Theorem pre-axmulgt0 6443

Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 24 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 6675.

Assertion

Ref	Expression
pre-axmulgt0	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Proof of Theorem pre-axmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6402	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 6402	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		breq2 3342	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R <.x, 0R>. <-> 0 <R A))
4	3	anbi1d 679	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.)))
5		opreq1 4889	. . . 4 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = (A x. <.y, 0R>.))
6	5	breq2d 3350	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)))
7	4, 6	imbi12d 688	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> (((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.))))
8		breq2 3342	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R <.y, 0R>. <-> 0 <R B))
9	8	anbi2d 678	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> ((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) <-> (0 <R A /\ 0 <R B)))
10		opreq2 4890	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = B -> (A x. <.y, 0R>.) = (A x. B))
11	10	breq2d 3350	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (0 <R (A x. <.y, 0R>.) <-> 0 <R (A x. B)))
12	9, 11	imbi12d 688	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> (((0 <R A /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (A x. <.y, 0R>.)) <-> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B))))
13		df-0 6393	. . . . . 6 |- 0 = <.0R, 0R>.
14	13	a1i 8	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> 0 = <.0R, 0R>.)
15		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
16	15	mulresr 6409	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) = <.(x .R y), 0R>.)
17	14, 16	breq12d 3351	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> <.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>.))
18		0r 6341	. . . . . 6 |- 0R e. R.
19	18	elisseti 2301	. . . . 5 |- 0R e. _V
20		oprex 4907	. . . . 5 |- (x .R y) e. _V
21	19, 20	ltresr 6410	. . . 4 |- (<.0R, 0R>. <R <.(x .R y), 0R>. <-> 0R <R (x .R y))
22	17, 21	syl6bb 595	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.) <-> 0R <R (x .R y)))
23		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
24	23, 15	mulgt0sr 6366	. . . 4 |- ((0R <R x /\ 0R <R y) -> 0R <R (x .R y))
25	13	breq1i 3345	. . . . 5 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.x, 0R>.)
26	19, 23	ltresr 6410	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
27	25, 26	bitri 190	. . . 4 |- (0 <R <.x, 0R>. <-> 0R <R x)
28	13	breq1i 3345	. . . . 5 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> <.0R, 0R>. <R <.y, 0R>.)
29	19, 15	ltresr 6410	. . . . 5 |- (<.0R, 0R>. <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
30	28, 29	bitri 190	. . . 4 |- (0 <R <.y, 0R>. <-> 0R <R y)
31	24, 27, 30	syl2anb 504	. . 3 |- ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0R <R (x .R y))
32	22, 31	syl5bir 227	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((0 <R <.x, 0R>. /\ 0 <R <.y, 0R>.) -> 0 <R (<.x, 0R>. x. <.y, 0R>.)))
33	1, 2, 7, 12, 32	2gencl 2319	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 <R A /\ 0 <R B) -> 0 <R (A x. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  R.cnr 6145  0Rc0r 6146   .R cmr 6150   <R cltr 6151  RRcr 6385  0cc0 6386   <R cltrr 6390   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  axmulgt0 6675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-r 6396  df-mul 6398  df-lt 6399

Copyright terms: Public domain