Theorem prlem934 6291

Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
prlem934	|- ((A e. P. /\ B e. Q.) -> E.x(x e. A /\ -. (x +Q B) e. A))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem prlem934

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prpssnq 6246	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> A C. Q.)
2		dfpss3 2695	. . . . . . 7 |- (A C. Q. <-> (A C_ Q. /\ -. Q. C_ A))
3	1, 2	sylib 215	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (A C_ Q. /\ -. Q. C_ A))
4	3	simprd 352	. . . . 5 |- (A e. P. -> -. Q. C_ A)
5	4	adantl 424	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> -. Q. C_ A)
6		df-nq 6190	. . . . . . . . . 10 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- ([<.v, u>.] ~Q = y -> ([<.v, u>.] ~Q e. A <-> y e. A))
8	7	imbi2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ([<.v, u>.] ~Q = y -> ((A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A) <-> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> y e. A)))
9	8	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ([<.v, u>.] ~Q = y -> ((A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)) <-> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> y e. A))))
10		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) = (x +Q B))
11	10	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A <-> (x +Q B) e. A))
12	11	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) <-> (x e. A -> (x +Q B) e. A)))
13	12	albidv 1656	. . . . . . . . . . . 12 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) <-> A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A)))
14	13	imbi1d 675	. . . . . . . . . . 11 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> y e. A) <-> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> y e. A)))
15	14	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> y e. A)) <-> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> y e. A))))
16		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((u e. N. /\ w e. N.) -> w e. N.)
17	16, 16	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((u e. N. /\ w e. N.) -> (w e. N. /\ w e. N.))
18	17	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)))
19		an42 565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((w e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) <-> ((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)))
20	18, 19	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)))
21		mulclpi 6173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
22		enqex 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ~Q e. _V
23		ecexg 5322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ~Q e. _V -> [<.z, w>.] ~Q e. _V)
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- [<.z, w>.] ~Q e. _V
25	24	prlem934a 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((w .N v) e. N. -> ((([<.z, w>.] ~Q e. Q. /\ A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A)) /\ y e. A) -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A))
26	25	exp4c 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((w .N v) e. N. -> ([<.z, w>.] ~Q e. Q. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y e. A -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A))))
27	22, 6	ecopqsi 5351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> [<.z, w>.] ~Q e. Q.)
28	26, 27	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((w .N v) e. N. -> ((z e. N. /\ w e. N.) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y e. A -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A))))
29	21, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> ((z e. N. /\ w e. N.) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y e. A -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A))))
30	29	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y e. A -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A)))
31	20, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y e. A -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A)))
32	31	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (y e. A -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A)))
33	32	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((A e. P. /\ y e. A) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A)))
34		prcdpq 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A e. P. /\ (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A) -> ([<.v, u>.] ~Q <Q (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) -> [<.v, u>.] ~Q e. A))
35		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) e. _V
36		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- y e. _V
37	35, 36	ltaddpq 6231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) e. Q. /\ y e. Q.) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y))
38	22, 6	ecopqsi 5351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((w .N v) e. N. /\ 1o e. N.) -> [<.(w .N v), 1o>.] ~Q e. Q.)
39		1pi 6163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1o e. N.
40	38, 21, 39	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> [<.(w .N v), 1o>.] ~Q e. Q.)
41	40, 27	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((w e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q e. Q. /\ [<.z, w>.] ~Q e. Q.))
42		mulclpq 6212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q e. Q. /\ [<.z, w>.] ~Q e. Q.) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) e. Q.)
43	20, 41, 42	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) e. Q.)
44	37, 43	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) /\ y e. Q.) -> ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y))
45		prlem934b 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
46		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) <-> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
47	46	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
48		ecexg 5322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ~Q e. _V -> [<.v, u>.] ~Q e. _V)
49	22, 48	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- [<.v, u>.] ~Q e. _V
50		ltsopq 6227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- <Q Or Q.
51		ltrelpq 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
52		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) e. _V
53	49, 50, 51, 35, 52	sotri 4315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (([<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) /\ ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y))
54	53	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ([<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
55	47, 54	jaoi 368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.v, u>.] ~Q \/ [<.v, u>.] ~Q <Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
56	45, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) /\ y e. Q.) -> (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y)))
58	44, 57	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) /\ y e. Q.) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y))
59	35, 36	addcompq 6214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) +Q y) = (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ))
60	58, 59	syl6breq 3376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) /\ y e. Q.) -> [<.v, u>.] ~Q <Q (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
61	34, 60	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ (y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A) -> ((((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) /\ y e. Q.) -> [<.v, u>.] ~Q e. A))
62	61	exp4b 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A e. P. -> ((y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A -> (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (y e. Q. -> [<.v, u>.] ~Q e. A))))
63	62	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A e. P. -> (y e. Q. -> (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A -> [<.v, u>.] ~Q e. A))))
64		elprpq 6247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> y e. Q.)
65	63, 64	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A e. P. -> ((A e. P. /\ y e. A) -> (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A -> [<.v, u>.] ~Q e. A))))
66	65	anabsi5 553	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ y e. A) -> (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
67	66	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((A e. P. /\ y e. A) -> ((y +Q ([<.(w .N v), 1o>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) e. A -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
68	33, 67	syldd 61	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> ((A e. P. /\ y e. A) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
69	68	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (E.y(A e. P. /\ y e. A) -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
70		prn0 6245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. P. -> A =/= (/))
71		n0 2884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
72	70, 71	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. P. -> E.y y e. A)
73	72	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. P. -> (A e. P. /\ E.y y e. A))
74		19.42v 1688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.y(A e. P. /\ y e. A) <-> (A e. P. /\ E.y y e. A))
75	73, 74	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. P. -> E.y(A e. P. /\ y e. A))
76	69, 75	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (((u e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ z e. N.)) -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
77	76	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- (((v e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ w e. N.)) -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
78	77	an4s 566	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q [<.z, w>.] ~Q ) e. A) -> [<.v, u>.] ~Q e. A)))
79	6, 9, 15, 78	2ecoptocl 5363	. . . . . . . . 9 |- ((y e. Q. /\ B e. Q.) -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> y e. A)))
80	79	ex 402	. . . . . . . 8 |- (y e. Q. -> (B e. Q. -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> y e. A))))
81	80	com4l 43	. . . . . . 7 |- (B e. Q. -> (A e. P. -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> (y e. Q. -> y e. A))))
82	81	imp 377	. . . . . 6 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> (y e. Q. -> y e. A)))
83	82	19.21adv 1666	. . . . 5 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> A.y(y e. Q. -> y e. A)))
84		dfss2 2610	. . . . 5 |- (Q. C_ A <-> A.y(y e. Q. -> y e. A))
85	83, 84	syl6ibr 230	. . . 4 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> (A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A) -> Q. C_ A))
86	5, 85	mtod 123	. . 3 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> -. A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A))
87		exanali 1390	. . 3 |- (E.x(x e. A /\ -. (x +Q B) e. A) <-> -. A.x(x e. A -> (x +Q B) e. A))
88	86, 87	sylibr 217	. 2 |- ((B e. Q. /\ A e. P.) -> E.x(x e. A /\ -. (x +Q B) e. A))
89	88	ancoms 484	1 |- ((A e. P. /\ B e. Q.) -> E.x(x e. A /\ -. (x +Q B) e. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  1oc1o 5172  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   .Q cmq 6134   <Q cltq 6136  P.cnp 6137

This theorem is referenced by:  ltaddpr 6292  ltexprlem7 6300  prlem936 6307

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238

Copyright terms: Public domain