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Theorem prmdvdsprmorOLD 15094
Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) Obsolete version of prmdvdsprmo 15079 as of 29-Aug-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
prmormapnnOLD.f  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 ) )
prmormapnnOLD.p  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsprmorOLD  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  <_  N  ->  p  ||  ( P `  N )
) )
Distinct variable groups:    k, m, n    k, F, n    k, N, m, n, p
Allowed substitution hints:    P( k, m, n, p)    F( m, p)

Proof of Theorem prmdvdsprmorOLD
StepHypRef Expression
1 fzfi 12223 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
2 diffi 7821 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... N
)  \  { p } )  e.  Fin )
31, 2mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( ( 1 ... N )  \  { p } )  e.  Fin )
4 eldifi 3544 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... N )  \  { p } )  ->  k  e.  ( 1 ... N ) )
5 prmormapnnOLD.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 ) )
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 ) ) )
7 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
m  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
8 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
97, 8ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 )  =  if ( k  e.  Prime ,  k ,  1 ) )
109adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  /\  m  =  k )  ->  if (
m  e.  Prime ,  m ,  1 )  =  if ( k  e. 
Prime ,  k , 
1 ) )
11 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN )
13 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
15 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  1  e.  ZZ )
1614, 15ifcld 3915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  if ( k  e.  Prime ,  k ,  1 )  e.  ZZ )
176, 10, 12, 16fvmptd 5969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  Prime ,  k ,  1 ) )
1817, 16eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
1918ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  -> 
( F `  k
)  e.  ZZ ) )
2019ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( k  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( F `  k )  e.  ZZ ) )
214, 20syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( k  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } )  -> 
( F `  k
)  e.  ZZ ) )
2221imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  k  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
233, 22fprodzcl 14085 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  ( ( 1 ... N
)  \  { p } ) ( F `
 k )  e.  ZZ )
24 prmz 14705 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
2524adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
2625adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  e.  ZZ )
27 dvdsmul2 14402 . . . . 5  |-  ( (
prod_ k  e.  (
( 1 ... N
)  \  { p } ) ( F `
 k )  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  p  ||  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N
)  \  { p } ) ( F `
 k )  x.  p ) )
2823, 26, 27syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  ||  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N ) 
\  { p }
) ( F `  k )  x.  p
) )
29 prmormapnnOLD.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( n  e.  NN  |->  prod_ k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) )
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  P  =  ( n  e.  NN  |->  prod_
k  e.  ( 1 ... n ) ( F `  k ) ) )
31 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3231prodeq1d 14052 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  = 
prod_ k  e.  (
1 ... N ) ( F `  k ) )
3332adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  n  =  N )  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... n ) ( F `
 k )  = 
prod_ k  e.  (
1 ... N ) ( F `  k ) )
34 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  N  e.  NN )
351a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( 1 ... N )  e.  Fin )
3620imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
3735, 36fprodzcl 14085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  k
)  e.  ZZ )
3830, 33, 34, 37fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( P `  N )  =  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( F `
 k ) )
3938breq2d 4407 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( p  ||  ( P `  N )  <-> 
p  ||  prod_ k  e.  ( 1 ... N
) ( F `  k ) ) )
40 neldifsnd 4091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  -.  p  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } ) )
41 disjsn 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  \  {
p } )  i^i 
{ p } )  =  (/)  <->  -.  p  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } ) )
4240, 41sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( ( ( 1 ... N ) 
\  { p }
)  i^i  { p } )  =  (/) )
43 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  NN )
4544anim1i 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  N ) )
46 nnz 10983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
47 fznn 11889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... N )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  N ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
p  e.  ( 1 ... N )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  N ) ) )
4948ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( p  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  N ) ) )
5045, 49mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  e.  ( 1 ... N ) )
51 difsnid 4109 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( ( 1 ... N )  \  {
p } )  u. 
{ p } )  =  ( 1 ... N ) )
5251eqcomd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( ( 1 ... N )  \  { p } )  u.  { p }
) )
5350, 52syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ( 1 ... N )  \  {
p } )  u. 
{ p } ) )
5418zcnd 11064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5554ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  -> 
( F `  k
)  e.  CC ) )
5655ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( k  e.  ( 1 ... N
)  ->  ( F `  k )  e.  CC ) )
5756imp 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5842, 53, 35, 57fprodsplit 14097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  k
)  =  ( prod_
k  e.  ( ( 1 ... N ) 
\  { p }
) ( F `  k )  x.  prod_ k  e.  { p } 
( F `  k
) ) )
59 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  e.  Prime )
605a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 ) ) )
61 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  p  ->  (
m  e.  Prime  <->  p  e.  Prime ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  p  ->  m  =  p )
6361, 62ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  p  ->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 )  =  if ( p  e.  Prime ,  p ,  1 ) )
6463adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  m  =  p )  ->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 )  =  if ( p  e.  Prime ,  p ,  1 ) )
6544adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  e.  NN )
66 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
6726, 66ifcld 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  if ( p  e.  Prime ,  p ,  1 )  e.  ZZ )
6860, 64, 65, 67fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( F `  p )  =  if ( p  e.  Prime ,  p ,  1 ) )
6968, 67eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( F `  p )  e.  ZZ )
7069zcnd 11064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( F `  p )  e.  CC )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  p  ->  ( F `  k )  =  ( F `  p ) )
7271prodsn 14093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( F `  p )  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { p } 
( F `  k
)  =  ( F `
 p ) )
7359, 70, 72syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  {
p }  ( F `
 k )  =  ( F `  p
) )
7459iftrued 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  if ( p  e.  Prime ,  p ,  1 )  =  p )
7563, 74sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e. 
Prime )  /\  p  <_  N )  /\  m  =  p )  ->  if ( m  e.  Prime ,  m ,  1 )  =  p )
7660, 75, 65, 59fvmptd 5969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( F `  p )  =  p )
7773, 76eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  {
p }  ( F `
 k )  =  p )
7877oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } ) ( F `  k )  x.  prod_ k  e.  {
p }  ( F `
 k ) )  =  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N )  \  {
p } ) ( F `  k )  x.  p ) )
7958, 78eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  k
)  =  ( prod_
k  e.  ( ( 1 ... N ) 
\  { p }
) ( F `  k )  x.  p
) )
8079breq2d 4407 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( p  ||  prod_ k  e.  ( 1 ... N ) ( F `  k )  <-> 
p  ||  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N )  \  { p } ) ( F `  k
)  x.  p ) ) )
8139, 80bitrd 261 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  ( p  ||  ( P `  N )  <-> 
p  ||  ( prod_ k  e.  ( ( 1 ... N )  \  { p } ) ( F `  k
)  x.  p ) ) )
8228, 81mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  N )  ->  p  ||  ( P `  N )
)
8382ex 441 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  <_  N  ->  p  ||  ( P `
 N ) ) )
8483ralrimiva 2809 1  |-  ( N  e.  NN  ->  A. p  e.  Prime  ( p  <_  N  ->  p  ||  ( P `  N )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ...cfz 11810   prod_cprod 14036    || cdvds 14382   Primecprime 14701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-prod 14037  df-dvds 14383  df-prm 14702
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmorpOLD  15095
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