Theorem pre-axlttrn 5353

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom 22 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axlttrn 5569.

Assertion

Ref	Expression
pre-axlttrn	|- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))

Proof of Theorem pre-axlttrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsor 5326	. . 3 |- ( <R Or RR /\ RR = RR)
2	1	pm3.26i 327	. 2 |- <R Or RR
3		sotr 2912	. 2 |- (( <R Or RR /\ (A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR)) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))
4	2, 3	mpan 707	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> ((A <R B /\ B <R C) -> A <R C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999   class class class wbr 2674   Or wor 2895  RRcr 5298   <R cltrr 5303

This theorem is referenced by:  axlttrn 5569

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-ltp 5155  df-enr 5231  df-nr 5232  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-r 5309  df-lt 5312

Copyright terms: Public domain