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Theorem prmirredlemOLD 18652
Description: A positive integer is irreducible over  ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) Obsolete version of prmirredlem 18649 as of 10-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirredOLD.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
prmirredOLD.2  |-  I  =  (Irred `  Z )
Assertion
Ref Expression
prmirredlemOLD  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlemOLD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18597 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 prmirredOLD.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgring 17558 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Z  e. 
Ring
5 prmirredOLD.2 . . . . . . 7  |-  I  =  (Irred `  Z )
6 cnfld1 18569 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` fld )
72, 6subrg1 17565 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z
) )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1r `  Z )
95, 8irredn1 17481 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  I )  ->  A  =/=  1 )
104, 9mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  1 )
1110anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
12 eluz2b3 11180 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
1311, 12sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 nnz 10907 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1514ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
16 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  ||  A )
17 nnne0 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  =/=  0 )
19 nnz 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 dvdsval2 14000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2316, 22mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  ZZ )
2420zcnd 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  CC )
25 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2625ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  CC )
2724, 26, 18divcan2d 10343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
28 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  I )
2927, 28eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )
302subrgbas 17564 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
32 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
33 zex 10894 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
34 cnfldmul 18552 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
352, 34ressmulr 14768 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
3633, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  Z )
375, 31, 32, 36irredmul 17484 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  /  y
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
3815, 23, 29, 37syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
392zrngunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( abs `  y )  =  1 ) )
4039baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
4115, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
42 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
43 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
44 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
4543, 44absidd 13265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( abs `  y )  =  y )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( abs `  y )  =  y )
4746ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  y
)  =  y )
4847eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  y
)  =  1  <->  y  =  1 ) )
4941, 48bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  y  = 
1 ) )
502zrngunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5150baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  ->  (
( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5223, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
53 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  RR )
55 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  NN )
5654, 55nndivred 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  RR )
57 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
58 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  A )
6155nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  RR )
62 nngt0 10585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <  y )
64 divge0 10432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  0  <_  ( A  /  y ) )
6554, 60, 61, 63, 64syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  ( A  /  y ) )
6656, 65absidd 13265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  ( A  /  y ) )  =  ( A  / 
y ) )
6766eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  ( A  /  y )  =  1 ) )
68 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
1  e.  CC )
7024, 26, 69, 18divmuld 10363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  =  1  <-> 
( y  x.  1 )  =  A ) )
7126mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  1 )  =  y )
7271eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  x.  1 )  =  A  <-> 
y  =  A ) )
7367, 70, 723bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  y  =  A ) )
7452, 73bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  y  =  A ) )
7549, 74orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7638, 75mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  =  1  \/  y  =  A ) )
7776expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7877ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
79 isprm2 14236 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) ) )
8013, 78, 79sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  Prime )
81 prmz 14232 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  ZZ )
82 1nprm 14233 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
832zrngunit 18647 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 ) )
84 prmnn 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
85 nn0re 10825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
8685, 58absidd 13265 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
8784, 57, 863syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  =  A )
88 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e. 
Prime )
8987, 88eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  e.  Prime )
90 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
9189, 90syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( abs `  A )  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
9291adantld 467 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  e.  Prime )
)
9383, 92syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  e.  Prime ) )
9482, 93mtoi 178 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  -.  A  e.  (Unit `  Z )
)
95 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  ZZ )
9695zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  CC )
9784ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  NN )
9897nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  =/=  0 )
99 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =  A )
100 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  ZZ )
101100zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  CC )
102101mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
10398, 99, 1023netr4d 2762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y ) )
104 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
105104necon3i 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y )  ->  x  =/=  0 )
106103, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  =/=  0 )
10796, 106absne0d 13289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  =/=  0 )
108107neneqd 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  -.  ( abs `  x )  =  0 )
109 nn0abscl 13156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
11095, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
111 elnn0 10818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  x )  e.  NN  \/  ( abs `  x
)  =  0 ) )
112110, 111sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  e.  NN  \/  ( abs `  x )  =  0 ) )
113112ord 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( -.  ( abs `  x
)  e.  NN  ->  ( abs `  x )  =  0 ) )
114108, 113mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  NN )
11579simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
116115ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
117 dvdsmul1 14016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  ( x  x.  y
) )
119118, 99breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  A )
12081ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
121 absdvdsb 14013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  ||  A  <->  ( abs `  x ) 
||  A ) )
12295, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  ||  A  <->  ( abs `  x )  ||  A
) )
123119, 122mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  ||  A )
124 breq1 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  ||  A  <->  ( abs `  x
)  ||  A )
)
125 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  1  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
126 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  A  <->  ( abs `  x
)  =  A ) )
127125, 126orbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  =  1  \/  y  =  A )  <-> 
( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
128124, 127imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  <->  ( ( abs `  x )  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
129128rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  ->  (
( abs `  x
)  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
130114, 116, 123, 129syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) )
1312zrngunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
132131baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
13395, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
134100, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
135101abscld 13278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
136135recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
13768a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  1  e.  CC )
13896abscld 13278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
139138recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
140136, 137, 139, 107mulcand 10203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  y
)  =  1 ) )
14199fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( abs `  A
) )
14296, 101absmuld 13296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) ) )
14387ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  A )  =  A )
144141, 142, 1433eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  A )
145139mulid1d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  1 )  =  ( abs `  x
) )
146144, 145eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
A  =  ( abs `  x ) ) )
147 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( abs `  x
)  <->  ( abs `  x
)  =  A )
148146, 147syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  x
)  =  A ) )
149134, 140, 1483bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  A ) )
150133, 149orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
)  <->  ( ( abs `  x )  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
151130, 150mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) )
152151ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  x.  y )  =  A  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) )
153152ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
15431, 32, 5, 36isirred2 17476 . . . 4  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  (Unit `  Z )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( x  x.  y
)  =  A  -> 
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) ) )
15581, 94, 153, 154syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  I )
156155adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  Prime )  ->  A  e.  I )
15780, 156impbida 832 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   abscabs 13078    || cdvds 13997   Primecprime 14228   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   .rcmulr 14712   1rcur 17279   Ringcrg 17324  Unitcui 17414  Irredcir 17415  SubRingcsubrg 17551  ℂfldccnfld 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-prm 14229  df-gz 14459  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-subg 16324  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-irred 17418  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-subrg 17553  df-cnfld 18547
This theorem is referenced by:  dfprm2OLD  18653  prmirredOLD  18654
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