Theorem prdsxmslem2 21622

Description: Lemma for prdsxms 21623. The topology generated by the supremum metric is the same as the product topology, when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsxms.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsxms.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsxms.i	|- ( ph -> I e. Fin )
prdsxms.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsxms.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsxms.r	|- ( ph -> R : I --> *MetSp )
prdsxms.j	|- J = ( TopOpen ` Y )
prdsxms.v	|- V = ( Base ` ( R ` k ) )
prdsxms.e	|- E = ( ( dist ` ( R ` k ) ) |` ( V X. V ) )
prdsxms.k	|- K = ( TopOpen ` ( R ` k ) )
prdsxms.c	|- C = { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) }

Assertion

Ref	Expression
prdsxmslem2	|- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )

Distinct variable groups:   g, k, B   x, g, D, k   z, g, I, k, x   g, E   S, g, k, x   g, W, k, x   g, Y, k, x   ph, g, k, x   R, g, k, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z)   B( x, z)   C( x, z, g, k)   D( z)   S( z)   E( x, z, k)   J( x, z, g, k)   K( x, z, g, k)   V( x, z, g, k)   W( z)   Y( z)

Proof of Theorem prdsxmslem2

Dummy variables p r w y m u n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsxms.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
2		topnfn 15402	. . . . 5 |- TopOpen Fn _V
3		prdsxms.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> *MetSp )
4		ffn 5739	. . . . . . 7 |- ( R : I --> *MetSp -> R Fn I )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R Fn I )
6		dffn2 5741	. . . . . 6 |- ( R Fn I <-> R : I --> _V )
7	5, 6	sylib 201	. . . . 5 |- ( ph -> R : I --> _V )
8		fnfco 5760	. . . . 5 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R : I --> _V ) -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
9	2, 7, 8	sylancr 676	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) Fn I )
10		prdsxms.c	. . . . 5 |- C = { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) }
11	10	ptval 20662	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ ( TopOpen o. R ) Fn I ) -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( topGen ` C ) )
12	1, 9, 11	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( topGen ` C ) )
13		eldifsn 4088	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) <-> ( x e. ran ( ball ` D ) /\ x =/= (/) ) )
14		prdsxms.y	. . . . . . . . . . . 12 |- Y = ( S X_s R )
15		prdsxms.s	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. W )
16		prdsxms.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( dist ` Y )
17		prdsxms.b	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( Base ` Y )
18	14, 15, 1, 16, 17, 3	prdsxmslem1 21621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
19		blrn 21502	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. ( *Met ` B ) -> ( x e. ran ( ball ` D ) <-> E. p e. B E. r e. RR* x = ( p ( ball ` D ) r ) ) )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ran ( ball ` D ) <-> E. p e. B E. r e. RR* x = ( p ( ball ` D ) r ) ) )
21	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> D e. ( *Met ` B ) )
22		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> p e. B )
23		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> r e. RR* )
24		xbln0 21507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ p e. B /\ r e. RR* ) -> ( ( p ( ball ` D ) r ) =/= (/) <-> 0 < r ) )
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( ( p ( ball ` D ) r ) =/= (/) <-> 0 < r ) )
26	1	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> I e. Fin )
27		mptexg 6151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( I e. Fin -> ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) e. _V )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) e. _V )
29		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) e. _V
30	29	rgenw 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A. n e. I ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) e. _V
31		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) )
32	31	fnmpt 5714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. I ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) e. _V -> ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I )
33	30, 32	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I )
34	3	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> R : I --> *MetSp )
35	34	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( R ` k ) e. *MetSp )
36		prdsxms.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- V = ( Base ` ( R ` k ) )
37		prdsxms.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- E = ( ( dist ` ( R ` k ) ) |` ( V X. V ) )
38	36, 37	xmsxmet 21549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R ` k ) e. *MetSp -> E e. ( *Met ` V ) )
39	35, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
40		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) = ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) )
41		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Base ` ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) )
42	15	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> S e. W )
43	35	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> A. k e. I ( R ` k ) e. *MetSp )
44		simp2l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> p e. B )
45	34	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> R = ( k e. I |-> ( R ` k ) ) )
46	45	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( S X_s R ) = ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) )
47	14, 46	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> Y = ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) )
48	47	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) ) )
49	17, 48	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> B = ( Base ` ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) ) )
50	44, 49	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> p e. ( Base ` ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) ) ) )
51	40, 41, 42, 26, 43, 36, 50	prdsbascl 15459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> A. k e. I ( p ` k ) e. V )
52	51	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( p ` k ) e. V )
53		simp2r 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> r e. RR* )
54	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> r e. RR* )
55		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( MetOpen ` E ) = ( MetOpen ` E )
56	55	blopn 21593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( p ` k ) e. V /\ r e. RR* ) -> ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) e. ( MetOpen ` E ) )
57	39, 52, 54, 56	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) e. ( MetOpen ` E ) )
58		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = k -> ( R ` n ) = ( R ` k ) )
59	58	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( dist ` ( R ` n ) ) = ( dist ` ( R ` k ) ) )
