MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmirred Structured version   Unicode version

Theorem prmirred 18045
Description: The irreducible elements of  ZZ are exactly the prime numbers (and their negatives). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
prmirred.i  |-  I  =  (Irred ` ring )
Assertion
Ref Expression
prmirred  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )

Proof of Theorem prmirred
StepHypRef Expression
1 prmirred.i . . 3  |-  I  =  (Irred ` ring )
2 zringbas 18015 . . 3  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
31, 2irredcl 16920 . 2  |-  ( A  e.  I  ->  A  e.  ZZ )
4 elnn0 10693 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
6 zringrng 18012 . . . . . . . . . . 11  |-ring  e.  Ring
7 zring0 18019 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  =  ( 0g ` ring )
81, 7irredn0 16919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  I
)  ->  A  =/=  0 )
96, 8mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  I  ->  A  =/=  0 )
109necon2bi 2689 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  I )
1110pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
125, 11jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
134, 12sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  ->  A  e.  NN ) )
14 prmnn 13885 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN )
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  Prime  ->  A  e.  NN ) )
161prmirredlem 18043 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) ) )
1813, 15, 17pm5.21ndd 354 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  A  e.  Prime ) )
19 nn0re 10700 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
20 nn0ge0 10717 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
2119, 20absidd 13028 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( abs `  A )  =  A )
2221eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  A  e.  Prime ) )
2318, 22bitr4d 256 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
2423adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
251prmirredlem 18043 . . . . . 6  |-  ( -u A  e.  NN  ->  (
-u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime )
)
2625adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( -u A  e.  I  <->  -u A  e.  Prime ) )
27 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( invg ` ring )  =  ( invg ` ring )
281, 27, 2irrednegb 16927 . . . . . . . 8  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
296, 28mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I ) )
30 zsubrg 17992 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
31 subrgsubg 16995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  e.  (SubGrp ` fld ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubGrp ` fld )
33 df-zring 18010 . . . . . . . . . . 11  |-ring  =  (flds  ZZ )
34 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
3533, 34, 27subginv 15808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ZZ  e.  (SubGrp ` fld )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
3632, 35mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  ( ( invg ` ring ) `  A ) )
37 zcn 10763 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
38 cnfldneg 17968 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` fld ) `  A )  =  -u A )
4036, 39eqtr3d 2497 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( invg ` ring ) `  A )  =  -u A )
4140eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( ( invg ` ring ) `  A )  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
4229, 41bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I ) )
4342adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  -u A  e.  I
) )
44 zre 10762 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4544adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
46 nnnn0 10698 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  NN  ->  -u A  e.  NN0 )
4746nn0ge0d 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( -u A  e.  NN  ->  0  <_  -u A )
4847adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  0  <_  -u A
)
4945le0neg1d 10023 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  <_ 
0  <->  0  <_  -u A
) )
5048, 49mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  A  <_  0
)
5145, 50absnidd 13019 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( abs `  A
)  =  -u A
)
5251eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( ( abs `  A )  e.  Prime  <->  -u A  e.  Prime ) )
5326, 43, 523bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -u A  e.  NN )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A
)  e.  Prime )
)
5453adantrl 715 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) )  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
55 elznn0nn 10772 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  <->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5655biimpi 194 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  NN0  \/  ( A  e.  RR  /\  -u A  e.  NN ) ) )
5724, 54, 56mpjaodan 784 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  e.  I  <->  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
583, 57biadan2 642 1  |-  ( A  e.  I  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4401   ` cfv 5527   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394    <_ cle 9531   -ucneg 9708   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   abscabs 12842   Primecprime 13882   invgcminusg 15531  SubGrpcsubg 15795   Ringcrg 16769  Irredcir 16856  SubRingcsubrg 16985  ℂfldccnfld 17944  ℤringzring 18009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-dvds 13655  df-prm 13883  df-gz 14110  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-oppr 16839  df-dvdsr 16857  df-unit 16858  df-irred 16859  df-invr 16888  df-dvr 16899  df-drng 16958  df-subrg 16987  df-cnfld 17945  df-zring 18010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator