Theorem predpoirr 13908

Description: Given a partial ordering, X is not a member of its predecessor class.

Assertion

Ref	Expression
predpoirr	|- (R Po A -> -. X e. Pred(R, A, X))

Proof of Theorem predpoirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpredg 13889	. . . . . . 7 |- ((X e. A /\ X e. A) -> (X e. Pred(R, A, X) <-> XRX))
2	1	anidms 480	. . . . . 6 |- (X e. A -> (X e. Pred(R, A, X) <-> XRX))
3	2	notbid 673	. . . . 5 |- (X e. A -> (-. X e. Pred(R, A, X) <-> -. XRX))
4		poirr 3597	. . . . 5 |- ((R Po A /\ X e. A) -> -. XRX)
5	3, 4	syl5bir 227	. . . 4 |- (X e. A -> ((R Po A /\ X e. A) -> -. X e. Pred(R, A, X)))
6	5	exp3a 405	. . 3 |- (X e. A -> (R Po A -> (X e. A -> -. X e. Pred(R, A, X))))
7	6	pm2.43b 81	. 2 |- (R Po A -> (X e. A -> -. X e. Pred(R, A, X)))
8		predel 13894	. . 3 |- (X e. Pred(R, A, X) -> X e. A)
9	8	con3i 114	. 2 |- (-. X e. A -> -. X e. Pred(R, A, X))
10	7, 9	pm2.61d1 142	1 |- (R Po A -> -. X e. Pred(R, A, X))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338   Po wpo 3589  Predcpred 13879

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-po 3591  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-pred 13880

Copyright terms: Public domain