60	58	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = k -> ( Base ` ( R ` n ) ) = ( Base ` ( R ` k ) ) )
61	60, 36	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = k -> ( Base ` ( R ` n ) ) = V )
62	61	sqxpeqd 4865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) = ( V X. V ) )
63	59, 62	reseq12d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = k -> ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) = ( ( dist ` ( R ` k ) ) |` ( V X. V ) ) )
64	63, 37	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = k -> ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) = E )
65	64	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) = ( ball ` E ) )
66		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( p ` n ) = ( p ` k ) )
67		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> r = r )
68	65, 66, 67	oveq123d 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) = ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
69		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) e. _V
70	68, 31, 69	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. I -> ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) = ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
71	70	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) = ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
72		fvco3 5957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( R : I --> *MetSp /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = ( TopOpen ` ( R ` k ) ) )
73		prdsxms.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- K = ( TopOpen ` ( R ` k ) )
74	72, 73	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R : I --> *MetSp /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = K )
75	34, 74	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = K )
76	73, 36, 37	xmstopn 21544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( R ` k ) e. *MetSp -> K = ( MetOpen ` E ) )
77	35, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> K = ( MetOpen ` E ) )
78	75, 77	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = ( MetOpen ` E ) )
79	57, 71, 78	3eltr4d 2564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) /\ k e. I ) -> ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
80	79	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
81	34	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> R = ( n e. I |-> ( R ` n ) ) )
82	81	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( S X_s R ) = ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) )
83	14, 82	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> Y = ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) )
84	83	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( dist ` Y ) = ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) )
85	16, 84	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> D = ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) )
86	85	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( ball ` D ) = ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) ) )
87	86	oveqd 6325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( p ( ball ` D ) r ) = ( p ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) ) r ) )
88	58	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. I |-> ( R ` n ) ) = ( k e. I |-> ( R ` k ) )
89	88	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) = ( S X_s ( k e. I |-> ( R ` k ) ) )
90		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) = ( Base ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) )
91		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) = ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) )
92	83	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( Base ` Y ) = ( Base ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) )
93	17, 92	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> B = ( Base ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) )
94	44, 93	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> p e. ( Base ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) )
95		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> 0 < r )
96	89, 90, 36, 37, 91, 42, 26, 35, 39, 94, 53, 95	prdsbl 21584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( p ( ball ` ( dist ` ( S X_s ( n e. I |-> ( R ` n ) ) ) ) ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
97	87, 96	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
98		fneq1 5674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( g Fn I <-> ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I ) )
99		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( g ` k ) = ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) )
100	99	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) <-> ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) )
101	100	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) <-> A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) )
102	98, 101	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) <-> ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I /\ A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) ) )
103	99, 70	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) /\ k e. I ) -> ( g ` k ) = ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
104	103	ixpeq2dva 7555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> X_ k e. I ( g ` k ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
105	104	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) <-> ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) )
106	102, 105	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( g = ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) -> ( ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) <-> ( ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I /\ A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) ) )
107	106	spcegv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) e. _V -> ( ( ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I /\ A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
108	107	3impib 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) e. _V /\ ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) Fn I /\ A. k e. I ( ( n e. I |-> ( ( p ` n ) ( ball ` ( ( dist ` ( R ` n ) ) |` ( ( Base ` ( R ` n ) ) X. ( Base ` ( R ` n ) ) ) ) ) r ) ) ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) )
109	28, 33, 80, 97, 108	syl121anc 1297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) /\ 0 < r ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) )
110	109	3expia 1233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( 0 < r -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
111	25, 110	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( ( p ( ball ` D ) r ) =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
