Theorem prlem936 6307

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
prlem936.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
prlem936	|- ((A e. P. /\ 1Q <Q B) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem prlem936

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 6245	. . . 4 |- (A e. P. -> A =/= (/))
2		n0 2884	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
3	1, 2	sylib 215	. . 3 |- (A e. P. -> E.y y e. A)
4		simpl 346	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> A e. P.)
5		elprpq 6247	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> y e. Q.)
6		prlem934 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. P. /\ z e. Q.) -> E.x(x e. A /\ -. (x +Q z) e. A))
7		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y +Q z) = (y .Q B) -> ((y +Q z) e. A <-> (y .Q B) e. A))
8	7	biimparc 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y .Q B) e. A /\ (y +Q z) = (y .Q B)) -> (y +Q z) e. A)
9		prub 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A e. P. /\ (y +Q z) e. A) /\ (x +Q z) e. Q.) -> (-. (x +Q z) e. A -> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
10		addclpq 6210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. Q. /\ z e. Q.) -> (x +Q z) e. Q.)
11	9, 10	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A e. P. /\ (y +Q z) e. A) /\ (x e. Q. /\ z e. Q.)) -> (-. (x +Q z) e. A -> (y +Q z) <Q (x +Q z)))
12		prlem936a 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. Q. /\ (z e. Q. /\ y e. Q.)) -> ((y +Q z) <Q (x +Q z) <-> (x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z))))
13		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y +Q z) = (y .Q B) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = ((x .Q (*Q` y)) .Q (y .Q B)))
14		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
15		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (*Q` y) e. _V
16		prlem936.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- B e. _V
17		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- z e. _V
18		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- w e. _V
19	17, 18	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (z .Q w) = (w .Q z)
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- v e. _V
21	18, 20	mulasspq 6217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((z .Q w) .Q v) = (z .Q (w .Q v))
22		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- x e. _V
23	14, 15, 16, 19, 21, 22	caopr42 4999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y .Q (*Q` y)) .Q (B .Q x)) = ((y .Q B) .Q (x .Q (*Q` y)))
24		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (B .Q x) e. _V
25		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y .Q (*Q` y)) e. _V
26	24, 25	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((B .Q x) .Q (y .Q (*Q` y))) = ((y .Q (*Q` y)) .Q (B .Q x))
27		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x .Q (*Q` y)) e. _V
28		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y .Q B) e. _V
29	27, 28	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((x .Q (*Q` y)) .Q (y .Q B)) = ((y .Q B) .Q (x .Q (*Q` y)))
30	23, 26, 29	3eqtr4i 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((B .Q x) .Q (y .Q (*Q` y))) = ((x .Q (*Q` y)) .Q (y .Q B))
31	13, 30	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y +Q z) = (y .Q B) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = ((B .Q x) .Q (y .Q (*Q` y))))
32		recidpq 6223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
33	32	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. Q. -> ((B .Q x) .Q (y .Q (*Q` y))) = ((B .Q x) .Q 1Q))
34		ltrelpq 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
35	16, 34	brel 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (1Q <Q B -> (1Q e. Q. /\ B e. Q.))
36	35	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (1Q <Q B -> B e. Q.)
37	36	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((1Q <Q B /\ x e. Q.) -> (B e. Q. /\ x e. Q.))
38		mulclpq 6212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((B e. Q. /\ x e. Q.) -> (B .Q x) e. Q.)
39		mulidpq 6221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((B .Q x) e. Q. -> ((B .Q x) .Q 1Q) = (B .Q x))
40	22, 16	mulcompq 6216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x .Q B) = (B .Q x)
41	39, 40	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((B .Q x) e. Q. -> ((B .Q x) .Q 1Q) = (x .Q B))
42	37, 38, 41	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((1Q <Q B /\ x e. Q.) -> ((B .Q x) .Q 1Q) = (x .Q B))
43	33, 42	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ y e. Q.) -> ((B .Q x) .Q (y .Q (*Q` y))) = (x .Q B))
44	31, 43	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ y e. Q.) /\ (y +Q z) = (y .Q B)) -> ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) = (x .Q B))
45	44	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((1Q <Q B /\ x e. Q.) /\ y e. Q.) /\ (y +Q z) = (y .Q B)) -> ((x +Q z) <Q ((x .Q (*Q` y)) .Q (y +Q z)) <-> (x +Q z) <Q (x .Q B)))
46		prcdpq 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A e. P. /\ (x .Q B) e. A) -> ((x +Q z) <Q (x .Q B) -> (x +Q z) e. A))
47	46	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (A e. P. -> ((x .Q B) e. A -> ((x +Q z) <Q (x .Q B) -> (x +Q z) e. A)))
48	47	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (A e. P. -> ((x +Q z) <Q (x .Q B) -> ((x .Q B) e. A -> (x +Q z) e. A)))
49	48	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. P. /\ (x +Q z) <Q (x .Q B)) -> ((x .Q B) e. A -> (x +Q z) e. A))
50	49	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ (x +Q z) <Q (x .Q B)) -> (-. (x +Q z) e. A -> -. (x .Q B) e. A))
