Theorem prltub 14602

Description: If R is a preset, URV and U is an upper bound of A then V is an upper bound of A. Bourbaki E.III.9 nb 8.

Assertion

Ref	Expression
prltub	|- ((R e. Preset /\ A e. B /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> V e. (R ub A))

Proof of Theorem prltub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 4206	. . 3 |- (R e. Preset -> dom R e. _V)
2		simp1l 900	. . . . . . . 8 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> R e. Preset )
3		simp33 914	. . . . . . . 8 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> V e. W)
4		simp32 913	. . . . . . . 8 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> URV)
5		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- dom R = dom R
6	5	pre2befi2 14573	. . . . . . . 8 |- ((R e. Preset /\ V e. W /\ URV) -> V e. dom R)
7	2, 3, 4, 6	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> V e. dom R)
8	5	puub2 14600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (U e. (R ub A) <-> (U e. dom R /\ A.b e. A bRU)))
9		preotr2 14576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((R e. Preset /\ (bRU /\ URV /\ V e. W)) -> bRV)
10	9	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((bRU /\ URV /\ V e. W) -> (R e. Preset -> bRV))
11	10	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (bRU -> (URV -> (V e. W -> (R e. Preset -> bRV))))
12	11	com14 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (R e. Preset -> (URV -> (V e. W -> (bRU -> bRV))))
13	12	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((R e. Preset /\ URV /\ V e. W) -> (bRU -> bRV))
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((R e. Preset /\ URV /\ V e. W) /\ b e. A) -> (bRU -> bRV))
15	14	ralimdvaa 2171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((R e. Preset /\ URV /\ V e. W) -> (A.b e. A bRU -> A.b e. A bRV))
16	15	a1dd 53	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((R e. Preset /\ URV /\ V e. W) -> (A.b e. A bRU -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))
17	16	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (R e. Preset -> (URV -> (V e. W -> (A.b e. A bRU -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (URV -> (V e. W -> (A.b e. A bRU -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
19	18	com4r 45	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.b e. A bRU -> ((R e. Preset /\ A e. B) -> (URV -> (V e. W -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. dom R /\ A.b e. A bRU) -> ((R e. Preset /\ A e. B) -> (URV -> (V e. W -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
21	8, 20	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . 12 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (U e. (R ub A) -> ((R e. Preset /\ A e. B) -> (URV -> (V e. W -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV))))))
22	21	pm2.43a 80	. . . . . . . . . . 11 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (U e. (R ub A) -> (URV -> (V e. W -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
23	22	com4l 43	. . . . . . . . . 10 |- (U e. (R ub A) -> (URV -> (V e. W -> ((R e. Preset /\ A e. B) -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))))
24	23	3imp 1061	. . . . . . . . 9 |- ((U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W) -> ((R e. Preset /\ A e. B) -> (dom R e. _V -> A.b e. A bRV)))
25	24	com3l 38	. . . . . . . 8 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (dom R e. _V -> ((U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W) -> A.b e. A bRV)))
26	25	3imp 1061	. . . . . . 7 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> A.b e. A bRV)
27	7, 26	jca 310	. . . . . 6 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> (V e. dom R /\ A.b e. A bRV))
28	5	puub2 14600	. . . . . . 7 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (V e. (R ub A) <-> (V e. dom R /\ A.b e. A bRV)))
29	28	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> (V e. (R ub A) <-> (V e. dom R /\ A.b e. A bRV)))
30	27, 29	mpbird 213	. . . . 5 |- (((R e. Preset /\ A e. B) /\ dom R e. _V /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> V e. (R ub A))
31	30	3exp 1066	. . . 4 |- ((R e. Preset /\ A e. B) -> (dom R e. _V -> ((U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W) -> V e. (R ub A))))
32	31	ex 402	. . 3 |- (R e. Preset -> (A e. B -> (dom R e. _V -> ((U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W) -> V e. (R ub A)))))
33	1, 32	mpid 58	. 2 |- (R e. Preset -> (A e. B -> ((U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W) -> V e. (R ub A))))
34	33	3imp 1061	1 |- ((R e. Preset /\ A e. B /\ (U e. (R ub A) /\ URV /\ V e. W)) -> V e. (R ub A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  (class class class)co 4884   Preset cpreset 14555   ub cub 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-prs 14563  df-ub 14596

Copyright terms: Public domain