MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Unicode version

Theorem prmirred 18997
Description: The irreducible elements of  ZZ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i  |-  I  =  (Irred ` ring )
Assertion
Ref Expression
prmirred  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3  |-  I  =  (Irred ` ring )
2 zringbas 18979 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
31, 2irredcl 17867 . 2  |-  ( A  e.  I  ->  A  e.  ZZ )
4 elnn0 10871 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
6 zringring 18976 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
7 zring0 18983 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g ` ring )
81, 7irredn0 17866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  I
)  ->  A  =/=  0 )
96, 8mpan 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  0 )
109necon2bi 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  I )
1110pm2.21d 109 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
125, 11jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
134, 12sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
14 prmnn 14596 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN ) )
161prmirredlem 18995 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) ) )
1813, 15, 17pm5.21ndd 355 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
19 nn0re 10878 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
20 nn0ge0 10895 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2119, 20absidd 13463 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
2221eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  A  e.  Prime ) )
2318, 22bitr4d 259 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
2423adantl 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
251prmirredlem 18995 . . . . . 6  |-  ( -u A  e.  NN  ->  (
-u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime )
)
2625adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( -u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime ) )
27 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
281, 27, 2irrednegb 17874 . . . . . . . 8  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
296, 28mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
30 zsubrg 18956 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
31 subrgsubg 17949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
33 df-zring 18974 . . . . . . . . . . 11  |-ring  =  (flds  ZZ )
34 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
3533, 34, 27subginv 16775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
3632, 35mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
37 zcn 10942 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
38 cnfldneg 18929 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
4036, 39eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` ring ) `  A )  =  -u A )
4140eleq1d 2498 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
4229, 41bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I ) )
4342adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
44 zre 10941 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4544adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
46 nnnn0 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN  ->  -u A  e.  NN0 )
4746nn0ge0d 10928 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN  ->  0  <_  -u A )
4847adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  0  <_  -u A
)
4945le0neg1d 10184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  <_ 
0  <->  0  <_  -u A
) )
5048, 49mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  <_  0
)
5145, 50absnidd 13454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
)
5251eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  -u A  e.  Prime ) )
5326, 43, 523bitr4d 288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A
)  e.  Prime )
)
5453adantrl 720 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
55 elznn0nn 10951 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5655biimpi 197 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5724, 54, 56mpjaodan 793 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
583, 57biadan2 646 1  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    <_ cle 9675   -ucneg 9860   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   abscabs 13276   Primecprime 14593   invgcminusg 16621  SubGrpcsubg 16762   Ringcrg 17715  Irredcir 17803  SubRingcsubrg 17939  ℂfldccnfld 18905  ℤringzring 18973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-prm 14594  df-gz 14837  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-cmn 17367  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-irred 17806  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-subrg 17941  df-cnfld 18906  df-zring 18974
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator