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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prmgaplem6 | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: Lemma for prmgap 15108: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| prmgaplem6 |
          ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}
     ..^  |
,,
are mutually distinct and distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | prmunb 14937 |
. 2
| |
| 2 | eqid 2471 |
. . . . 5
   
| |
| 3 | 2 | prmgaplem4 15103 |
. . . 4
|
| 4 | breq2 4399 |
. . . . . . . . 9
| |
| 5 | breq1 4398 |
. . . . . . . . 9
| |
| 6 | 4, 5 | anbi12d 725 |
. . . . . . . 8
|
| 7 | 6 | elrab 3184 |
. . . . . . 7
|
| 8 | simplrl 778 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 9 | simprrl 782 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 10 | 9 | adantr 472 |
. . . . . . . . . 10
|
| 11 | simpll 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
| |
| 12 | elfzo2 11950 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^    | |
| 13 | eluz2 11188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 14 | nnz 10983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 15 | prmz 14705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 16 | zltp1le 11010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 17 | 14, 15, 16 | syl2an 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 18 | 17 | exbiri 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 19 | 18 | 3ad2ant1 1051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 20 | 19 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 21 | 20 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 22 | 21 | com12 31 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 23 | 22 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 24 | 23 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 25 | 24 | imp 436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 26 | prmnn 14704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 27 | 26 | nnred 10646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
 |
| 28 | 27 | ad2antrl 742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 29 | prmnn 14704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 30 | 29 | nnred 10646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 31 | 30 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 32 | 31 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 33 | prmnn 14704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 34 | 33 | nnred 10646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 35 | 34 | adantr 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 36 | ltleletr 9744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 37 | 28, 32, 35, 36 | syl3anc 1292 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 38 | 37 | exp4b 618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 39 | 38 | 3ad2ant2 1052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 40 | 39 | expdcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 41 | 40 | com45 91 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 42 | 41 | com14 90 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 43 | 42 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 44 | 43 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 45 | 44 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 46 | 45 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 47 | 46 | adantld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 48 | 47 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 49 | 25, 48 | jca 541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 50 | 49 | exp41 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 51 | 50 | 3ad2ant3 1053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 52 | 13, 51 | sylbi 200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 53 | 52 | 3imp 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 54 | 12, 53 | sylbi 200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 55 | 54 | impcom 437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 56 | breq2 4399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 57 | breq1 4398 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 58 | 56, 57 | anbi12d 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 59 | 58 | elrab 3184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 60 | 11, 55, 59 | sylanbrc 677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 61 | elfzolt2 11956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
| |
| 62 | 30 | ad2antrl 742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 63 | ltnle 9731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 64 | 63 | biimpd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 65 | 27, 62, 64 | syl2an 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 66 | 65 | imp 436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 67 | 66 | pm2.21d 109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 68 | 61, 67 | sylan2 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 69 | 60, 68 | embantd 55 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 70 | 69 | ex 441 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 71 | 70 | com23 80 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 72 | 71 | ex 441 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 73 | df-nel 2644 |
. . . . . . . . . . . . . 14
| |
| 74 | ax-1 6 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
| |
| 75 | 74 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 76 | 75 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 77 | 73, 76 | sylbir 218 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 78 | 72, 77 | pm2.61i 169 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 79 | 78 | ralimdv2 2804 |
. . . . . . . . . . 11
..^ |
| 80 | 79 | imp 436 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 81 | 8, 10, 80 | jca32 544 |
. . . . . . . . 9
..^ |
| 82 | 81 | ex 441 |
. . . . . . . 8
..^ |
| 83 | 82 | ex 441 |
. . . . . . 7
..^ |
| 84 | 7, 83 | syl5bi 225 |
. . . . . 6
..^ |
| 85 | 84 | impd 438 |
. . . . 5
..^ |
| 86 | 85 | reximdv2 2855 |
. . . 4
..^ |
| 87 | 3, 86 | mpd 15 |
. . 3
..^ |
| 88 | 87 | rexlimdv3a 2873 |
. 2
..^ |
| 89 | 1, 88 | mpd 15 |
1
..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 189 wa 376 w3a 1007 wceq 1452 wcel 1904 wnel 2642 wral 2756 wrex 2757 crab 2760 class class class wbr 4395
cfv 5589
(class class class)co 6308 cr 9556 c1 9558 caddc 9560 clt 9693 cle 9694 cn 10631 cz 10961 cuz 11182 ..^cfzo 11942
cprime 14701 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-sup 7974 df-inf 7975 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-rp 11326 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-seq 12252 df-exp 12311 df-fac 12498 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-dvds 14383 df-prm 14702 |
| This theorem is referenced by: prmgaplem7 15106 |
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