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Theorem prmirredlem 18650
Description: A positive integer is irreducible over  ZZ iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i  |-  I  =  (Irred ` ring )
Assertion
Ref Expression
prmirredlem  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringring 18618 . . . . . 6  |-ring  e.  Ring
2 prmirred.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Irred ` ring )
3 zring1 18626 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1r ` ring )
42, 3irredn1 17482 . . . . . 6  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  I
)  ->  A  =/=  1 )
51, 4mpan 670 . . . . 5  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  1 )
65anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
7 eluz2b3 11180 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  A  =/=  1 ) )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9 nnz 10907 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
109ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
11 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  ||  A )
12 nnne0 10589 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
1312ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  =/=  0 )
14 nnz 10907 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
16 dvdsval2 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
1710, 13, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  ||  A  <->  ( A  /  y )  e.  ZZ ) )
1811, 17mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  ZZ )
1915zcnd 10991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  CC )
20 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  CC )
2219, 21, 13divcan2d 10343 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
23 simplr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  I )
2422, 23eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )
25 zringbas 18621 . . . . . . . 8  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
26 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  (Unit ` ring )  =  (Unit ` ring )
27 zringmulr 18624 . . . . . . . 8  |-  x.  =  ( .r ` ring )
282, 25, 26, 27irredmul 17485 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  /  y
)  e.  ZZ  /\  ( y  x.  ( A  /  y ) )  e.  I )  -> 
( y  e.  (Unit ` ring )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit ` ring ) ) )
2910, 18, 24, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit ` ring )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit ` ring ) ) )
30 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  (Unit ` ring )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( abs `  y )  =  1 ) )
3130baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
y  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
3210, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit ` ring ) 
<->  ( abs `  y
)  =  1 ) )
33 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
34 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  RR )
35 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  0  <_ 
y )
3634, 35absidd 13266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( abs `  y )  =  y )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( abs `  y )  =  y )
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  y
)  =  y )
3938eqeq1d 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  y
)  =  1  <->  y  =  1 ) )
4032, 39bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  e.  (Unit ` ring ) 
<->  y  =  1 ) )
41 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  y )  e.  (Unit ` ring )  <->  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  /\  ( abs `  ( A  /  y
) )  =  1 ) )
4241baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  y )  e.  ZZ  ->  (
( A  /  y
)  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1 ) )
4318, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit ` ring ) 
<->  ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1 ) )
44 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  ->  A  e.  RR )
46 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  NN )
4745, 46nndivred 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( A  /  y
)  e.  RR )
48 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
49 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  A )
5246nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
y  e.  RR )
53 nngt0 10585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <  y )
55 divge0 10432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  0  <_  ( A  /  y ) )
5645, 51, 52, 54, 55syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
0  <_  ( A  /  y ) )
5747, 56absidd 13266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( abs `  ( A  /  y ) )  =  ( A  / 
y ) )
5857eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  ( A  /  y )  =  1 ) )
59 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
1  e.  CC )
6019, 21, 59, 13divmuld 10363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  =  1  <-> 
( y  x.  1 )  =  A ) )
6121mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  x.  1 )  =  y )
6261eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  x.  1 )  =  A  <-> 
y  =  A ) )
6358, 60, 623bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( abs `  ( A  /  y ) )  =  1  <->  y  =  A ) )
6443, 63bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( A  / 
y )  e.  (Unit ` ring ) 
<->  y  =  A ) )
6540, 64orbi12d 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( ( y  e.  (Unit ` ring )  \/  ( A  /  y )  e.  (Unit ` ring ) )  <->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
6629, 65mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  ( y  e.  NN  /\  y  ||  A ) )  -> 
( y  =  1  \/  y  =  A ) )
6766expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
6867ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
69 isprm2 14237 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) ) )
708, 68, 69sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  Prime )
71 prmz 14233 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  ZZ )
72 1nprm 14234 . . . . 5  |-  -.  1  e.  Prime
73 zringunit 18647 . . . . . 6  |-  ( A  e.  (Unit ` ring )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 ) )
74 prmnn 14232 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
75 nn0re 10825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
7675, 49absidd 13266 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
7774, 48, 763syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  =  A )
78 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e. 
Prime )
7977, 78eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( abs `  A )  e.  Prime )
80 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  A )  =  1  ->  (
( abs `  A
)  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
8179, 80syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( abs `  A )  =  1  ->  1  e.  Prime ) )
8281adantld 467 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =  1 )  -> 
1  e.  Prime )
)
8373, 82syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( A  e.  Prime  ->  ( A  e.  (Unit ` ring )  ->  1  e. 
