Theorem prfOLD 15680

Description: A function with a domain of two elements. (Moved to fpr 4810 in main set.mm and may be deleted by mathbox owner, JM. --NM 3-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
prf.1	|- A e. _V
prf.2	|- B e. _V
prf.3	|- C e. _V
prf.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
prfOLD	|- (A =/= B -> {<.A, C>., <.B, D>.}:{A, B}-->{C, D})

Proof of Theorem prfOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffnfv 4801	. 2 |- ({<.A, C>., <.B, D>.}:{A, B}-->{C, D} <-> ({<.A, C>., <.B, D>.} Fn {A, B} /\ A.x e. {A, B} ({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D}))
2		df-fn 4009	. . 3 |- ({<.A, C>., <.B, D>.} Fn {A, B} <-> (Fun {<.A, C>., <.B, D>.} /\ dom {<.A, C>., <.B, D>.} = {A, B}))
3		prf.1	. . . 4 |- A e. _V
4		prf.2	. . . 4 |- B e. _V
5		prf.3	. . . 4 |- C e. _V
6		prf.4	. . . 4 |- D e. _V
7	3, 4, 5, 6	funpr 4467	. . 3 |- (A =/= B -> Fun {<.A, C>., <.B, D>.})
8		opex 3527	. . . . . . . . . 10 |- <.x, y>. e. _V
9	8	elpr 3061	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} <-> (<.x, y>. = <.A, C>. \/ <.x, y>. = <.B, D>.))
10		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
11	10	opth1 3531	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.A, C>. -> x = A)
12	10	opth1 3531	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.B, D>. -> x = B)
13	11, 12	orim12i 363	. . . . . . . . 9 |- ((<.x, y>. = <.A, C>. \/ <.x, y>. = <.B, D>.) -> (x = A \/ x = B))
14	9, 13	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} -> (x = A \/ x = B))
15	14	19.23aiv 1674	. . . . . . 7 |- (E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} -> (x = A \/ x = B))
16		opeq1 3158	. . . . . . . . . 10 |- (x = A -> <.x, C>. = <.A, C>.)
17		opex 3527	. . . . . . . . . . 11 |- <.A, C>. e. _V
18	17	prid1 3106	. . . . . . . . . 10 |- <.A, C>. e. {<.A, C>., <.B, D>.}
19	16, 18	syl6eqel 1979	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> <.x, C>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
20		opeq2 3159	. . . . . . . . . . 11 |- (y = C -> <.x, y>. = <.x, C>.)
21	20	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (y = C -> (<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} <-> <.x, C>. e. {<.A, C>., <.B, D>.}))
22	5, 21	cla4ev 2371	. . . . . . . . 9 |- (<.x, C>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} -> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
23	19, 22	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x = A -> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
24		opeq1 3158	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> <.x, D>. = <.B, D>.)
25		opex 3527	. . . . . . . . . . 11 |- <.B, D>. e. _V
26	25	prid2 3107	. . . . . . . . . 10 |- <.B, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.}
27	24, 26	syl6eqel 1979	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> <.x, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
28		opeq2 3159	. . . . . . . . . . 11 |- (y = D -> <.x, y>. = <.x, D>.)
29	28	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (y = D -> (<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} <-> <.x, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.}))
30	6, 29	cla4ev 2371	. . . . . . . . 9 |- (<.x, D>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} -> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
31	27, 30	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x = B -> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
32	23, 31	jaoi 368	. . . . . . 7 |- ((x = A \/ x = B) -> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
33	15, 32	impbii 174	. . . . . 6 |- (E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.} <-> (x = A \/ x = B))
34	10	eldm2 4154	. . . . . 6 |- (x e. dom {<.A, C>., <.B, D>.} <-> E.y<.x, y>. e. {<.A, C>., <.B, D>.})
35	10	elpr 3061	. . . . . 6 |- (x e. {A, B} <-> (x = A \/ x = B))
36	33, 34, 35	3bitr4i 200	. . . . 5 |- (x e. dom {<.A, C>., <.B, D>.} <-> x e. {A, B})
37	36	eqriv 1881	. . . 4 |- dom {<.A, C>., <.B, D>.} = {A, B}
38	37	a1i 8	. . 3 |- (A =/= B -> dom {<.A, C>., <.B, D>.} = {A, B})
39	2, 7, 38	sylanbrc 527	. 2 |- (A =/= B -> {<.A, C>., <.B, D>.} Fn {A, B})
40	3, 4	ralpr 3079	. . 3 |- (A.x e. {A, B} ({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} <-> ([A / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} /\ [B / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D}))
41	3, 4, 5, 6	fvpr1 4759	. . . . 5 |- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` A) = C)
42	5	prid1 3106	. . . . 5 |- C e. {C, D}
43	41, 42	syl6eqel 1979	. . . 4 |- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` A) e. {C, D})
44		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (x = A -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` x) = ({<.A, C>., <.B, D>.}` A))
45	44	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = A -> (({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} <-> ({<.A, C>., <.B, D>.}` A) e. {C, D}))
46	3, 45	sbcie 2485	. . . 4 |- ([A / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} <-> ({<.A, C>., <.B, D>.}` A) e. {C, D})
47	43, 46	sylibr 217	. . 3 |- (A =/= B -> [A / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D})
48	3, 4, 5, 6	fvpr2 4760	. . . . 5 |- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) = D)
49	6	prid2 3107	. . . . 5 |- D e. {C, D}
50	48, 49	syl6eqel 1979	. . . 4 |- (A =/= B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) e. {C, D})
51		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (x = B -> ({<.A, C>., <.B, D>.}` x) = ({<.A, C>., <.B, D>.}` B))
52	51	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = B -> (({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} <-> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) e. {C, D}))
53	4, 52	sbcie 2485	. . . 4 |- ([B / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D} <-> ({<.A, C>., <.B, D>.}` B) e. {C, D})
54	50, 53	sylibr 217	. . 3 |- (A =/= B -> [B / x]({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D})
55	40, 47, 54	sylanbrc 527	. 2 |- (A =/= B -> A.x e. {A, B} ({<.A, C>., <.B, D>.}` x) e. {C, D})
56	1, 39, 55	sylanbrc 527	1 |- (A =/= B -> {<.A, C>., <.B, D>.}:{A, B}-->{C, D})

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534   =/= wne 2017  A.wral 2105  _Vcvv 2292  {cpr 3045  <.cop 3046  dom cdm 3986  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014

Copyright terms: Public domain