MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsfi Structured version   Unicode version

Theorem prmdvdsfi 23654
Description: The set of prime divisors of a number is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfi  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem prmdvdsfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 12036 . 2  |-  ( 1 ... A )  e. 
Fin
2 prmnn 14321 . . . . 5  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
32ssriv 3445 . . . 4  |-  Prime  C_  NN
4 rabss2 3521 . . . 4  |-  ( Prime  C_  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  A } )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  { p  e.  NN  |  p  ||  A }
6 sgmss 23653 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
75, 6syl5ss 3452 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
8 ssfi 7695 . 2  |-  ( ( ( 1 ... A
)  e.  Fin  /\  { p  e.  Prime  |  p 
||  A }  C_  ( 1 ... A
) )  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
91, 7, 8sylancr 661 1  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  Prime  |  p  ||  A }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   {crab 2757    C_ wss 3413   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   1c1 9443   NNcn 10496   ...cfz 11643    || cdvds 14087   Primecprime 14318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-dvds 14088  df-prm 14319
This theorem is referenced by:  isppw  23661  isnsqf  23682  muf  23687  mule1  23695  musum  23740  rpvmasumlem  23945
  Copyright terms: Public domain W3C validator