Theorem prlem936b 6306

Description: Sublemma for Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124.

Hypotheses

Ref	Expression
prlem936b.1	|- (((y .Q B) e. A /\ ph) -> (y +Q z) e. A)
prlem936b.2	|- (((A e. P. /\ (y +Q z) e. A) /\ (x e. Q. /\ z e. Q.)) -> (ps -> ch))
prlem936b.3	|- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> (ch <-> th))
prlem936b.4	|- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ y e. Q.) /\ ph) -> (th <-> ta))
prlem936b.5	|- ((A e. P. /\ ta) -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))

Assertion

Ref	Expression
prlem936b	|- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ ((ph /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A))) -> ((x e. A /\ ps) -> (x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))

Proof of Theorem prlem936b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prlem936b.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((A e. P. /\ (y +Q z) e. A) /\ (x e. Q. /\ z e. Q.)) -> (ps -> ch))
2	1	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((A e. P. /\ (y +Q z) e. A) -> ((x e. Q. /\ z e. Q.) -> (ps -> ch)))
3		prlem936b.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y .Q B) e. A /\ ph) -> (y +Q z) e. A)
4	2, 3	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((A e. P. /\ ((y .Q B) e. A /\ ph)) -> ((x e. Q. /\ z e. Q.) -> (ps -> ch)))
5	4	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((x e. Q. /\ z e. Q.) -> ((A e. P. /\ ((y .Q B) e. A /\ ph)) -> (ps -> ch)))
6	5	ad2ant2lr 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((A e. P. /\ ((y .Q B) e. A /\ ph)) -> (ps -> ch)))
7	6	exp4d 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> (A e. P. -> ((y .Q B) e. A -> (ph -> (ps -> ch)))))
8	7	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (A e. P. -> (ps -> ch)))))
9	8	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ A e. P.) -> (ps -> ch))
10		prlem936b.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> (ch <-> th))
11	10	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> (ch <-> th))
12	11	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) -> (ch <-> th))
13		prlem936b.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ y e. Q.) /\ ph) -> (th <-> ta))
14	13	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) -> (th <-> ta))
15	12, 14	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) -> (ch <-> ta))
16	15	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ A e. P.) -> (ch <-> ta))
17	9, 16	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ A e. P.) -> (ps -> ta))
18	17	impr 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ (A e. P. /\ ps)) -> ta)
19		prlem936b.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. P. /\ ta) -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))
20	19	expcom 403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (ta -> (A e. P. -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))
21	20	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (ta -> ((A e. P. /\ ps) -> -. (x .Q B) e. A))
22	21	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (ta -> ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ (A e. P. /\ ps)) -> -. (x .Q B) e. A))
23	18, 22	mpcom 60	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) /\ (y .Q B) e. A) /\ (A e. P. /\ ps)) -> -. (x .Q B) e. A)
24	23	exp43 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) -> ((y .Q B) e. A -> (A e. P. -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))
25	24	com3r 39	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. P. -> ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) /\ ph) -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))
26	25	exp4c 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. P. -> ((1Q <Q B /\ x e. Q.) -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))
27		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ x e. A) -> x e. Q.)
28	26, 27	sylan2i 514	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. P. -> ((1Q <Q B /\ (A e. P. /\ x e. A)) -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))
29	28	exp4d 412	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. P. -> (1Q <Q B -> (A e. P. -> (x e. A -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))))
30	29	pm2.43a 80	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. -> (1Q <Q B -> (x e. A -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))))))
31	30	imp3a 388	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> ((1Q <Q B /\ x e. A) -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> (ph -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))
32	31	com24 41	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> (ph -> ((z e. Q. /\ y e. Q.) -> ((1Q <Q B /\ x e. A) -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))
33	32	exp4a 409	. . . . . . . 8 |- (A e. P. -> (ph -> (z e. Q. -> (y e. Q. -> ((1Q <Q B /\ x e. A) -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))))))
34	33	com23 36	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (z e. Q. -> (ph -> (y e. Q. -> ((1Q <Q B /\ x e. A) -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))))))
35	34	imp43 397	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ (ph /\ y e. Q.)) -> ((1Q <Q B /\ x e. A) -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))
36	35	exp3a 405	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ (ph /\ y e. Q.)) -> (1Q <Q B -> (x e. A -> ((y .Q B) e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))))
37	36	com34 40	. . . 4 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ (ph /\ y e. Q.)) -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> (x e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))))
38	37	ex 402	. . 3 |- ((A e. P. /\ z e. Q.) -> ((ph /\ y e. Q.) -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> (x e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A))))))
39	38	imp45 399	. 2 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ ((ph /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A))) -> (x e. A -> (ps -> -. (x .Q B) e. A)))
40	39	imdistand 493	1 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ ((ph /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A))) -> ((x e. A /\ ps) -> (x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   +Q cplq 6133   .Q cmq 6134   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  prlem936 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238

Copyright terms: Public domain