Theorem pridlc3 16221

Description: Property of a prime ideal in a commutative ring.

Hypotheses

Ref	Expression
ispridlc.1	|- G = (1st` R)
ispridlc.2	|- H = (2nd` R)
ispridlc.3	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
pridlc3	|- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> (AHB) e. (X \ P))

Proof of Theorem pridlc3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2609	. 2 |- ((AHB) e. (X \ P) <-> ((AHB) e. X /\ -. (AHB) e. P))
2		ispridlc.1	. . . . . 6 |- G = (1st` R)
3		ispridlc.2	. . . . . 6 |- H = (2nd` R)
4		ispridlc.3	. . . . . 6 |- X = ran G
5	2, 3, 4	ringcl 9468	. . . . 5 |- ((R e. Ring /\ A e. X /\ B e. X) -> (AHB) e. X)
6	5	3expb 1068	. . . 4 |- ((R e. Ring /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AHB) e. X)
7		crngrng 16148	. . . 4 |- (R e. CRing -> R e. Ring)
8		eldifi 2730	. . . . 5 |- (A e. (X \ P) -> A e. X)
9		eldifi 2730	. . . . 5 |- (B e. (X \ P) -> B e. X)
10	8, 9	anim12i 360	. . . 4 |- ((A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P)) -> (A e. X /\ B e. X))
11	6, 7, 10	syl2an 503	. . 3 |- ((R e. CRing /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> (AHB) e. X)
12	11	adantlr 429	. 2 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> (AHB) e. X)
13		eldifn 2731	. . . 4 |- (B e. (X \ P) -> -. B e. P)
14	13	ad2antll 443	. . 3 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> -. B e. P)
15	2, 3, 4	pridlc2 16220	. . . . . . 7 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. X /\ (AHB) e. P)) -> B e. P)
16	15	3exp2 1086	. . . . . 6 |- ((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) -> (A e. (X \ P) -> (B e. X -> ((AHB) e. P -> B e. P))))
17	16	imp32 390	. . . . 5 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. X)) -> ((AHB) e. P -> B e. P))
18	17	con3d 111	. . . 4 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. X)) -> (-. B e. P -> -. (AHB) e. P))
19	18, 9	sylanr2 512	. . 3 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> (-. B e. P -> -. (AHB) e. P))
20	14, 19	mpd 29	. 2 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> -. (AHB) e. P)
21	1, 12, 20	sylanbrc 527	1 |- (((R e. CRing /\ P e. (PrIdl` R)) /\ (A e. (X \ P) /\ B e. (X \ P))) -> (AHB) e. (X \ P))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  Ringcring 9463  CRingccring 16143  PrIdlcpridl 16156

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-ring 9464  df-ass 10360  df-exid 10362  df-mgm 10366  df-sgr 10378  df-mnd 10385  df-com2 10395  df-cring 16144  df-idl 16158  df-pridl 16159  df-igen 16208

Copyright terms: Public domain