MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdvdsexpr Structured version   Unicode version

Theorem prmdvdsexpr 14259
Description: If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsexpr  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )

Proof of Theorem prmdvdsexpr
StepHypRef Expression
1 elnn0 10714 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 prmdvdsexpb 14258 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  <->  P  =  Q ) )
32biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P 
||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) )
433expia 1196 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
5 prmnn 14222 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
65adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  NN )
76nncnd 10468 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  Q  e.  CC )
87exp0d 12206 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( Q ^ 0 )  =  1 )
98breq2d 4379 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  <->  P  ||  1
) )
10 nprmdvds1 14254 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
1110pm2.21d 106 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
||  1  ->  P  =  Q ) )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  1  ->  P  =  Q ) )
139, 12sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( P  ||  ( Q ^
0 )  ->  P  =  Q ) )
14 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( Q ^ N )  =  ( Q ^ 0 ) )
1514breq2d 4379 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  <->  P  ||  ( Q ^ 0 ) ) )
1615imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )  <->  ( P  ||  ( Q ^ 0 )  ->  P  =  Q )
) )
1713, 16syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  =  0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q )
) )
184, 17jaod 378 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  (
( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) ) )
191, 18syl5bi 217 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  ||  ( Q ^ N )  ->  P  =  Q ) ) )
20193impia 1191 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Q  e.  Prime  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( Q ^ N
)  ->  P  =  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ^cexp 12069    || cdvds 13988   Primecprime 14219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147  df-prm 14220
This theorem is referenced by:  pcprmpw2  14407  pcmpt  14413  pgpfi  16742  ablfac1eulem  17236  isppw2  23506
  Copyright terms: Public domain W3C validator