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Theorem prmgaplem6 15019
Description: Lemma for prmgap 15022: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem6  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
Distinct variable group:    N, p, z

Proof of Theorem prmgaplem6
Dummy variables  n  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmunb 14851 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. n  e.  Prime  N  <  n
)
2 eqid 2450 . . . . 5  |-  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  =  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }
32prmgaplem4 15017 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  E. p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)
4 breq2 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  p  ->  ( N  <  q  <->  N  <  p ) )
5 breq1 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  p  ->  (
q  <_  n  <->  p  <_  n ) )
64, 5anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  p  ->  (
( N  <  q  /\  q  <_  n )  <-> 
( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )
76elrab 3195 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  <->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )
8 simplrl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  p  e.  Prime )
9 simprrl 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  N  <  p
)
109adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  N  <  p )
11 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  z  e.  Prime )
12 elfzo2 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  <->  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  /\  p  e.  ZZ  /\  z  <  p ) )
13 eluz2 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
z ) )
14 nnz 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
15 prmz 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
16 zltp1le 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( N  <  z  <->  ( N  +  1 )  <_  z ) )
1714, 15, 16syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  Prime )  -> 
( N  <  z  <->  ( N  +  1 )  <_  z ) )
1817exbiri 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) ) )
19183ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) ) )
2019adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_ 
z  ->  N  <  z ) ) )
2120impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) )
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  (
( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2322adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  +  1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2423adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2524imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  N  <  z )
26 prmnn 14618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
2726nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
2827ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  -> 
z  e.  RR )
29 prmnn 14618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
3029nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
33 prmnn 14618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
3433nnred 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  ->  n  e.  RR )
36 ltleletr 9723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( z  <  p  /\  p  <_  n )  ->  z  <_  n
) )
3728, 32, 35, 36syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  -> 
( ( z  < 
p  /\  p  <_  n )  ->  z  <_  n ) )
3837exp4b 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  (
z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n ) ) ) )
39383ad2ant2 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  ( z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n )
) ) )
4039expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n ) ) ) ) )
4140com45 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
p  <_  n  ->  ( z  <  p  -> 
z  <_  n )
) ) ) )
4241com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( p  <_  n  ->  (
p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  -> 
z  <_  n )
) ) ) )
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  <  p  /\  p  <_  n )  -> 
( p  e.  Prime  -> 
( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) ) ) ) )
4443impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) )  -> 
( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) ) ) )
4544impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( z  < 
p  ->  z  <_  n ) ) )
4645impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) )
4746adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p
)  ->  z  <_  n ) )
4847impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  z  <_  n )
4925, 48jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) )
5049exp41 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  (
p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  -> 
( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
51503ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_  z )  -> 
( p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  ->  ( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
5213, 51sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
53523imp 1201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  /\  p  e.  ZZ  /\  z  < 
p )  ->  (
( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5412, 53sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5554impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) )
56 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  z  ->  ( N  <  q  <->  N  <  z ) )
57 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  z  ->  (
q  <_  n  <->  z  <_  n ) )
5856, 57anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  z  ->  (
( N  <  q  /\  q  <_  n )  <-> 
( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5958elrab 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  <->  ( z  e.  Prime  /\  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
6011, 55, 59sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } )
61 elfzolt2 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  z  <  p )
6230ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  p  e.  RR )
63 ltnle 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( z  <  p  <->  -.  p  <_  z )
)
6463biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( z  <  p  ->  -.  p  <_  z
) )
6527, 62, 64syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  <  p  ->  -.  p  <_  z ) )
6665imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  < 
p )  ->  -.  p  <_  z )
6766pm2.21d 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  < 
p )  ->  (
p  <_  z  ->  z  e/  Prime ) )
6861, 67sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( p  <_  z  ->  z  e/  Prime ) )
6960, 68embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( (
z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
z  e/  Prime ) )
7069ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7170com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7271ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
73 df-nel 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e/  Prime  <->  -.  z  e.  Prime )
74 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  z  e/  Prime ) )
7574a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7675a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
7773, 76sylbir 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
7872, 77pm2.61i 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7978ralimdv2 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) )
8079imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
818, 10, 80jca32 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
8281ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) ) ) )
8382ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) ) ) )
847, 83syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  ( A. z  e.  {
q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) ) ) ) )
8584impd 433 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( p  e.  {
q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) ) )
8685reximdv2 2857 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  ( E. p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
873, 86mpd 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
8887rexlimdv3a 2880 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  Prime  N  <  n  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
891, 88mpd 15 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    e/ wnel 2622   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156  ..^cfzo 11912   Primecprime 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-prm 14616
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