Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preddowncl Structured version   Unicode version

Theorem preddowncl 27662
Description: A property of classes that are downward closed under predecessor. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
preddowncl  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  X )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R
Allowed substitution hint:    X( x)

Proof of Theorem preddowncl
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  (
y  e.  B  <->  X  e.  B ) )
2 predeq3 27634 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  Pred ( R ,  B , 
y )  =  Pred ( R ,  B ,  X ) )
3 predeq3 27634 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
42, 3eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  ( Pred ( R ,  B ,  y )  = 
Pred ( R ,  A ,  y )  <->  Pred ( R ,  B ,  X )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
51, 4imbi12d 320 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  (
( y  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  y )  =  Pred ( R ,  A ,  y )
)  <->  ( X  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  X  ->  (
( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B )  ->  (
y  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  y )  = 
Pred ( R ,  A ,  y )
) )  <->  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  X )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) ) ) )
7 predpredss 27636 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  Pred ( R ,  B , 
y )  C_  Pred ( R ,  A , 
y ) )
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  /\  y  e.  B )  ->  Pred ( R ,  B , 
y )  C_  Pred ( R ,  A , 
y ) )
9 predeq3 27634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  Pred ( R ,  A ,  x )  =  Pred ( R ,  A , 
y ) )
109sseq1d 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  <->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B ) )
1110rspccva 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B )
1211sseld 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  B ) )
13 vex 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
1413elpredim 27642 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  y )  ->  z R y )
1514a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  y )  ->  z R y ) )
1612, 15jcad 533 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  y )  ->  ( z  e.  B  /\  z R y ) ) )
17 vex 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
1817elpred 27643 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  B , 
y )  <->  ( z  e.  B  /\  z R y ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A , 
y )  ->  z  e.  Pred ( R ,  B ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  y )  ->  ( z  e.  B  /\  z R y ) ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  Pred ( R ,  A , 
y )  ->  z  e.  Pred ( R ,  B ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  y )  ->  ( z  e.  B  /\  z R y ) ) ) )
2116, 20mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  Pred ( R ,  B , 
y ) ) )
2221ssrdv 3367 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B  /\  y  e.  B
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  B ,  y ) )
2322adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  /\  y  e.  B )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  B , 
y ) )
248, 23eqssd 3378 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  /\  y  e.  B )  ->  Pred ( R ,  B , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
y ) )
2524ex 434 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  ->  ( y  e.  B  ->  Pred ( R ,  B , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
y ) ) )
266, 25vtoclg 3035 . 2  |-  ( X  e.  B  ->  (
( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  X )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) ) )
2726pm2.43b 50 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  Pred ( R ,  A ,  x )  C_  B
)  ->  ( X  e.  B  ->  Pred ( R ,  B ,  X )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    C_ wss 3333   class class class wbr 4297   Predcpred 27629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 27630
This theorem is referenced by:  wfrlem4  27732  frrlem4  27776
  Copyright terms: Public domain W3C validator