Theorem prmdvdsprmorOLD 15094

Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) Obsolete version of prmdvdsprmo 15079 as of 29-Aug-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmormapnnOLD.f	|- F = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) )
prmormapnnOLD.p	|- P = ( n e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... n ) ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmorOLD	|- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p <_ N -> p || ( P ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, n   k, F, n   k, N, m, n, p

Allowed substitution hints:   P( k, m, n, p)   F( m, p)

Proof of Theorem prmdvdsprmorOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12223	. . . . . . 7 |- ( 1 ... N ) e. Fin
2		diffi 7821	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... N ) \ { p } ) e. Fin )
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( ( 1 ... N ) \ { p } ) e. Fin )
4		eldifi 3544	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> k e. ( 1 ... N ) )
5		prmormapnnOLD.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) )
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> F = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) )
7		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> ( m e. Prime <-> k e. Prime ) )
8		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = k -> m = k )
9	7, 8	ifbieq1d 3895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
10	9	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) /\ m = k ) -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
11		elfznn 11854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
12	11	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. NN )
13		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ZZ )
14	13	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. ZZ )
15		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
16	14, 15	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
17	6, 10, 12, 16	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` k ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
18	17, 16	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
19	18	ex 441	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( k e. ( 1 ... N ) -> ( F ` k ) e. ZZ ) )
20	19	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( k e. ( 1 ... N ) -> ( F ` k ) e. ZZ ) )
21	4, 20	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> ( F ` k ) e. ZZ ) )
22	21	imp 436	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
23	3, 22	fprodzcl 14085	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) e. ZZ )
24		prmz 14705	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
25	24	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> p e. ZZ )
26	25	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. ZZ )
27		dvdsmul2 14402	. . . . 5 |- ( ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) )
29		prmormapnnOLD.p	. . . . . . . 8 |- P = ( n e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... n ) ( F ` k ) )
30	29	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> P = ( n e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... n ) ( F ` k ) ) )
31		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... N ) )
32	31	prodeq1d 14052	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> prod_ k e. ( 1 ... n ) ( F ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) )
33	32	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ n = N ) -> prod_ k e. ( 1 ... n ) ( F ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) )
34		simpll 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> N e. NN )
35	1	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
36	20	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` k ) e. ZZ )
37	35, 36	fprodzcl 14085	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) e. ZZ )
38	30, 33, 34, 37	fvmptd 5969	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( P ` N ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) )
39	38	breq2d 4407	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || ( P ` N ) <-> p || prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) ) )
40		neldifsnd 4091	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> -. p e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) )
41		disjsn 4023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) i^i { p } ) = (/) <-> -. p e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) )
42	40, 41	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) i^i { p } ) = (/) )
43		prmnn 14704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
44	43	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> p e. NN )
45	44	anim1i 578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p e. NN /\ p <_ N ) )
46		nnz 10983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
47		fznn 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
49	48	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
50	45, 49	mpbird 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. ( 1 ... N ) )
51		difsnid 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) = ( 1 ... N ) )
52	51	eqcomd 2477	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) )
54	18	zcnd 11064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
55	54	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( k e. ( 1 ... N ) -> ( F ` k ) e. CC ) )
56	55	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( k e. ( 1 ... N ) -> ( F ` k ) e. CC ) )
57	56	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	42, 53, 35, 57	fprodsplit 14097	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. prod_ k e. { p } ( F ` k ) ) )
59		simplr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. Prime )
60	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> F = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) )
61		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = p -> ( m e. Prime <-> p e. Prime ) )
62		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = p -> m = p )
63	61, 62	ifbieq1d 3895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = p -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
64	63	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ m = p ) -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
65	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. NN )
66		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> 1 e. ZZ )
67	26, 66	ifcld 3915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> if ( p e. Prime , p , 1 ) e. ZZ )
68	60, 64, 65, 67	fvmptd 5969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( F ` p ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
69	68, 67	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( F ` p ) e. ZZ )
70	69	zcnd 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( F ` p ) e. CC )
71		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = p -> ( F ` k ) = ( F ` p ) )
72	71	prodsn 14093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ ( F ` p ) e. CC ) -> prod_ k e. { p } ( F ` k ) = ( F ` p ) )
73	59, 70, 72	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. { p } ( F ` k ) = ( F ` p ) )
74	59	iftrued 3880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> if ( p e. Prime , p , 1 ) = p )
75	63, 74	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ m = p ) -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = p )
76	60, 75, 65, 59	fvmptd 5969	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( F ` p ) = p )
77	73, 76	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. { p } ( F ` k ) = p )
78	77	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. prod_ k e. { p } ( F ` k ) ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) )
79	58, 78	eqtrd 2505	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) )
80	79	breq2d 4407	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || prod_ k e. ( 1 ... N ) ( F ` k ) <-> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) ) )
81	39, 80	bitrd 261	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || ( P ` N ) <-> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ( F ` k ) x. p ) ) )
82	28, 81	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p || ( P ` N ) )
83	82	ex 441	. 2 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p <_ N -> p || ( P ` N ) ) )
84	83	ralrimiva 2809	1 |- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p <_ N -> p || ( P ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   1c1 9558   x. cmul 9562   <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ...cfz 11810   prod_cprod 14036   || cdvds 14382   Primecprime 14701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-prm 14702

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmorpOLD  15095