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Theorem prmgaplem6 15105
Description: Lemma for prmgap 15108: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem6  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
Distinct variable group:    N, p, z

Proof of Theorem prmgaplem6
Dummy variables  n  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmunb 14937 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  E. n  e.  Prime  N  <  n
)
2 eqid 2471 . . . . 5  |-  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  =  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }
32prmgaplem4 15103 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  E. p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)
4 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  p  ->  ( N  <  q  <->  N  <  p ) )
5 breq1 4398 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  p  ->  (
q  <_  n  <->  p  <_  n ) )
64, 5anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  p  ->  (
( N  <  q  /\  q  <_  n )  <-> 
( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )
76elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  <->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )
8 simplrl 778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  p  e.  Prime )
9 simprrl 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  N  <  p
)
109adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  N  <  p )
11 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  z  e.  Prime )
12 elfzo2 11950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  <->  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  /\  p  e.  ZZ  /\  z  <  p ) )
13 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
z ) )
14 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
15 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  ZZ )
16 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( N  <  z  <->  ( N  +  1 )  <_  z ) )
1714, 15, 16syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  Prime )  -> 
( N  <  z  <->  ( N  +  1 )  <_  z ) )
1817exbiri 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) ) )
19183ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) ) )
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( ( N  +  1 )  <_ 
z  ->  N  <  z ) ) )
2120impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  N  <  z ) )
2221com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  (
( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  +  1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p
)  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  N  <  z ) )
2524imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  N  <  z )
26 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  NN )
2726nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( z  e.  Prime  ->  z  e.  RR )
2827ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  -> 
z  e.  RR )
29 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
3029nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  ->  p  e.  RR )
33 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
3433nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  RR )
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  ->  n  e.  RR )
36 ltleletr 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( z  <  p  /\  p  <_  n )  ->  z  <_  n
) )
3728, 32, 35, 36syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime ) )  -> 
( ( z  < 
p  /\  p  <_  n )  ->  z  <_  n ) )
3837exp4b 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  (
z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n ) ) ) )
39383ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( z  e.  Prime  /\  p  e.  Prime )  ->  ( z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n )
) ) )
4039expdcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  <  p  ->  ( p  <_  n  ->  z  <_  n ) ) ) ) )
4140com45 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
p  <_  n  ->  ( z  <  p  -> 
z  <_  n )
) ) ) )
4241com14 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( p  <_  n  ->  (
p  e.  Prime  ->  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  -> 
z  <_  n )
) ) ) )
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  <  p  /\  p  <_  n )  -> 
( p  e.  Prime  -> 
( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) ) ) ) )
4443impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) )  -> 
( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  ->  ( z  e.  Prime  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) ) ) )
4544impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( z  e. 
Prime  ->  ( z  < 
p  ->  z  <_  n ) ) )
4645impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  <  p  ->  z  <_  n ) )
4746adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  <_  z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p
)  ->  z  <_  n ) )
4847impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  z  <_  n )
4925, 48jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  <_ 
z  /\  p  e.  ZZ )  /\  z  <  p )  /\  (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) )
5049exp41 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  <_  z  ->  (
p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  -> 
( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
51503ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_  z )  -> 
( p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  ->  ( ( z  e. 
Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
5213, 51sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( p  e.  ZZ  ->  ( z  <  p  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) ) ) )
53523imp 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  /\  p  e.  ZZ  /\  z  < 
p )  ->  (
( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5412, 53sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  ( (
z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5554impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) )
56 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  z  ->  ( N  <  q  <->  N  <  z ) )
57 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  z  ->  (
q  <_  n  <->  z  <_  n ) )
5856, 57anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  z  ->  (
( N  <  q  /\  q  <_  n )  <-> 
( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
5958elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  <->  ( z  e.  Prime  /\  ( N  <  z  /\  z  <_  n ) ) )
6011, 55, 59sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } )
61 elfzolt2 11956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  z  <  p )
6230ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  p  e.  RR )
63 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( z  <  p  <->  -.  p  <_  z )
)
6463biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( z  <  p  ->  -.  p  <_  z
) )
6527, 62, 64syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  <  p  ->  -.  p  <_  z ) )
6665imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  < 
p )  ->  -.  p  <_  z )
6766pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  < 
p )  ->  (
p  <_  z  ->  z  e/  Prime ) )
6861, 67sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( p  <_  z  ->  z  e/  Prime ) )
6960, 68embantd 55 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  Prime  /\  ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  /\  z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) )  ->  ( (
z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
z  e/  Prime ) )
7069ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7170com23 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7271ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
73 df-nel 2644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e/  Prime  <->  -.  z  e.  Prime )
74 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  ->  z  e/  Prime ) )
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
7773, 76sylbir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) ) )
7872, 77pm2.61i 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  p  <_  z )  -> 
( z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p )  -> 
z  e/  Prime ) ) )
7978ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) )
8079imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
818, 10, 80jca32 544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e. 
Prime  /\  N  <  n
)  /\  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
8281ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  /\  (
p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) ) ) )
8382ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  n ) )  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) ) ) )
847, 83syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  ->  ( A. z  e.  {
q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  +  1 )..^ p ) z  e/  Prime ) ) ) ) )
8584impd 438 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  (
( p  e.  {
q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) }  /\  A. z  e. 
{ q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z
)  ->  ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) ) )
8685reximdv2 2855 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  ( E. p  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } A. z  e.  { q  e.  Prime  |  ( N  <  q  /\  q  <_  n ) } p  <_  z  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
873, 86mpd 15 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  Prime  /\  N  <  n )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
8887rexlimdv3a 2873 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( E. n  e.  Prime  N  <  n  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
) )
891, 88mpd 15 1  |-  ( N  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  ( N  < 
p  /\  A. z  e.  ( ( N  + 
1 )..^ p ) z  e/  Prime )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182  ..^cfzo 11942   Primecprime 14701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-prm 14702
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15106
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