MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1 14150
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1.lt  |-  N  < ; 2 5
Assertion
Ref Expression
prmlem1  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem1.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem1.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 10886 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  x  e.  RR )
65resqcld 12049 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 10888 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  x )
8 5re 10415 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
9 5nn0 10614 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
109nn0ge0i 10622 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  5
11 le2sq2 11956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  0  <_  5 )  /\  ( x  e.  RR  /\  5  <_  x ) )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
128, 10, 11mpanl12 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  5  <_  x )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
135, 7, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 ) )
141nnrei 10346 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
158resqcli 11966 . . . . . . . 8  |-  ( 5 ^ 2 )  e.  RR
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10  |-  N  < ; 2 5
17 5cn 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
1817sqvali 11960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
19 5t5e25 10846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
2018, 19eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
2116, 20breqtrri 4332 . . . . . . . . 9  |-  N  < 
( 5 ^ 2 )
22 ltletr 9481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( N  <  ( 5 ^ 2 )  /\  (
5 ^ 2 )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
2321, 22mpani 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^ 2 ) ) )
2414, 15, 23mp3an12 1304 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
256, 13, 24sylc 60 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  N  <  ( x ^ 2 ) )
26 ltnle 9469 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2714, 6, 26sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <  ( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  -.  (
x ^ 2 )  <_  N )
2928pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029adantld 467 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
3130adantl 466 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 14149 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    \ cdif 3340   {csn 3892   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    x. cmul 9302    < clt 9433    <_ cle 9434   NNcn 10337   2c2 10386   3c3 10387   5c5 10389  ;cdc 10770   ZZ>=cuz 10876   ^cexp 11880    || cdivides 13550   Primecprime 13778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-rp 11007  df-fz 11453  df-seq 11822  df-exp 11881  df-dvds 13551  df-prm 13779
This theorem is referenced by:  5prm  14151  7prm  14153  11prm  14157  13prm  14158  17prm  14159  19prm  14160  23prm  14161
  Copyright terms: Public domain W3C validator