Theorem prfv2OLD 15679

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Moved to fvpr2 4760 in main set.mm and may be deleted by mathbox owner, JM. --NM 3-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
prf.1	|- A e. _V
prf.2	|- B e. _V
prf.3	|- C e. _V
prf.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
prfv2OLD	|- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) = D)

Proof of Theorem prfv2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prf.1	. . 3 |- A e. _V
2		prf.2	. . 3 |- B e. _V
3		prf.3	. . 3 |- C e. _V
4		prf.4	. . 3 |- D e. _V
5	1, 2, 3, 4	funpr 4467	. 2 |- (A =/= B -> Fun {<.A, C>., <.B, D>.})
6		opex 3527	. . . 4 |- <.B, D>. e. _V
7	6	prid2 3107	. . 3 |- <.B, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.}
8	4	funopfv 4710	. . 3 |- (Fun {<.A, C>., <.B, D>.} -> (<.B, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) = D))
9	7, 8	mpi 55	. 2 |- (Fun {<.A, C>., <.B, D>.} -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) = D)
10	5, 9	syl 12	1 |- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  {cpr 3045  <.cop 3046  Fun wfun 3992  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain