MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Structured version   Unicode version

Theorem prmdvdsexpr 13913
Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 10685 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 prmdvdsexpb 13912 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  <->  P  =  Q ) )
32biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) )
433expia 1190 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
5 prmnn 13877 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  NN )
76nncnd 10442 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  CC )
87exp0d 12112 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( Q ^ 0 )  =  1 )
98breq2d 4405 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  <->  P  ||  1
) )
10 nprmdvds1 13908 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
1110pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  =  Q ) )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  1  ->  P  =  Q ) )
139, 12sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  ->  P  =  Q ) )
14 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( Q ^ N )  =  ( Q ^ 0 ) )
1514breq2d 4405 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  <->  P  ||  ( Q ^ 0 ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )  <->  ( P  ||  ( Q ^ 0 )  ->  P  =  Q )
) )
1713, 16syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
184, 17jaod 380 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) ) )
191, 18syl5bi 217 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) ) )
20193impia 1185 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4393  (class class class)co 6193   0cc0 9386   1c1 9387   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ^cexp 11975    || cdivides 13646   Primecprime 13874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  14059  pcmpt  14065  pgpfi  16217  ablfac1eulem  16687  isppw2  22579
  Copyright terms: Public domain W3C validator