MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem prmdvdsfz 14661
Description: Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfz  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) )
Distinct variable groups:    I, p    N, p

Proof of Theorem prmdvdsfz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 11803 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
21adantl 468 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  I  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
3 exprmfct 14660 . . 3  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  I
)
42, 3syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  I )
5 prmz 14638 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
6 eluz2nn 11204 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  I  e.  NN )
71, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  NN )
87adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  I  e.  NN )
9 dvdsle 14362 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  I  e.  NN )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  I )
)
105, 8, 9syl2anr 481 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  I
) )
11 elfzle2 11810 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  <_  N )
1211ad2antlr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  I  <_  N
)
135zred 11047 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1413adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
15 elfzelz 11807 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  ZZ )
1615zred 11047 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 2 ... N )  ->  I  e.  RR )
1716ad2antlr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  I  e.  RR )
18 nnre 10623 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1918ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
20 letr 9732 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( p  <_  I  /\  I  <_  N )  ->  p  <_  N
) )
2114, 17, 19, 20syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p  <_  I  /\  I  <_  N )  ->  p  <_  N ) )
2212, 21mpan2d 681 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  <_  I  ->  p  <_  N
) )
2310, 22syld 45 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  p  <_  N
) )
2423ancrd 557 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  I  ->  ( p  <_  N  /\  p  ||  I
) ) )
2524reximdva 2864 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  I  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) ) )
264, 25mpd 15 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  I  e.  ( 2 ... N ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  <_  N  /\  p  ||  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1889   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543    <_ cle 9681   NNcn 10616   2c2 10666   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791    || cdvds 14317   Primecprime 14634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-dvds 14318  df-prm 14635
This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  15013  prmdvdsprmorpOLD  15028
  Copyright terms: Public domain W3C validator