Prime ) )
8472, 83mtoi 178 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  -.  A  e.  (Unit ` ring ) )
85 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  ZZ )
8685zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  e.  CC )
8774ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  NN )
8887nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  =/=  0 )
89 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =  A )
90 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  ZZ )
9190zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  y  e.  CC )
9291mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
0  x.  y )  =  0 )
9388, 89, 923netr4d 2762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y ) )
94 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
x  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
9594necon3i 2697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  x.  y )  =/=  ( 0  x.  y )  ->  x  =/=  0 )
9693, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  =/=  0 )
9786, 96absne0d 13290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  =/=  0 )
9897neneqd 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  -.  ( abs `  x )  =  0 )
99 nn0abscl 13157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
10085, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e. 
NN0 )
101 elnn0 10818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  x )  e.  NN  \/  ( abs `  x
)  =  0 ) )
102100, 101sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  e.  NN  \/  ( abs `  x )  =  0 ) )
103102ord 377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( -.  ( abs `  x
)  e.  NN  ->  ( abs `  x )  =  0 ) )
10498, 103mt3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  NN )
10569simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) ) )
107 dvdsmul1 14017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  ||  ( x  x.  y ) )
108107ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  ( x  x.  y
) )
109108, 89breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  x  ||  A )
11071ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
111 absdvdsb 14014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  ||  A  <->  ( abs `  x ) 
||  A ) )
11285, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  ||  A  <->  ( abs `  x )  ||  A
) )
113109, 112mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  ||  A )
114 breq1 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  ||  A  <->  ( abs `  x
)  ||  A )
)
115 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  1  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
116 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( y  =  A  <->  ( abs `  x
)  =  A ) )
117115, 116orbi12d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  =  1  \/  y  =  A )  <-> 
( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) )
118114, 117imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( abs `  x
)  ->  ( (
y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  <->  ( ( abs `  x )  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
119118rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  x )  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  ||  A  ->  ( y  =  1  \/  y  =  A ) )  ->  (
( abs `  x
)  ||  A  ->  ( ( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) ) ) )
120104, 106, 113, 119syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  =  1  \/  ( abs `  x
)  =  A ) )
121 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  (Unit ` ring )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
122121baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
12385, 122syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  x )  =  1 ) )
12490, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  y )  =  1 ) )
12591abscld 13279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
126125recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
127 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  1  e.  CC )
12886abscld 13279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
129128recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
130126, 127, 129, 97mulcand 10203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  y
)  =  1 ) )
13189fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( abs `  A
) )
13286, 91absmuld 13297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  ( x  x.  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) ) )
13377ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  ( abs `  A )  =  A )
134131, 132, 1333eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  A )
135129mulid1d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( abs `  x
)  x.  1 )  =  ( abs `  x
) )
136134, 135eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
A  =  ( abs `  x ) ) )
137 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( abs `  x
)  <->  ( abs `  x
)  =  A )
138136, 137syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( ( abs `  x
)  x.  ( abs `  y ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  1 )  <-> 
( abs `  x
)  =  A ) )
139124, 130, 1383bitr2d 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
y  e.  (Unit ` ring )  <->  ( abs `  x )  =  A ) )
140123, 139orbi12d 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
( x  e.  (Unit ` ring )  \/  y  e.  (Unit ` ring ) )  <->  ( ( abs `  x )  =  1  \/  ( abs `  x )  =  A ) ) )
141120, 140mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Prime  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( x  x.  y )  =  A )  ->  (
x  e.  (Unit ` ring )  \/  y  e.  (Unit ` ring ) ) )
142141ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  x.  y )  =  A  ->  (
x  e.  (Unit ` ring )  \/  y  e.  (Unit ` ring ) ) ) )
143142ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( A  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit ` ring )  \/  y  e.  (Unit ` ring ) ) ) )
14425, 26, 2, 27isirred2 17477 . . . 4  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  -.  A  e.  (Unit ` ring )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( ( x  x.  y )  =  A  ->  ( x  e.  (Unit ` ring )  \/  y  e.  (Unit ` ring ) ) ) ) )
14571, 84, 143, 144syl3anbrc 1180 . . 3  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  I )
146145adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A  e.  Prime )  ->  A  e.  I )
14770, 146impbida 832 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   abscabs 13079    || cdvds 13998   Primecprime 14229   Ringcrg 17325  Unitcui 17415  Irredcir 17416  ℤringzring 18615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-irred 17419  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616
This theorem is referenced by:  dfprm2  18651  prmirred  18652
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