.n  |-  N  e.  NN
prmlem2.lt  |-  N  < ;; 8 4 1
prmlem2.gt  |-  1  <  N
prmlem2.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem2.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem2.5  |-  -.  5  ||  N
prmlem2.7  |-  -.  7  ||  N
prmlem2.11  |-  -. ; 1 1  ||  N
prmlem2.13  |-  -. ; 1 3  ||  N
prmlem2.17  |-  -. ; 1 7  ||  N
prmlem2.19  |-  -. ; 1 9  ||  N
prmlem2.23  |-  -. ; 2 3  ||  N
Assertion
Ref Expression
prmlem2  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem2.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem2.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem2.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem2.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  x  e.  RR )
65resqcld 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> ; 2 9  <_  x )
8 2nn0 10812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  NN0
9 9nn0 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  9  e.  NN0
108, 9deccl 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |- ; 2 9  e.  NN0
1110nn0rei 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- ; 2 9  e.  RR
1210nn0ge0i 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_ ; 2
9
13 le2sq2 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (; 2 9  e.  RR  /\  0  <_ ; 2 9 )  /\  ( x  e.  RR  /\ ; 2
9  <_  x )
)  ->  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
1411, 12, 13mpanl12 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\ ; 2 9  <_  x )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
155, 7, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
161nnrei 10545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  N  e.  RR
1711resqcli 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR
18 prmlem2.lt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  < ;; 8 4 1
1910nn0cni 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  e.  CC
2019sqvali 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9 ^ 2 )  =  (; 2 9  x. ; 2 9 )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 9  = ; 2 9
22 1nn0 10811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  NN0
23 6nn0 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  6  e.  NN0
248, 23deccl 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 2 6  e.  NN0
25 5nn0 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  5  e.  NN0
26 8nn0 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  NN0
27192timesi 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  =  (; 2 9  + ; 2 9 )
28 2p2e4 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 2  +  2 )  =  4
2928oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
30 4p1e5 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 4  +  1 )  =  5
3129, 30eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  +  2 )  +  1 )  =  5
32 9p9e18 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 9  +  9 )  = ; 1
8
338, 9, 8, 9, 21, 21, 31, 26, 32decaddc 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 2 9  + ; 2 9 )  = ; 5
8
3427, 33eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  x. ; 2 9 )  = ; 5
8
35 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |- ; 2 6  = ; 2 6
36 5p2e7 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 5  +  2 )  =  7
3736oveq1i 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  ( 7  +  1 )
38 7p1e8 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 7  +  1 )  =  8
3937, 38eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 5  +  2 )  +  1 )  =  8
40 4nn0 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  4  e.  NN0
41 8p6e14 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 8  +  6 )  = ; 1
4
4225, 26, 8, 23, 34, 35, 39, 40, 41decaddc 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  x. ; 2 9 )  + ; 2
6 )  = ; 8 4
43 9t2e18 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 9  x.  2 )  = ; 1
8
44 1p1e2 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  +  1 )  =  2
45 8p8e16 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  +  8 )  = ; 1
6
4622, 26, 26, 43, 44, 23, 45decaddci 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 9  x.  2 )  +  8 )  = ; 2
6
47 9t9e81 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 9  x.  9 )  = ; 8
1
489, 8, 9, 21, 22, 26, 46, 47decmul2c 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 9  x. ; 2 9 )  = ;; 2 6 1
4910, 8, 9, 21, 22, 24, 42, 48decmul1c 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 2 9  x. ; 2 9 )  = ;; 8 4 1
5020, 49eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 2 9 ^ 2 )  = ;; 8 4 1
5118, 50breqtrri 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  N  < 
(; 2 9 ^ 2 )
52 ltletr 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( ( N  < 
(; 2 9 ^ 2 )  /\  (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )  ->  N  <  (
x ^ 2 ) ) )
5351, 52mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  (; 2 9 ^ 2 )  e.  RR  /\  (
x ^ 2 )  e.  RR )  -> 
( (; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
5416, 17, 53mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
(; 2 9 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
556, 15, 54sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) )
56 ltnle 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
5716, 6, 56sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( N  <  (
x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
)
5855, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  ->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N )
5958pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) )
6059adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 )  -> 
( ( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  2  || ; 2 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
62 9nn 10700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  e.  NN
63 3nn 10694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
64 1lt9 10737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  9
65 1lt3 10704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  3
66 9t3e27 11072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  x.  3 )  = ; 2
7
6762, 63, 64, 65, 66nprmi 14091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -. ; 2 7  e.  Prime
6867pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  e.  Prime  ->  -. ; 2 7  ||  N )
