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Theorem prmfac1 13809
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables  x  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
0 ) )
21breq2d 4309 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  0 )
) )
3 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  0 ) )
42, 3imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 0 )  ->  P  <_  0 ) ) )
54imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  0  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  0 )  ->  P  <_  0
) ) ) )
6 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  k ) )
76breq2d 4309 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  k )
) )
8 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  k ) )
97, 8imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) ) )
109imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  k  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
) ) ) )
11 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1211breq2d 4309 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
13 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
1716breq2d 4309 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  ||  ( ! `  x )  <->  P  ||  ( ! `  N )
) )
18 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( P  <_  x  <->  P  <_  N ) )
1917, 18imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )  <->  ( P  ||  ( ! `
 N )  ->  P  <_  N ) ) )
2019imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( P  e.  Prime  -> 
( P  ||  ( ! `  x )  ->  P  <_  x )
)  <->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N
) ) ) )
21 fac0 12059 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  =  1
2221breq2i 4305 . . . 4  |-  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  <->  P  ||  1
)
23 nprmdvds1 13802 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
2423pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  <_  0 ) )
2522, 24syl5bi 217 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! ` 
0 )  ->  P  <_  0 ) )
26 facp1 12061 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) )
2827breq2d 4309 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
P  ||  ( ( ! `  k )  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
30 faccl 12066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  NN )
3231nnzd 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  k
)  e.  ZZ )
33 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3433adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
3534nnzd 10751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
36 euclemma 13799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( ! `  k )  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( ! `
 k )  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( P  ||  ( ! `  k
)  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3729, 32, 35, 36syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
3828, 37bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  <-> 
( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  ( k  +  1 ) ) ) )
39 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  e.  RR )
4140lep1d 10269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
k  <_  ( k  +  1 ) )
42 prmz 13772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
4443zred 10752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  RR )
4534nnred 10342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
46 letr 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  (
k  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4744, 40, 45, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  <_ 
k  /\  k  <_  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4841, 47mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  <_  k  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
4948imim2d 52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5049com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  k )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
51 dvdsle 13583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( k  +  1 )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
5243, 34, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) )
5352a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  (
k  +  1 )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5450, 53jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  \/  P  ||  (
k  +  1 ) )  ->  ( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5538, 54sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( P 
||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5655com23 78 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  ||  ( ! `  k )  ->  P  <_  k
)  ->  ( P  ||  ( ! `  (
k  +  1 ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
5756ex 434 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k )  -> 
( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
5857a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( P  e.  Prime  ->  ( P  ||  ( ! `
 k )  ->  P  <_  k ) )  ->  ( P  e. 
Prime  ->  ( P  ||  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  P  <_  (
k  +  1 ) ) ) ) )
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 10743 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  ( ! `  N )  ->  P  <_  N ) ) )
60593imp 1181 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  P  e.  Prime  /\  P  ||  ( ! `  N
) )  ->  P  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    <_ cle 9424   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   !cfa 12056    || cdivides 13540   Primecprime 13768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769
This theorem is referenced by:  chtublem  22555  bposlem3  22630
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