Theorem prex 3526

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51. By virtue of its definition, an unordered pair remains a set (even though no longer a pair) even when its components are proper classes (see prprc 3110), so we can dispense with hypotheses requiring them to be sets.

Assertion

Ref	Expression
prex	|- {A, B} e. _V

Proof of Theorem prex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 3098	. . . . 5 |- (x = A -> {x, B} = {A, B})
2	1	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = A -> ({x, B} e. _V <-> {A, B} e. _V))
3		preq2 3099	. . . . . 6 |- (y = B -> {x, y} = {x, B})
4	3	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (y = B -> ({x, y} e. _V <-> {x, B} e. _V))
5		zfpair2 3525	. . . . 5 |- {x, y} e. _V
6	4, 5	vtoclg 2346	. . . 4 |- (B e. _V -> {x, B} e. _V)
7	2, 6	syl5bi 225	. . 3 |- (x = A -> (B e. _V -> {A, B} e. _V))
8	7	vtocleg 2355	. 2 |- (A e. _V -> (B e. _V -> {A, B} e. _V))
9		prprc1 3108	. . 3 |- (-. A e. _V -> {A, B} = {B})
10		snex 3492	. . 3 |- {B} e. _V
11	9, 10	syl6eqel 1979	. 2 |- (-. A e. _V -> {A, B} e. _V)
12		prprc2 3109	. . 3 |- (-. B e. _V -> {A, B} = {A})
13		snex 3492	. . 3 |- {A} e. _V
14	12, 13	syl6eqel 1979	. 2 |- (-. B e. _V -> {A, B} e. _V)
15	8, 11, 14	pm2.61nii 145	1 |- {A, B} e. _V

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {csn 3044  {cpr 3045

This theorem is referenced by:  opex 3527  opi2 3530  opth 3532  opeqsn 3549  opeqpr 3550  opthwiener 3554  uniop 3555  unex 3796  tpex 3804  op1stb 3857  xpsspw 4093  relop 4113  opthreg 5709  rankop 5804  aceq6b 5904  xrex 6659  unctb 8846  indistop 8918  spwpr4 10006  spwpr4OLD 10007  spwpr4aOLD 10008  altopex 14086  altopth1sn 14090  altopth2sn 14091  altxpsspw 14100  unpde2eg22 14407  set2elt 14408  cbcpcp 14504  nfwpr4c 14630  cnfilca 14927  extopgrp 14980  cntrsetlem 14999  tarunpa 15235  divrngmclNEW 17164  invrcl 17171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050

Copyright terms: Public domain