Theorem preoref22 14570

Description: A preset is reflexive.

Hypothesis

Ref	Expression
preoref12.1	|- X = dom R

Assertion

Ref	Expression
preoref22	|- ((R e. Preset /\ A e. X) -> ARA)

Proof of Theorem preoref22

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preodom2 14567	. . 3 |- (R e. Preset -> dom R = U.U.R)
2		preoref12.1	. . . 4 |- X = dom R
3	2	preoref12 14569	. . 3 |- (R e. Preset -> ( _I |` X) C_ R)
4		eqtr 1904	. . . . 5 |- ((X = dom R /\ dom R = U.U.R) -> X = U.U.R)
5		ref4w 14370	. . . . . . 7 |- (A.x e. U.U.RxRx <-> ( _I |` U.U.R) C_ R)
6		breq12 3343	. . . . . . . . . 10 |- ((x = A /\ x = A) -> (xRx <-> ARA))
7	6	anidms 480	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (xRx <-> ARA))
8	7	rcla4va 2378	. . . . . . . 8 |- ((A e. U.U.R /\ A.x e. U.U.RxRx) -> ARA)
9	8	expcom 403	. . . . . . 7 |- (A.x e. U.U.RxRx -> (A e. U.U.R -> ARA))
10	5, 9	sylbir 218	. . . . . 6 |- (( _I |` U.U.R) C_ R -> (A e. U.U.R -> ARA))
11		reseq2 4219	. . . . . . . 8 |- (X = U.U.R -> ( _I |` X) = ( _I |` U.U.R))
12	11	sseq1d 2644	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> (( _I |` X) C_ R <-> ( _I |` U.U.R) C_ R))
13		eleq2 1958	. . . . . . . 8 |- (X = U.U.R -> (A e. X <-> A e. U.U.R))
14	13	imbi1d 675	. . . . . . 7 |- (X = U.U.R -> ((A e. X -> ARA) <-> (A e. U.U.R -> ARA)))
15	12, 14	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (X = U.U.R -> ((( _I |` X) C_ R -> (A e. X -> ARA)) <-> (( _I |` U.U.R) C_ R -> (A e. U.U.R -> ARA))))
16	10, 15	mpbiri 211	. . . . 5 |- (X = U.U.R -> (( _I |` X) C_ R -> (A e. X -> ARA)))
17	4, 16	syl 12	. . . 4 |- ((X = dom R /\ dom R = U.U.R) -> (( _I |` X) C_ R -> (A e. X -> ARA)))
18	2, 17	mpan 759	. . 3 |- (dom R = U.U.R -> (( _I |` X) C_ R -> (A e. X -> ARA)))
19	1, 3, 18	sylc 83	. 2 |- (R e. Preset -> (A e. X -> ARA))
20	19	imp 377	1 |- ((R e. Preset /\ A e. X) -> ARA)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582  dom cdm 3986   |` cres 3988   Preset cpreset 14555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-prs 14563

Copyright terms: Public domain