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Theorem prmirredlem 16728
Description: A natural number is irreducible over  ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmirred.1  |-  Z  =  (flds  ZZ )
prmirred.2  |-  I  =  (Irred `  Z )
Assertion
Ref Expression
prmirredlem  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 16707 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 prmirred.1 . . . . . . . 8  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 15826 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Z  e. 
Ring
5 prmirred.2 . . . . . . 7  |-  I  =  (Irred `  Z )
6 cnfld1 16681 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` fld )
72, 6subrg1 15833 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  1  =  ( 1r `  Z
) )
81, 7ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1r `  Z )
95, 8irredn1 15766 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  I )  ->  A  =/=  1 )
104, 9mpan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  1 )
1110anim2i 553 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
12 eluz2b3 10505 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
1311, 12sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
14 nnz 10259 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
1514ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
16 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  ||  A )
17 nnne0 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1817ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  =/=  0 )
19 nnz 10259 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 dvdsval2 12810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2215, 18, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
2316, 22mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  ZZ )
2420zcnd 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  CC )
25 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2625ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  CC )
2724, 26, 18divcan2d 9748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
28 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  I )
2927, 28eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )
302subrgbas 15832 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
311, 30ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
32 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
33 zex 10247 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
34 cnfldmul 16664 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( .r ` fld )
352, 34ressmulr 13537 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
3633, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r `  Z )
375, 31, 32, 36irredmul 15769 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  /  y
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
3815, 23, 29, 37syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z )
) )
392zrngunit 16720 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( abs `  y )  =  1 ) )
4039baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
4115, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
42 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
43 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
44 nn0ge0 10203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
4543, 44absidd 12180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( abs `  y )  =  y )
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( abs `  y )  =  y )
4746ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  y
)  =  y )
4847eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  y
)  =  1  <->  y  =  1 ) )
4941, 48bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit `  Z )  <->  y  = 
1 ) )
502zrngunit 16720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  y )  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5150baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  ->  (
( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
5223, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
53 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5453ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  RR )
55 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  NN )
5654, 55nndivred 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  RR )
57 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
58 nn0ge0 10203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
6059ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  A )
6155nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  RR )
62 nngt0 9985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
6362ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <  y )
64 divge0 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  0  <_  ( A  /  y ) )
6554, 60, 61, 63, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  ( A  /  y ) )
6656, 65absidd 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  ( A  /  y ) )  =  ( A  / 
y ) )
6766eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  ( A  /  y )  =  1 ) )
68 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
1  e.  CC )
7024, 26, 69, 18divmuld 9768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  =  1  <-> 
( y  x.  1 )  =  A ) )
7126mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  1 )  =  y )
7271eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  x.  1 )  =  A  <-> 
y  =  A ) )
7367, 70, 723bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  y  =  A ) )
7452, 73bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit `  Z )  <->  y  =  A ) )
7549, 74orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  e.  (Unit `  Z )  \/  ( A  /  y
)  e.  (Unit `  Z ) )  <->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7638, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  =  1  \/  y  =  A ) )
7776expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
7877ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
79 isprm2 13042 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) ) )
8013, 78, 79sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  Prime )
81 prmz 13038 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  ZZ )
82 1nprm 13039 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
832zrngunit 16720 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 ) )
84 prmnn 13037 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
85 nn0re 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
8685, 58absidd 12180 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
8784, 57, 863syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  =  A )
88 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e. 
Prime )
8987, 88eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  e.  Prime )
90 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
9189, 90syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( abs `  A )  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
9291adantld 454 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  e.  Prime )
)
9383, 92syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( A  e.  (Unit `  Z
)  ->  1  e.  Prime ) )
9482, 93mtoi 171 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  -.  A  e.  (Unit `  Z )
)
95 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  ZZ )
9695zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  CC )
9784ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  NN )
9897nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  =/=  0 )
99 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =  A )
100 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  ZZ )
101100zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  CC )
102101mul02d 9220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
10398, 99, 1023netr4d 2594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y ) )
104 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
105104necon3i 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y )  ->  x  =/=  0 )
106103, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  =/=  0 )
10796, 106absne0d 12204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  =/=  0 )
108107neneqd 2583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  -.  ( abs `  x )  =  0 )
109 nn0abscl 12072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
11095, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
111 elnn0 10179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  x )  e.  NN  \/  ( abs `  x
)  =  0 ) )
112110, 111sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  e.  NN  \/  ( abs `  x )  =  0 ) )
113112ord 367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( -.  ( abs `  x
)  e.  NN  ->  ( abs `  x )  =  0 ) )
114108, 113mt3d 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  NN )
11579simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
116115ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
117 dvdsmul1 12826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
118117ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  ( x  x.  y
) )
119118, 99breqtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  A )
12081ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
121 absdvdsb 12823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  ||  A  <->  ( abs `  x ) 
||  A ) )
12295, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  ||  A  <->  ( abs `  x )  ||  A
) )
123119, 122mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  ||  A )
124 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  ||  A  <->  ( abs `  x
)  ||  A )
)
125 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  1  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
126 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  A  <->  ( abs `  x
)  =  A ) )
127125, 126orbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  =  1  \/  y  =  A )  <-> 
( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
128124, 127imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  <->  ( ( abs `  x )  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
129128rspcv 3008 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  ->  (
( abs `  x
)  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
130114, 116, 123, 129syl3c 59 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) )
1312zrngunit 16720 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
132131baib 872 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
13395, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
134100, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
135101abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
136135recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
13768a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  1  e.  CC )
13896abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
139138recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
140136, 137, 139, 107mulcand 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  y
)  =  1 ) )
14199fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( abs `  A
) )
14296, 101absmuld 12211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) ) )
14387ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  A )  =  A )
144141, 142, 1433eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  A )
145139mulid1d 9061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  1 )  =  ( abs `  x
) )
146144, 145eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
A  =  ( abs `  x ) ) )
147 eqcom 2406 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( abs `  x
)  <->  ( abs `  x
)  =  A )
148146, 147syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  x
)  =  A ) )
149134, 140, 1483bitr2d 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit `  Z )  <->  ( abs `  x )  =  A ) )
150133, 149orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
)  <->  ( ( abs `  x )  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
151130, 150mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) )
152151ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  x.  y )  =  A  ->  (
x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) )
153152ralrimivva 2758 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z ) ) ) )
15431, 32, 5, 36isirred2 15761 . . . 4  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  (Unit `  Z )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  (
( x  x.  y
)  =  A  -> 
( x  e.  (Unit `  Z )  \/  y  e.  (Unit `  Z )
) ) ) )
15581, 94, 153, 154syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  I )
156155adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  Prime )  ->  A  e.  I )
15780, 156impbida 806 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   abscabs 11994    || cdivides 12807   Primecprime 13034   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   .rcmulr 13485   Ringcrg 15615   1rcur 15617  Unitcui 15699  Irredcir 15700  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658
This theorem is referenced by:  dfprm2  16729  prmirred  16730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-prm 13035  df-gz 13253  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-cmn 15369  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-irred 15703  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-cnfld 16659
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