MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prmgaplem4 15024
Description: Lemma for prmgap 15029. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a  |-  A  =  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable groups:    x, A, y    N, p    P, p
Allowed substitution hints:    A( p)    P( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3514 . . . . 5  |-  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  Prime
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  Prime )
3 prmssnn 14627 . . . . 5  |-  Prime  C_  NN
4 nnssre 10613 . . . . 5  |-  NN  C_  RR
53, 4sstri 3441 . . . 4  |-  Prime  C_  RR
62, 5syl6ss 3444 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  RR )
7 fzfid 12186 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( N ... P )  e. 
Fin )
8 breq2 4406 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  i  ->  ( N  <  p  <->  N  <  i ) )
9 breq1 4405 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  i  ->  (
p  <_  P  <->  i  <_  P ) )
108, 9anbi12d 717 . . . . . . 7  |-  ( p  =  i  ->  (
( N  <  p  /\  p  <_  P )  <-> 
( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )
1110elrab 3196 . . . . . 6  |-  ( i  e.  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  <->  ( i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )
12 nnz 10959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
13 prmz 14626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1412, 13anim12i 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )
15143adant3 1028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )
16 prmz 14626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  Prime  ->  i  e.  ZZ )
1716adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) )  -> 
i  e.  ZZ )
1815, 17anim12i 570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  /\  (
i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  i  e.  ZZ ) )
19 df-3an 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  i  e.  ZZ ) )
2018, 19sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  /\  (
i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
21 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2221adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
235sseli 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  Prime  ->  i  e.  RR )
24 ltle 9722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( N  <  i  ->  N  <_  i )
)
2522, 23, 24syl2an 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  i  e.  Prime )  ->  ( N  < 
i  ->  N  <_  i ) )
2625anim1d 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  /\  i  e.  Prime )  ->  ( ( N  <  i  /\  i  <_  P )  ->  ( N  <_  i  /\  i  <_  P ) ) )
2726ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( i  e.  Prime  -> 
( ( N  < 
i  /\  i  <_  P )  ->  ( N  <_  i  /\  i  <_  P ) ) ) )
28273adant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  (
i  e.  Prime  ->  ( ( N  <  i  /\  i  <_  P )  ->  ( N  <_ 
i  /\  i  <_  P ) ) ) )
2928imp32 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  /\  (
i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )  ->  ( N  <_ 
i  /\  i  <_  P ) )
30 elfz2 11791 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( N ... P )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( N  <_  i  /\  i  <_  P ) ) )
3120, 29, 30sylanbrc 670 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  /\  (
i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) ) )  ->  i  e.  ( N ... P ) )
3231ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  (
( i  e.  Prime  /\  ( N  <  i  /\  i  <_  P ) )  ->  i  e.  ( N ... P ) ) )
3311, 32syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  (
i  e.  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  i  e.  ( N ... P ) ) )
3433ssrdv 3438 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  ( N ... P ) )
35 ssfi 7792 . . . 4  |-  ( ( ( N ... P
)  e.  Fin  /\  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) } 
C_  ( N ... P ) )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  e.  Fin )
367, 34, 35syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  e.  Fin )
37 simp2 1009 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  P  e.  Prime )
38 prmnn 14625 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
3938nnred 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
4039leidd 10180 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  <_  P )
4140anim1i 572 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( P  <_  P  /\  N  <  P ) )
4241ancomd 453 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( N  <  P  /\  P  <_  P ) )
43423adant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( N  <  P  /\  P  <_  P ) )
44 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( N  <  p  <->  N  <  P ) )
45 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  <_  P  <->  P  <_  P ) )
4644, 45anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( N  <  p  /\  p  <_  P )  <-> 
( N  <  P  /\  P  <_  P ) ) )
4746elrab 3196 . . . . 5  |-  ( P  e.  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  <->  ( P  e.  Prime  /\  ( N  <  P  /\  P  <_  P ) ) )
4837, 43, 47sylanbrc 670 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  P  e.  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) } )
49 ne0i 3737 . . . 4  |-  ( P  e.  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  =/=  (/) )
5048, 49syl 17 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  =/=  (/) )
51 prmgaplem4.a . . . 4  |-  A  =  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }
52 sseq1 3453 . . . . 5  |-  ( A  =  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  ( A  C_  RR  <->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  RR ) )
53 eleq1 2517 . . . . 5  |-  ( A  =  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  ( A  e.  Fin  <->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  e.  Fin ) )
54 neeq1 2686 . . . . 5  |-  ( A  =  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  ( A  =/=  (/)  <->  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  =/=  (/) ) )
5552, 53, 543anbi123d 1339 . . . 4  |-  ( A  =  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( {
p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) } 
C_  RR  /\  { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  e.  Fin  /\  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  =/=  (/) ) ) )
5651, 55ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( { p  e.  Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  C_  RR  /\  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  e.  Fin  /\  { p  e. 
Prime  |  ( N  <  p  /\  p  <_  P ) }  =/=  (/) ) )
576, 36, 50, 56syl3anbrc 1192 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )
58 fiminre 10555 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
5957, 58syl 17 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime  /\  N  <  P )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZcz 10937   ...cfz 11784   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-prm 14623
This theorem is referenced by:  prmgaplem6  15026
  Copyright terms: Public domain W3C validator