Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirredlem Structured version   Unicode version

Theorem prmirredlem 18650
 Description: A positive integer is irreducible over iff it is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i Irredring
Assertion
Ref Expression
prmirredlem

Proof of Theorem prmirredlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringring 18618 . . . . . 6 ring
2 prmirred.i . . . . . . 7 Irredring
3 zring1 18626 . . . . . . 7 ring
42, 3irredn1 17482 . . . . . 6 ring
51, 4mpan 670 . . . . 5
65anim2i 569 . . . 4
7 eluz2b3 11180 . . . 4
86, 7sylibr 212 . . 3
9 nnz 10907 . . . . . . . 8
109ad2antrl 727 . . . . . . 7
11 simprr 757 . . . . . . . 8
12 nnne0 10589 . . . . . . . . . 10
1312ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
14 nnz 10907 . . . . . . . . . 10
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
16 dvdsval2 14001 . . . . . . . . 9
1710, 13, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . 8
1811, 17mpbid 210 . . . . . . 7
1915zcnd 10991 . . . . . . . . 9
20 nncn 10564 . . . . . . . . . 10
2120ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
2219, 21, 13divcan2d 10343 . . . . . . . 8
23 simplr 755 . . . . . . . 8
2422, 23eqeltrd 2545 . . . . . . 7
25 zringbas 18621 . . . . . . . 8 ring
26 eqid 2457 . . . . . . . 8 Unitring Unitring
27 zringmulr 18624 . . . . . . . 8 ring
282, 25, 26, 27irredmul 17485 . . . . . . 7 Unitring Unitring
2910, 18, 24, 28syl3anc 1228 . . . . . 6 Unitring Unitring
30 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10 Unitring
3130baib 903 . . . . . . . . 9 Unitring
3210, 31syl 16 . . . . . . . 8 Unitring
33 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . 11
34 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . 12
35 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35absidd 13266 . . . . . . . . . . 11
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . 10
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
3938eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
4032, 39bitrd 253 . . . . . . 7 Unitring
41 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10 Unitring
4241baib 903 . . . . . . . . 9 Unitring
4318, 42syl 16 . . . . . . . 8 Unitring
44 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
46 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46nndivred 10605 . . . . . . . . . . 11
48 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nn0ge0 10842 . . . . . . . . . . . . . 14
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
5246nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12
53 nngt0 10585 . . . . . . . . . . . . 13
5453ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
55 divge0 10432 . . . . . . . . . . . 12
5645, 51, 52, 54, 55syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
5747, 56absidd 13266 . . . . . . . . . 10
5857eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
59 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10
6019, 21, 59, 13divmuld 10363 . . . . . . . . 9
6121mulid1d 9630 . . . . . . . . . 10
6261eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
6358, 60, 623bitrd 279 . . . . . . . 8
6443, 63bitrd 253 . . . . . . 7 Unitring
6540, 64orbi12d 709 . . . . . 6 Unitring Unitring
6629, 65mpbid 210 . . . . 5
6766expr 615 . . . 4
6867ralrimiva 2871 . . 3
69 isprm2 14237 . . 3
708, 68, 69sylanbrc 664 . 2
71 prmz 14233 . . . 4
72 1nprm 14234 . . . . 5
73 zringunit 18647 . . . . . 6 Unitring
74 prmnn 14232 . . . . . . . . . 10
75 nn0re 10825 . . . . . . . . . . 11
7675, 49absidd 13266 . . . . . . . . . 10
7774, 48, 763syl 20 . . . . . . . . 9
78 id 22 . . . . . . . . 9
7977, 78eqeltrd 2545 . . . . . . . 8
80 eleq1 2529 . . . . . . . 8
8179, 80syl5ibcom 220 . . . . . . 7
8281adantld 467 . . . . . 6
8373, 82syl5bi 217 . . . . 5 Unitring
8472, 83mtoi 178 . . . 4 Unitring
85 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12
8685zcnd 10991 . . . . . . . . . . 11
8774ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
8887nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . 13
89 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
90 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . 14
9291mul02d 9795 . . . . . . . . . . . . 13
9388, 89, 923netr4d 2762 . . . . . . . . . . . 12
94 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
9594necon3i 2697 . . . . . . . . . . . 12
9693, 95syl 16 . . . . . . . . . . 11
9786, 96absne0d 13290 . . . . . . . . . 10
9897neneqd 2659 . . . . . . . . 9
99 nn0abscl 13157 . . . . . . . . . . . 12
10085, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11
101 elnn0 10818 . . . . . . . . . . 11
102100, 101sylib 196 . . . . . . . . . 10
103102ord 377 . . . . . . . . 9
10498, 103mt3d 125 . . . . . . . 8
10569simprbi 464 . . . . . . . . 9
106105ad2antrr 725 . . . . . . . 8
107 dvdsmul1 14017 . . . . . . . . . . 11
108107ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
109108, 89breqtrd 4480 . . . . . . . . 9
11071ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
111 absdvdsb 14014 . . . . . . . . . 10
11285, 110, 111syl2anc 661 . . . . . . . . 9
113109, 112mpbid 210 . . . . . . . 8
114 breq1 4459 . . . . . . . . . 10
115 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
116 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . 11
117115, 116orbi12d 709 . . . . . . . . . 10
118114, 117imbi12d 320 . . . . . . . . 9
119118rspcv 3206 . . . . . . . 8
120104, 106, 113, 119syl3c 61 . . . . . . 7
121 zringunit 18647 . . . . . . . . . 10 Unitring
122121baib 903 . . . . . . . . 9 Unitring
12385, 122syl 16 . . . . . . . 8 Unitring
12490, 31syl 16 . . . . . . . . 9 Unitring
12591abscld 13279 . . . . . . . . . . 11
126125recnd 9639 . . . . . . . . . 10
127 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10
12886abscld 13279 . . . . . . . . . . 11
129128recnd 9639 . . . . . . . . . 10
130126, 127, 129, 97mulcand 10203 . . . . . . . . 9
13189fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12
13286, 91absmuld 13297 . . . . . . . . . . . 12
13377ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
134131, 132, 1333eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11
135129mulid1d 9630 . . . . . . . . . . 11
136134, 135eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10
137 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10
138136, 137syl6bb 261 . . . . . . . . 9
139124, 130, 1383bitr2d 281 . . . . . . . 8 Unitring
140123, 139orbi12d 709 . . . . . . 7 Unitring Unitring
141120, 140mpbird 232 . . . . . 6 Unitring Unitring
142141ex 434 . . . . 5 Unitring Unitring
143142ralrimivva 2878 . . . 4 Unitring Unitring
14425, 26, 2, 27isirred2 17477 . . . 4 Unitring Unitring Unitring
14571, 84, 143, 144syl3anbrc 1180 . . 3
146145adantl 466 . 2
14770, 146impbida 832 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   cmul 9514   clt 9645   cle 9646   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cz 10885  cuz 11106  cabs 13079   cdvds 13998  cprime 14229  crg 17325  Unitcui 17415  Irredcir 17416  ℤringzring 18615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-gz 14460  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-irred 17419  df-invr 17448  df-dvr 17459  df-drng 17525  df-subrg 17554  df-cnfld 18548  df-zring 18616 This theorem is referenced by:  dfprm2  18651  prmirred  18652
 Copyright terms: Public domain W3C validator