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Theorem pridl 30596
Description: The main property of a prime ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Hypothesis
Ref Expression
pridl.1  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
Assertion
Ref Expression
pridl  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, P, y    x, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    A( y)    H( x, y)

Proof of Theorem pridl
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 1st `  R )  =  ( 1st `  R )
2 pridl.1 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
3 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ran  ( 1st `  R )  =  ran  ( 1st `  R
)
41, 2, 3ispridl 30593 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
5 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
)  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )  <-> 
( ( P  e.  ( Idl `  R
)  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R
) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( P  e.  ( PrIdl `  R )  <->  ( ( P  e.  ( Idl `  R )  /\  P  =/=  ran  ( 1st `  R ) )  /\  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) ) )
76simplbda 624 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  A. a  e.  ( Idl `  R
) A. b  e.  ( Idl `  R
) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
8 raleq 3054 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. x  e.  a  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P ) )
9 sseq1 3520 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  P  <->  A  C_  P
) )
109orbi1d 702 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) )
118, 10imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( A. x  e.  a  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) ) ) )
12 raleq 3054 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
1312ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  b 
( x H y )  e.  P  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P ) )
14 sseq1 3520 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  C_  P  <->  B  C_  P
) )
1514orbi2d 701 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  C_  P  \/  b  C_  P )  <-> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) )
1613, 15imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( A. x  e.  A  A. y  e.  b  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  b  C_  P ) )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1711, 16rspc2v 3219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. a  e.  ( Idl `  R ) A. b  e.  ( Idl `  R ) ( A. x  e.  a  A. y  e.  b  (
x H y )  e.  P  ->  (
a  C_  P  \/  b  C_  P ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
187, 17syl5com 30 . . 3  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x H y )  e.  P  -> 
( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) )
1918expd 436 . 2  |-  ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R )
)  ->  ( A  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( B  e.  ( Idl `  R
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P ) ) ) ) )
20193imp2 1211 1  |-  ( ( ( R  e.  RingOps  /\  P  e.  ( PrIdl `  R ) )  /\  ( A  e.  ( Idl `  R )  /\  B  e.  ( Idl `  R )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x H y )  e.  P ) )  ->  ( A  C_  P  \/  B  C_  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    C_ wss 3471   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   RingOpscrngo 25503   Idlcidl 30566   PrIdlcpridl 30567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-pridl 30570
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