Theorem predfrirr 27779

Description: Given a well-founded relationship, X is not a member of its predecessor class. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
predfrirr	|- ( R Fr A -> -. X e. Pred ( R , A , X ) )

Proof of Theorem predfrirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frirr 4781	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ X e. A ) -> -. X R X )
2		elpredg 27759	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ X e. A ) -> ( X e. Pred ( R , A , X ) <-> X R X ) )
3	2	anidms 645	. . . . . 6 |- ( X e. A -> ( X e. Pred ( R , A , X ) <-> X R X ) )
4	3	notbid 294	. . . . 5 |- ( X e. A -> ( -. X e. Pred ( R , A , X ) <-> -. X R X ) )
5	1, 4	syl5ibr 221	. . . 4 |- ( X e. A -> ( ( R Fr A /\ X e. A ) -> -. X e. Pred ( R , A , X ) ) )
6	5	expd 436	. . 3 |- ( X e. A -> ( R Fr A -> ( X e. A -> -. X e. Pred ( R , A , X ) ) ) )
7	6	pm2.43b 50	. 2 |- ( R Fr A -> ( X e. A -> -. X e. Pred ( R , A , X ) ) )
8		predel 27764	. . 3 |- ( X e. Pred ( R , A , X ) -> X e. A )
9	8	con3i 135	. 2 |- ( -. X e. A -> -. X e. Pred ( R , A , X ) )
10	7, 9	pm2.61d1 159	1 |- ( R Fr A -> -. X e. Pred ( R , A , X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1757   class class class wbr 4376   Fr wfr 4760   Predcpred 27744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pr 4615

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-br 4377  df-opab 4435  df-fr 4763  df-xp 4930  df-cnv 4932  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-pred 27745

This theorem is referenced by:  wfrlem14  27857