Theorem pre-axsup 6444

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 25 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version with ordering on extended reals is axsup 6676.

Assertion

Ref	Expression
pre-axsup	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem pre-axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
2	1	imim1d 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A C_ RR -> ((y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) -> (y e. A -> (y e. A -> -. x <R y))))
3		pm2.43 77	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. A -> (y e. A -> -. x <R y)) -> (y e. A -> -. x <R y))
4	2, 3	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ RR -> ((y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) -> (y e. A -> -. x <R y)))
5	4	alimdv 1668	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) -> A.y(y e. A -> -. x <R y)))
6		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y e. A -. x <R y <-> A.y(y e. A -> -. x <R y))
7	5, 6	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) -> A.y e. A -. x <R y))
8		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)) -> (z e. A /\ y <R z))
9	8	eximi 1387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)) -> E.z(z e. A /\ y <R z))
10		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.z e. A y <R z <-> E.z(z e. A /\ y <R z))
11	9, 10	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)) -> E.z e. A y <R z)
12	11	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))) -> (y <R x -> E.z e. A y <R z))
13	12	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))) -> (y e. RR -> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
14	13	alimi 1338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))) -> A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
15		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z) <-> A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
16	14, 15	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))) -> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))
17	16	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))) -> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
18	7, 17	anim12d 617	. . . . . . . . . . 11 |- (A C_ RR -> ((A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) -> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
19		jcab 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) <-> ((y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ (y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))))
20	19	albii 1346	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) <-> A.y((y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ (y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))))
21		19.26 1416	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y((y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ (y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) <-> (A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))))
22	20, 21	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) <-> (A.y(y e. RR -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. RR -> (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))))
23	18, 22	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> (A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z))))) -> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
24	23	anim2d 620	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> ((x e. RR /\ A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))))) -> (x e. RR /\ (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
25	24	eximdv 1669	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> (E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))))) -> E.x(x e. RR /\ (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
26		df-rex 2110	. . . . . . . 8 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)) <-> E.x(x e. RR /\ (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
27	25, 26	syl6ibr 230	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))))) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
28	27	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ -. A = (/)) -> (E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))))) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
29		opeq1 3158	. . . . . . . . 9 |- (v = w -> <.v, 0R>. = <.w, 0R>.)
30	29	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (<.v, 0R>. e. A <-> <.w, 0R>. e. A))
31	30	cbvabv 2420	. . . . . . 7 |- {v | <.v, 0R>. e. A} = {w | <.w, 0R>. e. A}
32	31	supre 6412	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. RR /\ (z e. A /\ y <R z)))))))
33	28, 32	syl5 20	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ -. A = (/)) -> (((A C_ RR /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
34	33	anabsi5 553	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ -. A = (/)) /\ E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
35		df-rex 2110	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A y <R x <-> E.x(x e. RR /\ A.y e. A y <R x))
36		df-ral 2109	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x <-> A.y(y e. A -> y <R x))
37		ax-1 4	. . . . . . . . 9 |- ((y e. A -> y <R x) -> (y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))
38	37	alimi 1338	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. A -> y <R x) -> A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))
39	36, 38	sylbi 216	. . . . . . 7 |- (A.y e. A y <R x -> A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x)))
40	39	anim2i 362	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ A.y e. A y <R x) -> (x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x))))
41	40	eximi 1387	. . . . 5 |- (E.x(x e. RR /\ A.y e. A y <R x) -> E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x))))
42	35, 41	sylbi 216	. . . 4 |- (E.x e. RR A.y e. A y <R x -> E.x(x e. RR /\ A.y(y e. RR -> (y e. A -> y <R x))))
43	34, 42	sylan2 500	. . 3 |- (((A C_ RR /\ -. A = (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
44		df-ne 2019	. . . 4 |- (A =/= (/) <-> -. A = (/))
45	44	anbi2i 538	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) <-> (A C_ RR /\ -. A = (/)))
46	43, 45	sylanb 498	. 2 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
47	46	3impa 1062	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875  <.cop 3046   class class class wbr 3338  0Rc0r 6146  RRcr 6385   <R cltrr 6390

This theorem is referenced by:  axsup 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-r 6396  df-lt 6399

Copyright terms: Public domain