MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Structured version   Unicode version

Theorem prmdvdsexpr 13794
Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 10573 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 prmdvdsexpb 13793 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  <->  P  =  Q ) )
32biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) )
433expia 1189 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
5 prmnn 13758 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
65adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  NN )
76nncnd 10330 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  CC )
87exp0d 11994 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( Q ^ 0 )  =  1 )
98breq2d 4299 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  <->  P  ||  1
) )
10 nprmdvds1 13789 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
1110pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  =  Q ) )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  1  ->  P  =  Q ) )
139, 12sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  ->  P  =  Q ) )
14 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( Q ^ N )  =  ( Q ^ 0 ) )
1514breq2d 4299 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  <->  P  ||  ( Q ^ 0 ) ) )
1615imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )  <->  ( P  ||  ( Q ^ 0 )  ->  P  =  Q )
) )
1713, 16syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
184, 17jaod 380 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) ) )
191, 18syl5bi 217 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) ) )
20193impia 1184 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   0cc0 9274   1c1 9275   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ^cexp 11857    || cdivides 13527   Primecprime 13755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  13940  pcmpt  13946  pgpfi  16095  ablfac1eulem  16561  isppw2  22428
  Copyright terms: Public domain W3C validator