Theorem predbr 13896

Description: If a set is in the predecessor class, then it is less than the base element.

Hypotheses

Ref	Expression
predbr.1	|- X e. _V
predbr.2	|- Y e. _V

Assertion

Ref	Expression
predbr	|- (Y e. Pred(R, A, X) -> YRX)

Proof of Theorem predbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		predbr.1	. . . 4 |- X e. _V
2		predbr.2	. . . . 5 |- Y e. _V
3	2	elpred 13888	. . . 4 |- (X e. _V -> (Y e. Pred(R, A, X) <-> (Y e. A /\ YRX)))
4	1, 3	ax-mp 7	. . 3 |- (Y e. Pred(R, A, X) <-> (Y e. A /\ YRX))
5	4	biimpi 168	. 2 |- (Y e. Pred(R, A, X) -> (Y e. A /\ YRX))
6	5	simprd 352	1 |- (Y e. Pred(R, A, X) -> YRX)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  Predcpred 13879

This theorem is referenced by:  predbrg 13897  preddowncl 13907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-pred 13880

Copyright terms: Public domain