112	111	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( p ( ball ` D ) r ) =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
113		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> x = ( p ( ball ` D ) r ) )
114	113	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( x =/= (/) <-> ( p ( ball ` D ) r ) =/= (/) ) )
115		ral0 3865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. k e. (/) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k )
116		difeq2 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = I -> ( I \ z ) = ( I \ I ) )
117		difid 3747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( I \ I ) = (/)
118	116, 117	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = I -> ( I \ z ) = (/) )
119	118	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = I -> ( A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) <-> A. k e. (/) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) )
120	119	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. Fin /\ A. k e. (/) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) -> E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
121	1, 115, 120	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
123	122	biantrud 515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) <-> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) ) )
124		df-3an 1009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) <-> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) )
125	123, 124	syl6rbbr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) <-> ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) ) )
126		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( x = X_ k e. I ( g ` k ) <-> ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) )
127	125, 126	bi2anan9 890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) <-> ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
128	127	exbidv 1776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) <-> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
129	112, 114, 128	3imtr4d 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) /\ x = ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( x =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
130	129	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. B /\ r e. RR* ) ) -> ( x = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( x =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) ) )
131	130	rexlimdvva 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. p e. B E. r e. RR* x = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( x =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) ) )
132	20, 131	sylbid 223	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ran ( ball ` D ) -> ( x =/= (/) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) ) )
133	132	impd 438	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. ran ( ball ` D ) /\ x =/= (/) ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
134	13, 133	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
135	134	alrimiv 1781	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( x e. ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
136		ssab 3485	. . . . . 6 |- ( ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) C_ { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) } <-> A. x ( x e. ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) -> E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) ) )
137	135, 136	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ph -> ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) C_ { x | E. g ( ( g Fn I /\ A. k e. I ( g ` k ) e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) /\ E. z e. Fin A. k e. ( I \ z ) ( g ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ) /\ x = X_ k e. I ( g ` k ) ) } )
138	137, 10	syl6sseqr 3465	. . . 4 |- ( ph -> ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) C_ C )
139		ssv 3438	. . . . . . . . . 10 |- *MetSp C_ _V
140		fnssres 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ *MetSp C_ _V ) -> ( TopOpen |` *MetSp ) Fn *MetSp )
141	2, 139, 140	mp2an 686	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen |` *MetSp ) Fn *MetSp
142		fvres 5893	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. *MetSp -> ( ( TopOpen |` *MetSp ) ` x ) = ( TopOpen ` x ) )
143		xmstps 21546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. *MetSp -> x e. TopSp )
144		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` x ) = ( TopOpen ` x )
145	144	tpstop 20031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. TopSp -> ( TopOpen ` x ) e. Top )
146	143, 145	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. *MetSp -> ( TopOpen ` x ) e. Top )
147	142, 146	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. *MetSp -> ( ( TopOpen |` *MetSp ) ` x ) e. Top )
148	147	rgen 2766	. . . . . . . . 9 |- A. x e. *MetSp ( ( TopOpen |` *MetSp ) ` x ) e. Top
149		ffnfv 6064	. . . . . . . . 9 |- ( ( TopOpen |` *MetSp ) : *MetSp --> Top <-> ( ( TopOpen |` *MetSp ) Fn *MetSp /\ A. x e. *MetSp ( ( TopOpen |` *MetSp ) ` x ) e. Top ) )
150	141, 148, 149	mpbir2an 934	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen |` *MetSp ) : *MetSp --> Top
151		fco2 5752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen |` *MetSp ) : *MetSp --> Top /\ R : I --> *MetSp ) -> ( TopOpen o. R ) : I --> Top )
152	150, 3, 151	sylancr 676	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( TopOpen o. R ) : I --> Top )
153		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) = X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n )
154	10, 153	ptbasfi 20673	. . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ ( TopOpen o. R ) : I --> Top ) -> C = ( fi ` ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) ) )
155	1, 152, 154	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> C = ( fi ` ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) ) )
156		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
157	156	mopntop 21533	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` B ) -> ( MetOpen ` D ) e. Top )
158	18, 157	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. Top )
159	14, 17, 15, 1, 5	prdsbas2 15445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = X_ k e. I ( Base ` ( R ` k ) ) )
160	3, 74	sylan 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = K )
161	3	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( R ` k ) e. *MetSp )
162		xmstps 21546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R ` k ) e. *MetSp -> ( R ` k ) e. TopSp )
163	161, 162	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( R ` k ) e. TopSp )
164	36, 73	istps 20028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R ` k ) e. TopSp <-> K e. (TopOn ` V ) )
165	163, 164	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> K e. (TopOn ` V ) )
