MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmind Structured version   Unicode version

Theorem prmind 14106
Description: Perform induction over the multiplicative structure of  NN. If a property  ph ( x ) holds for the primes and  1 and is preserved under multiplication, then it holds for every positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
prmind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
prmind.3  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
prmind.4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
prmind.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
prmind.6  |-  ps
prmind.7  |-  ( x  e.  Prime  ->  ph )
prmind.8  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
prmind  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    x, z, ch    et, x    ta, x    th, x    y, z, ph
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y, z)    ch( y)    th( y, z)    ta( y,
z)    et( y, z)    A( y, z)

Proof of Theorem prmind
StepHypRef Expression
1 prmind.1 . 2  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2 prmind.2 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3 prmind.3 . 2  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<->  th ) )
4 prmind.4 . 2  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 prmind.5 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  et ) )
6 prmind.6 . 2  |-  ps
7 prmind.7 . . 3  |-  ( x  e.  Prime  ->  ph )
87adantr 465 . 2  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( x  - 
1 ) ) ch )  ->  ph )
9 prmind.8 . 2  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( ch  /\  th )  ->  ta ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9prmind2 14105 1  |-  ( A  e.  NN  ->  et )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496    x. cmul 9500    - cmin 9810   NNcn 10542   2c2 10591   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681   Primecprime 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-dvds 13864  df-prm 14095
This theorem is referenced by:  exprmfct  14128  lgsquad2lem2  23506  2sqlem6  23516  ostthlem2  23685
  Copyright terms: Public domain W3C validator