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Theorem prmfac1 14270
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
21breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  0 )
) )
3 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  0 ) )
42, 3imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 0 )  ->  P  <_  0 ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  0 )  ->  P  <_  0
) ) ) )
6 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  k ) )
76breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  k )
) )
8 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  k ) )
97, 8imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
) ) ) )
11 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1211breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
13 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
1716breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  N )
) )
18 breq2 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  N ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 N )  ->  P  <_  N ) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N
) ) ) )
21 fac0 12358 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2221breq2i 4464 . . . 4  |-  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  <->  P  ||  1
)
23 nprmdvds1 14263 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
2423pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  <_  0 ) )
2522, 24syl5bi 217 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  ->  P  <_  0 ) )
26 facp1 12360 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
2827breq2d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
P  ||  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
30 faccl 12365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
3231nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  ZZ )
33 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3433adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
3534nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
36 euclemma 14260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( ! `  k )  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( P  ||  ( ! `  k
)  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3729, 32, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3828, 37bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
39 nn0re 10825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  e.  RR )
4140lep1d 10497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
42 prmz 14232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
4443zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
4534nnred 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
46 letr 9695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  (
k  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4744, 40, 45, 46syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4841, 47mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  <_  k  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4948imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  k )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
51 dvdsle 14042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( k  +  1 )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
5243, 34, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) )
5352a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5450, 53jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  (
k  +  1 ) )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5538, 54sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5655com23 78 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  (
k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5756ex 434 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5857a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( P  e.  Prime  ->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) )  ->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 10980 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N ) ) )
60593imp 1190 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   !cfa 12355    || cdvds 13997   Primecprime 14228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229
This theorem is referenced by:  chtublem  23611  bposlem3  23686
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