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Theorem prmgaplem5 15024
Description: Lemma for prmgap 15028: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  < 
N  /\  A. z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ N ) z  e/  Prime )
)
Distinct variable group:    N, p, z

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables  q 
r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3225 . . . 4  |-  ( r  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  ->  r  e.  Prime )
21ad2antlr 731 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  ->  r  e.  Prime )
3 breq1 4426 . . . . 5  |-  ( p  =  r  ->  (
p  <  N  <->  r  <  N ) )
4 oveq1 6312 . . . . . . 7  |-  ( p  =  r  ->  (
p  +  1 )  =  ( r  +  1 ) )
54oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( p  =  r  ->  (
( p  +  1 )..^ N )  =  ( ( r  +  1 )..^ N ) )
65raleqdv 3028 . . . . 5  |-  ( p  =  r  ->  ( A. z  e.  (
( p  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime  <->  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime ) )
73, 6anbi12d 715 . . . 4  |-  ( p  =  r  ->  (
( p  <  N  /\  A. z  e.  ( ( p  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime )  <->  ( r  <  N  /\  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime )
) )
87adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  ( ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  /\  p  =  r )  -> 
( ( p  < 
N  /\  A. z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ N ) z  e/  Prime )  <->  ( r  <  N  /\  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime ) ) )
9 breq1 4426 . . . . . . 7  |-  ( q  =  r  ->  (
q  <  N  <->  r  <  N ) )
109elrab 3228 . . . . . 6  |-  ( r  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  <->  ( r  e. 
Prime  /\  r  <  N
) )
1110simprbi 465 . . . . 5  |-  ( r  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  ->  r  <  N )
1211ad2antlr 731 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  ->  r  <  N )
13 elfzo2 11930 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N
)  <->  ( z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )
14 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N ) )  -> 
z  e.  Prime )
15 simpr3 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N ) )  -> 
z  <  N )
16 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  z  ->  (
q  <  N  <->  z  <  N ) )
1716elrab 3228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  <->  ( z  e. 
Prime  /\  z  <  N
) )
1814, 15, 17sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N ) )  -> 
z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } )
1918adantrl 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) ) )  ->  z  e.  {
q  e.  Prime  |  q  <  N } )
20 eluz2 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
r  +  1 ) )  <->  ( ( r  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  ( r  +  1 )  <_ 
z ) )
21 prmz 14625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( r  e.  Prime  ->  r  e.  ZZ )
22 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( r  <  z  <->  ( r  +  1 )  <_  z ) )
2321, 22sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
r  <  z  <->  ( r  +  1 )  <_ 
z ) )
24 prmnn 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( r  e.  Prime  ->  r  e.  NN )
2524nnred 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( r  e.  Prime  ->  r  e.  RR )
26 zre 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
27 ltnle 9720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( r  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( r  <  z  <->  -.  z  <_  r )
)
2827biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( r  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( r  <  z  ->  -.  z  <_  r
) )
2925, 26, 28syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( r  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
r  <  z  ->  -.  z  <_  r )
)
30 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  z  <_  r  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) )
3129, 30syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( r  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
r  <  z  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
3223, 31sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( r  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
( r  +  1 )  <_  z  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
3332expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
r  e.  Prime  ->  ( ( r  +  1 )  <_  z  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) ) )
3433com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ZZ  ->  (
( r  +  1 )  <_  z  ->  ( r  e.  Prime  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( r  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
z  e.  ZZ  ->  ( ( r  +  1 )  <_  z  ->  ( r  e.  Prime  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) ) ) )
36353imp 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( r  +  1 )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ  /\  (
r  +  1 )  <_  z )  -> 
( r  e.  Prime  -> 
( z  <_  r  ->  z  e/  Prime )
) )
3720, 36sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  (
r  +  1 ) )  ->  ( r  e.  Prime  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
38373ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N )  ->  (
r  e.  Prime  ->  ( z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
391, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  ->  ( (
z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N )  ->  (
z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N }
)  ->  ( (
z  e.  ( ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N )  ->  (
z  <_  r  ->  z  e/  Prime ) ) )
4140imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )  -> 
( z  <_  r  ->  z  e/  Prime )
)
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) ) )  ->  ( z  <_ 
r  ->  z  e/  Prime ) )
4319, 42embantd 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Prime  /\  (
( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) ) )  ->  ( ( z  e.  { q  e. 
Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime ) )
4443ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )  -> 
( ( z  e. 
{ q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime )
) )
45 df-nel 2617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e/  Prime  <->  -.  z  e.  Prime )
46 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime ) )
4746a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e/  Prime  ->  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )  -> 
( ( z  e. 
{ q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime )
) )
4845, 47sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  Prime  ->  ( ( ( N  e.  ( ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )  -> 
( ( z  e. 
{ q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime )
) )
4944, 48pm2.61i 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  (
ZZ>= `  ( r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  <  N ) )  -> 
( ( z  e. 
{ q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  z  e/  Prime )
)
5049impancom 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  {
q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r ) )  ->  ( ( z  e.  ( ZZ>= `  (
r  +  1 ) )  /\  N  e.  ZZ  /\  z  < 
N )  ->  z  e/  Prime ) )
5113, 50syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  ( z  e.  {
q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r ) )  ->  ( z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N )  ->  z  e/  Prime ) )
5251ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N }
)  ->  ( (
z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N }  ->  z  <_  r )  ->  (
z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N )  ->  z  e/  Prime ) ) )
5352ralimdv2 2829 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N }
)  ->  ( A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } z  <_ 
r  ->  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime )
)
5453imp 430 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  ->  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime )
5512, 54jca 534 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  ->  (
r  <  N  /\  A. z  e.  ( ( r  +  1 )..^ N ) z  e/  Prime ) )
562, 8, 55rspcedvd 3187 . 2  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  3 )  /\  r  e.  { q  e.  Prime  |  q  < 
N } )  /\  A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  < 
N  /\  A. z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ N ) z  e/  Prime )
)
57 eqid 2422 . . 3  |-  { q  e.  Prime  |  q  <  N }  =  {
q  e.  Prime  |  q  <  N }
5857prmgaplem3 15022 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  E. r  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } A. z  e.  { q  e.  Prime  |  q  <  N } z  <_ 
r )
5956, 58r19.29a 2967 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  < 
N  /\  A. z  e.  ( ( p  + 
1 )..^ N ) z  e/  Prime )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    e/ wnel 2615   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   1c1 9547    + caddc 9549    < clt 9682    <_ cle 9683   3c3 10667   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166  ..^cfzo 11922   Primecprime 14621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-dvds 14305  df-prm 14622
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15026
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