MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1a 14679
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1a.x  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
Assertion
Ref Expression
prmlem1a  |-  N  e. 
Prime
Distinct variable group:    x, N

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . . 3  |-  1  <  N
3 eluz2b2 11155 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
41, 2, 3mpbir2an 918 . 2  |-  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  (
x  ||  N  <->  2  ||  N ) )
65notbid 292 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  ( -.  x  ||  N  <->  -.  2  ||  N ) )
76imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  (
( ( x ^
2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)  <->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) ) )
8 prmnn 14307 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  NN )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  x  e.  NN )
10 eldifsn 4141 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 ) )
11 n2dvds1 14122 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
12 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
13 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  3  ||  N
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  Prime  ->  -.  3  ||  N )
15 3p2e5 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
1612, 14, 15prmlem0 14678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  2  ||  3  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  3 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
17 1nprm 14309 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
1817pm2.21i 131 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  Prime  ->  -.  1  ||  N )
19 1p2e3 10656 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  2 )  =  3
2016, 18, 19prmlem0 14678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  2  ||  1  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  1 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
2111, 20mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
22 nnuz 11117 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22eleq2s 2562 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N ) )
2423expd 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
2510, 24syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
) ) )
269, 25mpcom 36 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  =/=  2 )  ->  (
( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
27 prmlem1.2 . . . . 5  |-  -.  2  ||  N
2827a1ii 27 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  2  ||  N ) )
297, 26, 28pm2.61ne 2769 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029rgen 2814 . 2  |-  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N
)
31 isprm5 14340 . 2  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  Prime  ( ( x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) ) )
324, 30, 31mpbir2an 918 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804    \ cdif 3458   {csn 4016   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   2c2 10581   3c3 10582   5c5 10584   ZZ>=cuz 11082   ^cexp 12151    || cdvds 14073   Primecprime 14304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-seq 12093  df-exp 12152  df-dvds 14074  df-prm 14305
This theorem is referenced by:  prmlem1  14680  prmlem2  14692
  Copyright terms: Public domain W3C validator