166	160, 165	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) e. (TopOn ` V ) )
167		toponuni 20019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( TopOpen o. R ) ` k ) e. (TopOn ` V ) -> V = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> V = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
169	36, 168	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( Base ` ( R ` k ) ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
170	169	ixpeq2dva 7555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X_ k e. I ( Base ` ( R ` k ) ) = X_ k e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
171	159, 170	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = X_ k e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) )
172		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = ( ( TopOpen o. R ) ` n ) )
173	172	unieqd 4200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) )
174	173	cbvixpv 7558	. . . . . . . . . . 11 |- X_ k e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n )
175	171, 174	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B = X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) )
176	156	mopntopon 21532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( *Met ` B ) -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` B ) )
177	18, 176	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` B ) )
178		toponmax 20020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( MetOpen ` D ) e. (TopOn ` B ) -> B e. ( MetOpen ` D ) )
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( MetOpen ` D ) )
180	175, 179	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) e. ( MetOpen ` D ) )
181	180	snssd 4108	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } C_ ( MetOpen ` D ) )
182	175	mpteq1d 4477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( w e. B |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) )
183	182	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( w e. B |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) )
184	183	cnveqd 5015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) )
185	184	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
186		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = p -> ( w ` k ) = ( p ` k ) )
187	186	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = p -> ( ( w ` k ) e. u <-> ( p ` k ) e. u ) )
188		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. B |-> ( w ` k ) ) = ( w e. B |-> ( w ` k ) )
189	188	mptpreima 5335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) = { w e. B | ( w ` k ) e. u }
190	187, 189	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) )
191	161, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
192	191	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> E e. ( *Met ` V ) )
193		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> u e. K )
194	161, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> K = ( MetOpen ` E ) )
195	194	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> K = ( MetOpen ` E ) )
196	193, 195	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> u e. ( MetOpen ` E ) )
197		simprrr 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> ( p ` k ) e. u )
198	55	mopni2 21586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ u e. ( MetOpen ` E ) /\ ( p ` k ) e. u ) -> E. r e. RR+ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u )
199	192, 196, 197, 198	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> E. r e. RR+ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u )
200	18	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> D e. ( *Met ` B ) )
201		simprrl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> p e. B )
202	201	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> p e. B )
203		rpxr 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
204	203	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> r e. RR* )
205	156	blopn 21593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ p e. B /\ r e. RR* ) -> ( p ( ball ` D ) r ) e. ( MetOpen ` D ) )
206	200, 202, 204, 205	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( p ( ball ` D ) r ) e. ( MetOpen ` D ) )
207		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> r e. RR+ )
208		blcntr 21506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ p e. B /\ r e. RR+ ) -> p e. ( p ( ball ` D ) r ) )
209	200, 202, 207, 208	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> p e. ( p ( ball ` D ) r ) )
210		blssm 21511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ p e. B /\ r e. RR* ) -> ( p ( ball ` D ) r ) C_ B )
211	200, 202, 204, 210	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( p ( ball ` D ) r ) C_ B )
212		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u )
213		simplll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ph )
214		rpgt0 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( r e. RR+ -> 0 < r )
215	214	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> 0 < r )
216	213, 202, 204, 215, 97	syl121anc 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( p ( ball ` D ) r ) = X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
217	216	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( w e. ( p ( ball ` D ) r ) <-> w e. X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) )
218	217	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> w e. X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
219		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- w e. _V
220	219	elixp 7547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) <-> ( w Fn I /\ A. k e. I ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) )
221	220	simprbi 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. X_ k e. I ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) -> A. k e. I ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
222	218, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> A. k e. I ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
223		simp-4r 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> k e. I )
224		rsp 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A. k e. I ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) -> ( k e. I -> ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) ) )
225	222, 223, 224	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( w ` k ) e. ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) )
226	212, 225	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) /\ w e. ( p ( ball ` D ) r ) ) -> ( w ` k ) e. u )
227	211, 226	ssrabdv 3494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( p ( ball ` D ) r ) C_ { w e. B | ( w ` k ) e. u } )
228	227, 189	syl6sseqr 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> ( p ( ball ` D ) r ) C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) )
229		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( p e. y <-> p e. ( p ( ball ` D ) r ) ) )
