MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Unicode version

Theorem prmirred 18394
Description: The irreducible elements of  ZZ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i  |-  I  =  (Irred ` ring )
Assertion
Ref Expression
prmirred  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3  |-  I  =  (Irred ` ring )
2 zringbas 18364 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
31, 2irredcl 17225 . 2  |-  ( A  e.  I  ->  A  e.  ZZ )
4 elnn0 10809 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
6 zringring 18361 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
7 zring0 18368 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g ` ring )
81, 7irredn0 17224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  I
)  ->  A  =/=  0 )
96, 8mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  0 )
109necon2bi 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  I )
1110pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
125, 11jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
134, 12sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
14 prmnn 14096 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN ) )
161prmirredlem 18392 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) ) )
1813, 15, 17pm5.21ndd 354 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
19 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
20 nn0ge0 10833 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2119, 20absidd 13234 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
2221eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  A  e.  Prime ) )
2318, 22bitr4d 256 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
251prmirredlem 18392 . . . . . 6  |-  ( -u A  e.  NN  ->  (
-u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime )
)
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( -u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime ) )
27 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
281, 27, 2irrednegb 17232 . . . . . . . 8  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
296, 28mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
30 zsubrg 18341 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
31 subrgsubg 17306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
33 df-zring 18359 . . . . . . . . . . 11  |-ring  =  (flds  ZZ )
34 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
3533, 34, 27subginv 16080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
3632, 35mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
37 zcn 10881 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
38 cnfldneg 18314 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
4036, 39eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` ring ) `  A )  =  -u A )
4140eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
4229, 41bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I ) )
4342adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
44 zre 10880 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4544adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
46 nnnn0 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN  ->  -u A  e.  NN0 )
4746nn0ge0d 10867 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN  ->  0  <_  -u A )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  0  <_  -u A
)
4945le0neg1d 10136 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  <_ 
0  <->  0  <_  -u A
) )
5048, 49mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  <_  0
)
5145, 50absnidd 13225 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
)
5251eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  -u A  e.  Prime ) )
5326, 43, 523bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A
)  e.  Prime )
)
5453adantrl 715 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
55 elznn0nn 10890 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5655biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5724, 54, 56mpjaodan 784 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
583, 57biadan2 642 1  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    <_ cle 9641   -ucneg 9818   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   abscabs 13047   Primecprime 14093   invgcminusg 15926  SubGrpcsubg 16067   Ringcrg 17070  Irredcir 17161  SubRingcsubrg 17296  ℂfldccnfld 18290  ℤringzring 18358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-prm 14094  df-gz 14324  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-irred 17164  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-cnfld 18291  df-zring 18359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator