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Theorem prmgaplem7 15027
Description: Lemma for prmgap 15029. (Contributed by AV, 12-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prmgaplem7.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
prmgaplem7.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( NN 
^m  NN ) )
prmgaplem7.i  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 2 ... N ) 1  <  ( ( ( F `  N
)  +  i )  gcd  i ) )
Assertion
Ref Expression
prmgaplem7  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) )
Distinct variable groups:    F, p, q, z    i, F    N, p, q, z    i, N    ph, p, q, z
Allowed substitution hint:    ph( i)

Proof of Theorem prmgaplem7
Dummy variables  r 
s  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmgaplem7.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( NN 
^m  NN ) )
2 elmapi 7505 . . . 4  |-  ( F  e.  ( NN  ^m  NN )  ->  F : NN
--> NN )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
4 prmgaplem7.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
53, 4ffvelrnd 6039 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  N
)  e.  NN )
6 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  e.  NN )
7 elnnuz 11203 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  <->  ( F `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
86, 7sylib 199 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
9 1z 10975 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
10 2z 10977 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
119, 10eluzaddi 11193 . . . . . 6  |-  ( ( F `  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( F `  N )  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  2 ) ) )
128, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  +  2 )  e.  (
ZZ>= `  ( 1  +  2 ) ) )
13 1p2e3 10742 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  2 )  =  3
1413eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  3  =  ( 1  +  2 )
1514fveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  2 ) )
1612, 15syl6eleqr 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  +  2 )  e.  (
ZZ>= `  3 ) )
17 prmgaplem5 15025 . . . 4  |-  ( ( ( F `  N
)  +  2 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  < 
( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )
)
1816, 17syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime ) )
194anim1i 570 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( N  e.  NN  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )
2019ancomd 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
21 nnaddcl 10639 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( F `  N )  +  N
)  e.  NN )
2220, 21syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  +  N )  e.  NN )
23 prmgaplem6 15026 . . . 4  |-  ( ( ( F `  N
)  +  N )  e.  NN  ->  E. q  e.  Prime  ( ( ( F `  N )  +  N )  < 
q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime )
)
2422, 23syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  E. q  e.  Prime  ( ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )
25 reeanv 2993 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  <->  ( E. p  e.  Prime  ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  E. q  e.  Prime  ( ( ( F `  N )  +  N )  < 
q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime )
) )
26 simprll 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) ) )  ->  p  <  ( ( F `
 N )  +  2 ) )
27 simprrl 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) ) )  -> 
( ( F `  N )  +  N
)  <  q )
28 nnz 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  ( F `  N )  e.  ZZ )
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  e.  ZZ )
3010a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  2  e.  ZZ )
3129, 30zaddcld 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  +  2 )  e.  ZZ )
3231ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( F `  N )  +  2 )  e.  ZZ )
3332anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) )  ->  ( ( ( F `  N )  +  2 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ q ) ) )
3433ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) )  ->  ( z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ q )  /\  ( ( F `
 N )  +  2 )  e.  ZZ ) )
35 fzospliti 11958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q )  /\  (
( F `  N
)  +  2 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `
 N )  +  2 ) )  \/  z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ q ) ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) )  ->  ( z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) )  \/  z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q ) ) )
3736ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q )  -> 
( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `
 N )  +  2 ) )  \/  z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ q ) ) ) )
38 neleq1 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  z  ->  (
r  e/  Prime  <->  z  e/  Prime ) )
3938rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime  ->  z  e/  Prime ) )
4039adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  ->  z  e/  Prime ) )
4140adantrd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( (
( p  <  (
( F `  N
)  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `
 N )  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  -> 
z  e/  Prime ) )
4241a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
4322nnzd 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  +  N )  e.  ZZ )
4443peano2zd 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )  e.  ZZ )
4544ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )  e.  ZZ )
4645anim1i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q ) )  ->  ( ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ q ) ) )
4746ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q ) )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ q )  /\  ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )  e.  ZZ ) )
48 fzospliti 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ q )  /\  (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  \/  z  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) ) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q ) )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  \/  z  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) ) )
5049ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  \/  z  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) ) ) )
51 prmgaplem7.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 2 ... N ) 1  <  ( ( ( F `  N
)  +  i )  gcd  i ) )
524nnzd 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
54 fzshftral 11890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( F `  N )  e.  ZZ )  ->  ( A. i  e.  (
2 ... N ) 1  <  ( ( ( F `  N )  +  i )  gcd  i )  <->  A. j  e.  ( ( 2  +  ( F `  N
) ) ... ( N  +  ( F `  N ) ) )
[. ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ].
1  <  ( (
( F `  N
)  +  i )  gcd  i ) ) )
5530, 53, 29, 54syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( 2 ... N
) 1  <  (
( ( F `  N )  +  i )  gcd  i )  <->  A. j  e.  (
( 2  +  ( F `  N ) ) ... ( N  +  ( F `  N ) ) )
[. ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ].
1  <  ( (
( F `  N
)  +  i )  gcd  i ) ) )
56 2cnd 10690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
57 nncn 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  ( F `  N )  e.  CC )
58 addcom 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  N )  e.  CC )  -> 
( 2  +  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  2 ) )
5956, 57, 58syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( 2  +  ( F `  N
) )  =  ( ( F `  N
)  +  2 ) )
604nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
61 addcom 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( F `  N )  e.  CC )  -> 
( N  +  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  N ) )
6260, 57, 61syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( N  +  ( F `  N ) )  =  ( ( F `  N )  +  N ) )
6359, 62oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( 2  +  ( F `  N ) ) ... ( N  +  ( F `  N ) ) )  =  ( ( ( F `  N )  +  2 ) ... ( ( F `  N )  +  N ) ) )
64 ovex 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( j  -  ( F `  N ) )  e. 
_V
65 sbcbr2g 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  -  ( F `
 N ) )  e.  _V  ->  ( [. ( j  -  ( F `  N )
)  /  i ].
1  <  ( (
( F `  N
)  +  i )  gcd  i )  <->  1  <  [_ ( j  -  ( F `  N )
)  /  i ]_ ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
) ) )
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( [. (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]. 1  <  ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
)  <->  1  <  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ (
( ( F `  N )  +  i )  gcd  i ) ) )
67 csbov12g 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  -  ( F `
 N ) )  e.  _V  ->  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ (
( ( F `  N )  +  i )  gcd  i )  =  ( [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ (
( F `  N
)  +  i )  gcd  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ i ) )
6864, 67mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
)  =  ( [_ ( j  -  ( F `  N )
)  /  i ]_ ( ( F `  N )  +  i )  gcd  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ i
) )
69 csbov2g 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( j  -  ( F `
 N ) )  e.  _V  ->  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ (
( F `  N
)  +  i )  =  ( ( F `
 N )  + 
[_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ i ) )
7064, 69mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ ( ( F `  N )  +  i )  =  ( ( F `  N )  +  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  / 
i ]_ i ) )
71 csbvarg 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( j  -  ( F `
 N ) )  e.  _V  ->  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ i  =  ( j  -  ( F `  N ) ) )
7271oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( j  -  ( F `
 N ) )  e.  _V  ->  (
( F `  N
)  +  [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ i
)  =  ( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `  N ) ) ) )
7364, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( F `
 N )  + 
[_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ i )  =  ( ( F `  N
)  +  ( j  -  ( F `  N ) ) ) )
7470, 73eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ ( ( F `  N )  +  i )  =  ( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `  N ) ) ) )
7564, 71mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ i  =  ( j  -  ( F `  N ) ) )
7674, 75oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( [_ (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]_ (
( F `  N
)  +  i )  gcd  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ i )  =  ( ( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) ) )
7768, 76eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  [_ ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ]_ ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
)  =  ( ( ( F `  N
)  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) ) )
7877breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( 1  <  [_ ( j  -  ( F `  N )
)  /  i ]_ ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
)  <->  1  <  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) ) ) )
7966, 78bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( [. (
j  -  ( F `
 N ) )  /  i ]. 1  <  ( ( ( F `
 N )  +  i )  gcd  i
)  <->  1  <  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) ) ) )
8063, 79raleqbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ( 2  +  ( F `  N
) ) ... ( N  +  ( F `  N ) ) )
[. ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ].
1  <  ( (
( F `  N
)  +  i )  gcd  i )  <->  A. j  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 ) ... (
( F `  N
)  +  N ) ) 1  <  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) ) ) )
81 fzval3 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( F `  N
)  +  N )  e.  ZZ  ->  (
( ( F `  N )  +  2 ) ... ( ( F `  N )  +  N ) )  =  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) ) )
8281eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( F `  N
)  +  N )  e.  ZZ  ->  (
( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 N )  +  2 ) ... (
( F `  N
)  +  N ) ) )
8343, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  N
)  +  2 ) ... ( ( F `
 N )  +  N ) ) )
8483eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  <-> 
z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 ) ... ( ( F `
 N )  +  N ) ) ) )
8584biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 ) ... (
( F `  N
)  +  N ) ) )
86 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( j  =  z  ->  (
j  -  ( F `
 N ) )  =  ( z  -  ( F `  N ) ) )
8786oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( j  =  z  ->  (
( F `  N
)  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  =  ( ( F `
 N )  +  ( z  -  ( F `  N )
) ) )
8887, 86oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( j  =  z  ->  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) )  =  ( ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  gcd  (
z  -  ( F `
 N ) ) ) )
8988breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( j  =  z  ->  (
1  <  ( (
( F `  N
)  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) )  <->  1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( z  -  ( F `  N ) ) ) ) )
9089rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 ) ... ( ( F `  N )  +  N
) )  ->  ( A. j  e.  (
( ( F `  N )  +  2 ) ... ( ( F `  N )  +  N ) ) 1  <  ( ( ( F `  N
)  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) )  ->  1  <  ( ( ( F `
 N )  +  ( z  -  ( F `  N )
) )  gcd  (
z  -  ( F `
 N ) ) ) ) )
9185, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  ( (
( F `  N
)  +  2 ) ... ( ( F `
 N )  +  N ) ) 1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  gcd  (
j  -  ( F `
 N ) ) )  ->  1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( z  -  ( F `  N ) ) ) ) )
9257adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  e.  CC )
93 elfzoelz 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  z  e.  ZZ )
9493zcnd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  z  e.  CC )
95 pncan3 9891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `
 N ) ) )  =  z )
9692, 94, 95syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  =  z )
9796oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( (
( F `  N
)  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  gcd  ( z  -  ( F `  N ) ) )  =  ( z  gcd  ( z  -  ( F `  N ) ) ) )
9893adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  z  e.  ZZ )
99 zsubcl 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( F `  N )  e.  ZZ )  -> 
( z  -  ( F `  N )
)  e.  ZZ )
10093, 29, 99syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( z  -  ( F `  N ) )  e.  ZZ )
101 gcdcom 14484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( z  -  ( F `  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( z  gcd  ( z  -  ( F `  N )
) )  =  ( ( z  -  ( F `  N )
)  gcd  z )
)
10298, 100, 101syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( z  gcd  ( z  -  ( F `  N )
) )  =  ( ( z  -  ( F `  N )
)  gcd  z )
)
10397, 102eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( (
( F `  N
)  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  gcd  ( z  -  ( F `  N ) ) )  =  ( ( z  -  ( F `  N )
)  gcd  z )
)
104103breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  gcd  (
z  -  ( F `
 N ) ) )  <->  1  <  (
( z  -  ( F `  N )
)  gcd  z )
) )
105 elfzo2 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  <->  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( ( F `  N )  +  2 ) )  /\  ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  <  ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )
106 eluz2 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
( F `  N
)  +  2 ) )  <->  ( ( ( F `  N )  +  2 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_ 
z ) )
107 2pos 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  0  <  2
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
0  <  2 )
109 2re 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  2  e.  RR
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( z  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
111 nnre 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  ( F `  N )  e.  RR )
112111adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  e.  RR )
113 ltaddpos 10112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( F `  N )  e.  RR )  -> 
( 0  <  2  <->  ( F `  N )  <  ( ( F `
 N )  +  2 ) ) )
114110, 112, 113syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( 0  <  2  <->  ( F `  N )  <  ( ( F `
 N )  +  2 ) ) )
115108, 114mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( F `  N
)  <  ( ( F `  N )  +  2 ) )
116111ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( F `  N
)  e.  RR )
117109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  2  e.  RR )
118111, 117readdcld 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  (
( F `  N
)  +  2 )  e.  RR )
119118ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  N )  +  2 )  e.  RR )
120 zre 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
121120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
z  e.  RR )
122 ltletr 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( F `
 N )  < 
( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_ 