69 7nn0 10817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  7  e.  NN0
70 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 7  = ; 2 7
71 7p2e9 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  +  2 )  =  9
728, 69, 8, 70, 71decaddi 11020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 2 7  +  2 )  = ; 2 9
7361, 68, 72prmlem0 14449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  2  || ; 2 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
74 5nn 10696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  NN
75 1lt5 10711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  5
76 5t5e25 11052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
7774, 74, 75, 75, 76nprmi 14091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -. ; 2 5  e.  Prime
7877pm2.21i 131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  e.  Prime  ->  -. ; 2 5  ||  N )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 5  = ; 2 5
808, 25, 8, 79, 36decaddi 11020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (; 2 5  +  2 )  = ; 2 7
8173, 78, 80prmlem0 14449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  2  || ; 2 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
82 prmlem2.23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -. ; 2 3  ||  N
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  e.  Prime  ->  -. ; 2 3  ||  N )
84 3nn0 10813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
85 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 2 3  = ; 2 3
86 3p2e5 10668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  2 )  =  5
878, 84, 8, 85, 86decaddi 11020 . . . . . . . . . . . 12  |-  (; 2 3  +  2 )  = ; 2 5
8881, 83, 87prmlem0 14449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  || ; 2 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
89 7nn 10698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  7  e.  NN
90 1lt7 10722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  7
91 7t3e21 11059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
9289, 63, 90, 65, 91nprmi 14091 . . . . . . . . . . . 12  |-  -. ; 2 1  e.  Prime
9392pm2.21i 131 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  e.  Prime  ->  -. ; 2 1  ||  N )
94 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 2 1  = ; 2 1
95 1p2e3 10660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  2 )  =  3
968, 22, 8, 94, 95decaddi 11020 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 1  +  2 )  = ; 2 3
9788, 93, 96prmlem0 14449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  || ; 2 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 2 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
98 prmlem2.19 . . . . . . . . . . 11  |-  -. ; 1 9  ||  N
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  e.  Prime  ->  -. ; 1 9  ||  N )
100 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |- ; 1 9  = ; 1 9
101 9p2e11 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  +  2 )  = ; 1
1
10222, 9, 8, 100, 44, 22, 101decaddci 11021 . . . . . . . . . 10  |-  (; 1 9  +  2 )  = ; 2 1
10397, 99, 102prmlem0 14449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  || ; 1 9  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
104 prmlem2.17 . . . . . . . . . 10  |-  -. ; 1 7  ||  N
105104a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  e.  Prime  ->  -. ; 1 7  ||  N )
106 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 7  = ; 1 7
10722, 69, 8, 106, 71decaddi 11020 . . . . . . . . 9  |-  (; 1 7  +  2 )  = ; 1 9
108103, 105, 107prmlem0 14449 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  2  || ; 1 7  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
109 5t3e15 11050 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  3 )  = ; 1
5
11074, 63, 75, 65, 109nprmi 14091 . . . . . . . . 9  |-  -. ; 1 5  e.  Prime
111110pm2.21i 131 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  e.  Prime  ->  -. ; 1 5  ||  N )
112 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |- ; 1 5  = ; 1 5
11322, 25, 8, 112, 36decaddi 11020 . . . . . . . 8  |-  (; 1 5  +  2 )  = ; 1 7
114108, 111, 113prmlem0 14449 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  2  || ; 1 5  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
115 prmlem2.13 . . . . . . . 8  |-  -. ; 1 3  ||  N
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  e.  Prime  ->  -. ; 1 3  ||  N )
117 eqid 2467 . . . . . . . 8  |- ; 1 3  = ; 1 3
11822, 84, 8, 117, 86decaddi 11020 . . . . . . 7  |-  (; 1 3  +  2 )  = ; 1 5
119114, 116, 118prmlem0 14449 . . . . . 6  |-  ( ( -.  2  || ; 1 3  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
120 prmlem2.11 . . . . . . 7  |-  -. ; 1 1  ||  N
121120a1i 11 . . . . . 6  |-  (; 1 1  e.  Prime  ->  -. ; 1 1  ||  N )
122 eqid 2467 . . . . . . 7  |- ; 1 1  = ; 1 1
12322, 22, 8, 122, 95decaddi 11020 . . . . . 6  |-  (; 1 1  +  2 )  = ; 1 3
124119, 121, 123prmlem0 14449 . . . . 5  |-  ( ( -.  2  || ; 1 1  /\  x  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
125 9nprm 14456 . . . . . 6  |-  -.  9  e.  Prime
126125pm2.21i 131 . . . . 5  |-  ( 9  e.  Prime  ->  -.  9  ||  N )
127124, 126, 101prmlem0 14449 . . . 4  |-  ( ( -.  2  ||  9  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  9 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
128 prmlem2.7 . . . . 5  |-  -.  7  ||  N
129128a1i 11 . . . 4  |-  ( 7  e.  Prime  ->  -.  7  ||  N )
130127, 129, 71prmlem0 14449 . . 3  |-  ( ( -.  2  ||  7  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
131 prmlem2.5 . . . 4  |-  -.  5  ||  N
132131a1i 11 . . 3  |-  ( 5  e.  Prime  ->  -.  5  ||  N )
133130, 132, 36prmlem0 14449 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
1341, 2, 3, 4, 133prmlem1a 14450 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   2c2 10585   3c3 10586   4c4 10587   5c5 10588   6c6 10589   7c7 10590   8c8 10591   9c9 10592  ;cdc 10976   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12134    || cdivides 13847   Primecprime 14076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-dvds 13848  df-prm 14077
This theorem is referenced by:  37prm  14464  43prm  14465  83prm  14466  139prm  14467  163prm  14468  317prm  14469  631prm  14470
  Copyright terms: Public domain W3C validator