51	8, 11, 12, 45, 50	prlem936b 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ (((y +Q z) = (y .Q B) /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A))) -> ((x e. A /\ -. (x +Q z) e. A) -> (x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
52	51	eximdv 1669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. Q.) /\ (((y +Q z) = (y .Q B) /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A))) -> (E.x(x e. A /\ -. (x +Q z) e. A) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
53	52	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. P. /\ z e. Q.) -> ((((y +Q z) = (y .Q B) /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A)) -> (E.x(x e. A /\ -. (x +Q z) e. A) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
54	6, 53	mpid 58	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ z e. Q.) -> ((((y +Q z) = (y .Q B) /\ y e. Q.) /\ (1Q <Q B /\ (y .Q B) e. A)) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
55	54	exp4d 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ z e. Q.) -> (((y +Q z) = (y .Q B) /\ y e. Q.) -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))))
56	55	exp4b 410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. P. -> (z e. Q. -> ((y +Q z) = (y .Q B) -> (y e. Q. -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))))))
57	56	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. P. -> ((z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B)) -> (y e. Q. -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))))
58	57	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. P. -> (E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B)) -> (y e. Q. -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))))
59		1q 6209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
60	59	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1Q e. _V
61	60, 16	ltmpq 6229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. Q. -> (1Q <Q B <-> (y .Q 1Q) <Q (y .Q B)))
62		mulidpq 6221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. Q. -> (y .Q 1Q) = y)
63	62	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. Q. -> ((y .Q 1Q) <Q (y .Q B) <-> y <Q (y .Q B)))
64	61, 63	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. Q. -> (1Q <Q B <-> y <Q (y .Q B)))
65	28, 34	brel 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y <Q (y .Q B) -> (y e. Q. /\ (y .Q B) e. Q.))
66	14	ltexpq2 6233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. Q. /\ (y .Q B) e. Q.) -> (y <Q (y .Q B) <-> E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B))))
67	66	biimpcd 172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y <Q (y .Q B) -> ((y e. Q. /\ (y .Q B) e. Q.) -> E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B))))
68	65, 67	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y <Q (y .Q B) -> E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B)))
69	64, 68	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. Q. -> (1Q <Q B -> E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B))))
70	69	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. Q. /\ 1Q <Q B) -> E.z(z e. Q. /\ (y +Q z) = (y .Q B)))
71	58, 70	syl5 20	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. P. -> ((y e. Q. /\ 1Q <Q B) -> (y e. Q. -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))))
72	71	imp4a 391	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> ((y e. Q. /\ 1Q <Q B) -> ((y e. Q. /\ 1Q <Q B) -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))))
73	72	pm2.43d 79	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> ((y e. Q. /\ 1Q <Q B) -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
74	73	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- (A e. P. -> (y e. Q. -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))))
75	4, 5, 74	sylc 83	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> (1Q <Q B -> ((y .Q B) e. A -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
76	75	com23 36	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> ((y .Q B) e. A -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
77		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (x e. A <-> y e. A))
78		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = y -> (x .Q B) = (y .Q B))
79	78	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> ((x .Q B) e. A <-> (y .Q B) e. A))
80	79	notbid 673	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (-. (x .Q B) e. A <-> -. (y .Q B) e. A))
81	77, 80	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> ((x e. A /\ -. (x .Q B) e. A) <-> (y e. A /\ -. (y .Q B) e. A)))
82	14, 81	cla4ev 2371	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A /\ -. (y .Q B) e. A) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))
83	82	a1d 15	. . . . . . . 8 |- ((y e. A /\ -. (y .Q B) e. A) -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
84	83	ex 402	. . . . . . 7 |- (y e. A -> (-. (y .Q B) e. A -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
85	84	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> (-. (y .Q B) e. A -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
86	76, 85	pm2.61d 141	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
87	86	ex 402	. . . 4 |- (A e. P. -> (y e. A -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
88	87	19.23adv 1584	. . 3 |- (A e. P. -> (E.y y e. A -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))))
89	3, 88	mpd 29	. 2 |- (A e. P. -> (1Q <Q B -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A)))
90	89	imp 377	1 |- ((A e. P. /\ 1Q <Q B) -> E.x(x e. A /\ -. (x .Q B) e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   +Q cplq 6133   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  reclem3pr 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238

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