z )  ->  ( F `  N )  <  z ) )
123116, 119, 121, 122syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 N )  < 
( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_ 
z )  ->  ( F `  N )  <  z ) )
124115, 123mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 N )  +  2 )  <_  z  ->  ( F `  N
)  <  z )
)
125124impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_  z )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  -> 
( F `  N
)  <  z )
)
1261253adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  2 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  (
( F `  N
)  +  2 )  <_  z )  -> 
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  -> 
( F `  N
)  <  z )
)
127106, 126sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  <  z
) )
1281273ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  ( ( F `  N )  +  2 ) )  /\  (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  <  ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  <  z ) )
129105, 128sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( F `  N )  <  z
) )
130129impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( F `  N )  <  z
)
13193zred 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  z  e.  RR )
132 posdif 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( F `  N )  <  z  <->  0  <  ( z  -  ( F `  N ) ) ) )
133112, 131, 132syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  N )  <  z  <->  0  <  (
z  -  ( F `
 N ) ) ) )
134130, 133mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  0  <  ( z  -  ( F `
 N ) ) )
135 elnnz 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( z  -  ( F `
 N ) )  e.  NN  <->  ( (
z  -  ( F `
 N ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( z  -  ( F `  N )
) ) )
136100, 134, 135sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( z  -  ( F `  N ) )  e.  NN )
137109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
2  e.  RR )
138 nngt0 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  0  <  ( F `  N
) )
139138ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
0  <  ( F `  N ) )
140116, 137, 139, 108addgt0d 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
0  <  ( ( F `  N )  +  2 ) )
141 0red 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
0  e.  RR )
142 ltletr 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_ 
z )  ->  0  <  z ) )
143141, 119, 121, 142syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( ( 0  < 
( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_ 
z )  ->  0  <  z ) )
144140, 143mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ph  /\  ( F `
 N )  e.  NN ) )  -> 
( ( ( F `
 N )  +  2 )  <_  z  ->  0  <  z ) )
145144impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  ( ( F `  N )  +  2 )  <_  z )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  -> 
0  <  z )
)
1461453adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( F `  N )  +  2 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  (
( F `  N
)  +  2 )  <_  z )  -> 
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  -> 
0  <  z )
)
147106, 146sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
( F `  N
)  +  2 ) )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  0  <  z
) )
1481473ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  ( ( F `  N )  +  2 ) )  /\  (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  <  ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 ) )  ->  (
( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  0  <  z ) )
149105, 148sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  0  <  z
) )
150149impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  0  <  z )
151 elnnz 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  NN  <->  ( z  e.  ZZ  /\  0  < 
z ) )
15298, 150, 151sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  z  e.  NN )
153138adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  0  <  ( F `  N )
)
154153adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  0  <  ( F `  N ) )
155 ltsubpos 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( F `  N
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( F `  N )  <->  ( z  -  ( F `
 N ) )  <  z ) )
156112, 131, 155syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( 0  <  ( F `  N )  <->  ( z  -  ( F `  N ) )  < 
z ) )
157154, 156mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( z  -  ( F `  N ) )  < 
z )
158 ncoprmlnprm 14677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( z  -  ( F `  N )
)  e.  NN  /\  z  e.  NN  /\  (
z  -  ( F `
 N ) )  <  z )  -> 
( 1  <  (
( z  -  ( F `  N )
)  gcd  z )  ->  z  e/  Prime )
)
159136, 152, 157, 158syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  <  ( ( z  -  ( F `  N ) )  gcd  z )  ->  z  e/  Prime ) )
160104, 159sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( 1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( z  -  ( F `  N ) ) )  gcd  (
z  -  ( F `
 N ) ) )  ->  z  e/  Prime ) )
16191, 160syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) ) )  ->  ( A. j  e.  ( (
( F `  N
)  +  2 ) ... ( ( F `
 N )  +  N ) ) 1  <  ( ( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `  N ) ) )  gcd  (
j  -  ( F `
 N ) ) )  ->  z  e/  Prime ) )
162161ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  ->  ( A. j  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 ) ... (
( F `  N
)  +  N ) ) 1  <  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
163162com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 ) ... (
( F `  N
)  +  N ) ) 1  <  (
( ( F `  N )  +  ( j  -  ( F `
 N ) ) )  gcd  ( j  -  ( F `  N ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
16480, 163sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( A. j  e.  ( ( 2  +  ( F `  N
) ) ... ( N  +  ( F `  N ) ) )
[. ( j  -  ( F `  N ) )  /  i ].
