MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Unicode version

Theorem prmlem1 14447
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n  |-  N  e.  NN
prmlem1.gt  |-  1  <  N
prmlem1.2  |-  -.  2  ||  N
prmlem1.3  |-  -.  3  ||  N
prmlem1.lt  |-  N  < ; 2 5
Assertion
Ref Expression
prmlem1  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2  |-  N  e.  NN
2 prmlem1.gt . 2  |-  1  <  N
3 prmlem1.2 . 2  |-  -.  2  ||  N
4 prmlem1.3 . 2  |-  -.  3  ||  N
5 eluzelre 11088 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  x  e.  RR )
65resqcld 12300 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
7 eluzle 11090 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  x )
8 5re 10610 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
9 5nn0 10811 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  NN0
109nn0ge0i 10819 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  5
11 le2sq2 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  0  <_  5 )  /\  ( x  e.  RR  /\  5  <_  x ) )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
128, 10, 11mpanl12 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  5  <_  x )  -> 
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 ) )
135, 7, 12syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 ) )
141nnrei 10541 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
158resqcli 12217 . . . . . . . 8  |-  ( 5 ^ 2 )  e.  RR
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10  |-  N  < ; 2 5
17 5cn 10611 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  CC
1817sqvali 12211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5 ^ 2 )  =  ( 5  x.  5 )
19 5t5e25 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  x.  5 )  = ; 2
5
2018, 19eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5 ^ 2 )  = ; 2
5
2116, 20breqtrri 4472 . . . . . . . . 9  |-  N  < 
( 5 ^ 2 )
22 ltletr 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( N  <  ( 5 ^ 2 )  /\  (
5 ^ 2 )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
2321, 22mpani 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 5 ^ 2 )  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( 5 ^ 2 )  <_ 
( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^ 2 ) ) )
2414, 15, 23mp3an12 1314 . . . . . . 7  |-  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  ->  (
( 5 ^ 2 )  <_  ( x ^ 2 )  ->  N  <  ( x ^
2 ) ) )
256, 13, 24sylc 60 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  N  <  ( x ^ 2 ) )
26 ltnle 9660 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( N  < 
( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2714, 6, 26sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( N  <  ( x ^ 2 )  <->  -.  ( x ^ 2 )  <_  N ) )
2825, 27mpbid 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  -.  (
x ^ 2 )  <_  N )
2928pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x ^ 2 )  <_  N  ->  -.  x  ||  N ) )
3029adantld 467 . . 3  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  ( (
x  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( x ^
2 )  <_  N
)  ->  -.  x  ||  N ) )
3130adantl 466 . 2  |-  ( ( -.  2  ||  5  /\  x  e.  ( ZZ>=
`  5 ) )  ->  ( ( x  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( x ^ 2 )  <_  N )  ->  -.  x  ||  N
) )
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 14446 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   5c5 10584  ;cdc 10972   ZZ>=cuz 11078   ^cexp 12130    || cdivides 13843   Primecprime 14072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-dvds 13844  df-prm 14073
This theorem is referenced by:  5prm  14448  7prm  14450  11prm  14454  13prm  14455  17prm  14456  19prm  14457  23prm  14458
  Copyright terms: Public domain W3C validator