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Theorem preduz 25414
Description: The value of the predecessor class over an upper integer set. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
preduz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  Pred (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )

Proof of Theorem preduz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
21elpred 25391 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  Pred (  <  , 
( ZZ>= `  M ) ,  N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  <  N ) ) )
3 eluzelz 10452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  x  e.  ZZ )
4 eluzelz 10452 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
5 zltlem1 10284 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( x  <  N  <->  x  <_  ( N  - 
1 ) ) )
63, 4, 5syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( x  <  N  <->  x  <_  ( N  -  1 ) ) )
76pm5.32da 623 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  <  N )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
8 eluzel2 10449 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
9 eluz1 10448 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) ) )
1110anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
127, 11bitrd 245 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
x  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  <  N )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
132, 12bitrd 245 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  Pred (  <  , 
( ZZ>= `  M ) ,  N )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  - 
1 ) ) ) )
14 peano2zm 10276 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
168, 15jca 519 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
1716biantrurd 495 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) )  <-> 
( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  (
( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
1813, 17bitrd 245 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  Pred (  <  , 
( ZZ>= `  M ) ,  N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
19 elfz2 11006 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
20 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ ) )
2120anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
22 anass 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
23 anass 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
2423anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) ) )
2522, 24bitr4i 244 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  x  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  x  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
2619, 21, 253bitri 263 . . 3  |-  ( x  e.  ( M ... ( N  -  1
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  <_  x )  /\  x  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
2718, 26syl6bbr 255 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( x  e.  Pred (  <  , 
( ZZ>= `  M ) ,  N )  <->  x  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
2827eqrdv 2402 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  Pred (  <  ,  ( ZZ>= `  M
) ,  N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   Predcpred 25381
This theorem is referenced by:  prednn  25415  prednn0  25416  uzsinds  25430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-pred 25382
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