1  <  ( (
( F `  N
)  +  i )  gcd  i )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
16555, 164sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( A. i  e.  ( 2 ... N
) 1  <  (
( ( F `  N )  +  i )  gcd  i )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
166165ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  ( A. i  e.  ( 2 ... N
) 1  <  (
( ( F `  N )  +  i )  gcd  i )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  ->  z  e/  Prime ) ) ) )
16751, 166mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( F `  N )  e.  NN  ->  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
168167imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  ->  z  e/  Prime ) )
169168ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 ) )  -> 
z  e/  Prime ) )
170169impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 ) )  /\  (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  ->  z  e/  Prime )
171170a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 ) )  /\  (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  ->  ( ( ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) )
172171ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 ) )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
173 neleq1 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  z  ->  (
s  e/  Prime  <->  z  e/  Prime ) )
174173rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 )..^ q )  ->  ( A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime  ->  z  e/  Prime ) )
175174adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 )..^ q )  ->  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime )  ->  z  e/  Prime ) )
176175adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 )..^ q )  ->  ( (
( p  <  (
( F `  N
)  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `
 N )  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  -> 
z  e/  Prime ) )
177176a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 )..^ q )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
178172, 177jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( ( ( F `  N
)  +  2 )..^ ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 ) )  \/  z  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )..^ q ) )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
179178com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ ( ( ( F `  N
)  +  N )  +  1 ) )  \/  z  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) )  ->  ( ( ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
18050, 179syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
181180com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
18242, 181jaoi 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) )  \/  z  e.  ( ( ( F `
 N )  +  2 )..^ q ) )  ->  ( (
( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
183182com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) )  \/  z  e.  ( ( ( F `  N )  +  2 )..^ q ) )  ->  ( ( ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
18437, 183syld 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  z  e/  Prime ) ) )
185184com23 81 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  (
z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q )  ->  z  e/  Prime ) ) )
186185imp31 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) ) )  /\  z  e.  ( (
p  +  1 )..^ q ) )  -> 
z  e/  Prime )
187186ralrimiva 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) ) )  ->  A. z  e.  (
( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime )
18826, 27, 1873jca 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N
)  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) ) )  -> 
( p  <  (
( F `  N
)  +  2 )  /\  ( ( F `
 N )  +  N )  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) )
189188ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  -> 
( ( ( p  <  ( ( F `
 N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( (
p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `  N
)  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( (
( ( F `  N )  +  N
)  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) ) )
190189reximdva 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( E. q  e.  Prime  ( ( p  <  (
( F `  N
)  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `
 N )  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  E. q  e.  Prime  ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) ) )
191190reximdva 2897 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( ( p  <  (
( F `  N
)  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  + 
1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  ( ( ( F `
 N )  +  N )  <  q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `
 N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) ) )
19225, 191syl5bir 221 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  ( ( E. p  e.  Prime  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  A. r  e.  ( ( p  +  1 )..^ ( ( F `  N )  +  2 ) ) r  e/  Prime )  /\  E. q  e.  Prime  ( ( ( F `  N )  +  N )  < 
q  /\  A. s  e.  ( ( ( ( F `  N )  +  N )  +  1 )..^ q ) s  e/  Prime )
)  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) ) )
19318, 24, 192mp2and 683 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( F `  N )  e.  NN )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) )
1945, 193mpdan 672 1  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  <  ( ( F `  N )  +  2 )  /\  ( ( F `  N )  +  N
)  <  q  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ q ) z  e/  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    e/ wnel 2615   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [.wsbc 3299   [_csb 3395   class class class wbr 4423   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   NNcn 10617   2c2 10667   3c3 10668   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   ...cfz 11792  ..^cfzo 11923    gcd cgcd 14468   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-inf 7967  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623
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