Theorem prlem934b 6290

Description: Sublemma for Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prlem934b	|- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))

Distinct variable group:   z,w,v,u

Proof of Theorem prlem934b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 6173	. . . . . . 7 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> (u .N z) e. N.)
2		nlt1pi 6185	. . . . . . . 8 |- -. (u .N z) <N 1o
3		1pi 6163	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. N.
4		ltsopi 6168	. . . . . . . . . . 11 |- <N Or N.
5		sotric 3615	. . . . . . . . . . 11 |- (( <N Or N. /\ ((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
6	4, 5	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (((u .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
7	3, 6	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) <N 1o <-> -. ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z))))
8	7	con2bid 585	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) e. N. -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) <-> -. (u .N z) <N 1o))
9	2, 8	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- ((u .N z) e. N. -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
10	1, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((u e. N. /\ z e. N.) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
11	10	adantl 424	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)))
12		enqeceq 6199	. . . . . . . . . . 11 |- ((((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
13	12	ancoms 484	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((v .N z) e. N. /\ 1o e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
14	3, 13	mpanr2 776	. . . . . . . . 9 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v .N z) e. N.) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
15		mulclpi 6173	. . . . . . . . 9 |- ((v e. N. /\ z e. N.) -> (v .N z) e. N.)
16	14, 15	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
17	16	anandis 570	. . . . . . 7 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q <-> ((v .N z) .N u) = (1o .N v)))
18		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- ((u .N z) = 1o -> ((u .N z) .N v) = (1o .N v))
19		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
20		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
21		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
22		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- f e. _V
23		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
24	22, 23	mulcompi 6176	. . . . . . . . 9 |- (f .N g) = (g .N f)
25		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- h e. _V
26	23, 25	mulasspi 6177	. . . . . . . . 9 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
27	19, 20, 21, 24, 26	caopr31 4995	. . . . . . . 8 |- ((v .N z) .N u) = ((u .N z) .N v)
28	18, 27	syl5eq 1940	. . . . . . 7 |- ((u .N z) = 1o -> ((v .N z) .N u) = (1o .N v))
29	17, 28	syl5bir 227	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ((u .N z) = 1o -> [<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q ))
30	3	elisseti 2301	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
31		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- (u .N z) e. _V
32	30, 31	ltmpi 6183	. . . . . . . . 9 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z))))
33		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (v .N z) e. _V
34	19, 21, 33, 30	ordpipq 6208	. . . . . . . . . 10 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (u .N (v .N z)))
35	21, 19, 20, 24, 26	caopr12 4994	. . . . . . . . . . 11 |- (u .N (v .N z)) = (v .N (u .N z))
36	35	breq2i 3346	. . . . . . . . . 10 |- ((v .N 1o) <N (u .N (v .N z)) <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
37	34, 36	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q <-> (v .N 1o) <N (v .N (u .N z)))
38	32, 37	syl6bbr 597	. . . . . . . 8 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) <-> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
39	38	biimpd 170	. . . . . . 7 |- (v e. N. -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
40	39	adantr 425	. . . . . 6 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (1o <N (u .N z) -> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
41	29, 40	orim12d 624	. . . . 5 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> (((u .N z) = 1o \/ 1o <N (u .N z)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )))
42	11, 41	mpd 29	. . . 4 |- ((v e. N. /\ (u e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
43	42	an1s 544	. . 3 |- ((u e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
44	43	adantlr 429	. 2 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
45		an42 565	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) <-> ((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)))
46		mulpipq 6207	. . . . . . . . 9 |- ((((w .N v) e. N. /\ 1o e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
47	3, 46	mpanl2 771	. . . . . . . 8 |- (((w .N v) e. N. /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
48		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
49	47, 48	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
50	45, 49	sylbi 216	. . . . . 6 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
51	50	anabsan 562	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q )
52		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
53	52, 33, 30	distrpqlem 6218	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N. /\ 1o e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
54	3, 53	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((w e. N. /\ (v .N z) e. N.) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
55	54, 15	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
56	19, 20	mulasspi 6177	. . . . . . . 8 |- ((w .N v) .N z) = (w .N (v .N z))
57	30, 52	mulcompi 6176	. . . . . . . 8 |- (1o .N w) = (w .N 1o)
58	56, 57	opeq12i 3163	. . . . . . 7 |- <.((w .N v) .N z), (1o .N w)>. = <.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.
59		eceq2 5336	. . . . . . 7 |- (<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>. = <.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>. -> [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q = [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q )
60	58, 59	ax-mp 7	. . . . . 6 |- [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q = [<.(w .N (v .N z)), (w .N 1o)>.] ~Q
61	55, 60	syl5eq 1940	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> [<.((w .N v) .N z), (1o .N w)>.] ~Q = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
62	51, 61	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((w e. N. /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
63	62	adantll 428	. . 3 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )
64		eqeq1 1890	. . . 4 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q <-> [<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q ))
65		breq2 3342	. . . 4 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q -> ([<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <-> [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q ))
66	64, 65	orbi12d 689	. . 3 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), 1o>.] ~Q -> ((([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) <-> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )))
67	63, 66	syl 12	. 2 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) <-> ([<.(v .N z), 1o>.] ~Q = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q [<.(v .N z), 1o>.] ~Q )))
68	44, 67	mpbird 213	1 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338   Or wor 3590  (class class class)co 4884  1oc1o 5172  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   <N clti 6127   ~Q ceq 6130   .Q cmq 6134   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  prlem934 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-ltq 6194

Copyright terms: Public domain