MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1 14604
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1.lt  |-  N  < ; 2 5
Assertion
Ref Expression
prmlem1  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem1.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem1.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 11116 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  x  e.  RR )
65resqcld 12338 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 11118 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  x )
8 5re 10635 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
9 5nn0 10836 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
109nn0ge0i 10844 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  5
11 le2sq2 12245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  0  <_  5 )  /\  ( x  e.  RR  /\  5  <_  x ) )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
128, 10, 11mpanl12 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  5  <_  x )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
135, 7, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 ) )
141nnrei 10565 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
158resqcli 12255 . . . . . . . 8  |-  ( 5 ^ 2 )  e.  RR
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10  |-  N  < ; 2 5
17 5cn 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
1817sqvali 12249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
19 5t5e25 11076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
2018, 19eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
2116, 20breqtrri 4481 . . . . . . . . 9  |-  N  < 
( 5 ^ 2 )
22 ltletr 9693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( N  <  ( 5 ^ 2 )  /\  (
5 ^ 2 )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
2321, 22mpani 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^ 2 ) ) )
2414, 15, 23mp3an12 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
256, 13, 24sylc 60 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  N  <  ( x ^ 2 ) )
26 ltnle 9681 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2714, 6, 26sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <  ( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  -.  (
x ^ 2 )  <_  N )
2928pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029adantld 467 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
3130adantl 466 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 14603 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   3c3 10607   5c5 10609  ;cdc 11000   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12168    || cdvds 13997   Primecprime 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-dvds 13998  df-prm 14229
This theorem is referenced by:  5prm  14605  7prm  14607  11prm  14611  13prm  14612  17prm  14613  19prm  14614  23prm  14615
  Copyright terms: Public domain W3C validator