230		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( p ( ball ` D ) r ) C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
231	229, 230	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( p ( ball ` D ) r ) -> ( ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> ( p e. ( p ( ball ` D ) r ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
232	231	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( p ( ball ` D ) r ) e. ( MetOpen ` D ) /\ ( p e. ( p ( ball ` D ) r ) /\ ( p ( ball ` D ) r ) C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
233	206, 209, 228, 232	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) /\ ( r e. RR+ /\ ( ( p ` k ) ( ball ` E ) r ) C_ u ) ) -> E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
234	199, 233	rexlimddv 2875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ ( u e. K /\ ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) ) ) -> E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
235	234	expr 626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( ( p e. B /\ ( p ` k ) e. u ) -> E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
236	190, 235	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( p e. ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) -> E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
237	236	ralrimiv 2808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> A. p e. ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
238	158	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( MetOpen ` D ) e. Top )
239		eltop2 20068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( MetOpen ` D ) e. Top -> ( ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> A. p e. ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
240	238, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> A. p e. ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) E. y e. ( MetOpen ` D ) ( p e. y /\ y C_ ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
241	237, 240	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( `' ( w e. B |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
242	185, 241	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. I ) /\ u e. K ) -> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
243	242	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. u e. K ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
244	160	raleqdv 2979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> ( A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> A. u e. K ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) ) )
245	243, 244	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. I ) -> A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
246	245	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. I A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
247		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( TopOpen o. R ) ` k ) = ( ( TopOpen o. R ) ` m ) )
248		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = m -> ( w ` k ) = ( w ` m ) )
249	248	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) )
250	249	cnveqd 5015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) )
251	250	imaeq1d 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) )
252	251	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) ) )
253	247, 252	raleqbidv 2987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) ) )
254	253	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. I A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> A. m e. I A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
255	246, 254	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. m e. I A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) )
256		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) = ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) )
257	256	fmpt2x 6878	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. I A. u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) e. ( MetOpen ` D ) <-> ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) : U_ m e. I ( { m } X. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ) --> ( MetOpen ` D ) )
258	255, 257	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) : U_ m e. I ( { m } X. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ) --> ( MetOpen ` D ) )
259		frn 5747	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) : U_ m e. I ( { m } X. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) ) --> ( MetOpen ` D ) -> ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) C_ ( MetOpen ` D ) )
260	258, 259	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) C_ ( MetOpen ` D ) )
261	181, 260	unssd 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) C_ ( MetOpen ` D ) )
262		fiss 7956	. . . . . . 7 |- ( ( ( MetOpen ` D ) e. Top /\ ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) C_ ( MetOpen ` D ) ) -> ( fi ` ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) ) C_ ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) )
263	158, 261, 262	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( fi ` ( { X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) } u. ran ( m e. I , u e. ( ( TopOpen o. R ) ` m ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. I U. ( ( TopOpen o. R ) ` n ) |-> ( w ` m ) ) " u ) ) ) ) C_ ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) )
264	155, 263	eqsstrd 3452	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) )
265		fitop 20007	. . . . . . 7 |- ( ( MetOpen ` D ) e. Top -> ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) = ( MetOpen ` D ) )
266	158, 265	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) = ( MetOpen ` D ) )
267	156	mopnval 21531	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` B ) -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
268	18, 267	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) ) )
269		tgdif0 20085	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) = ( topGen ` ran ( ball ` D ) )
270	268, 269	syl6eqr 2523	. . . . . 6 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) = ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) )
271	266, 270	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ph -> ( fi ` ( MetOpen ` D ) ) = ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) )
272	264, 271	sseqtrd 3454	. . . 4 |- ( ph -> C C_ ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) )
273		2basgen 20083	. . . 4 |- ( ( ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) C_ C /\ C C_ ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) ) -> ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) = ( topGen ` C ) )
274	138, 272, 273	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) = ( topGen ` C ) )
275	12, 274	eqtr4d 2508	. 2 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( topGen ` ( ran ( ball ` D ) \ { (/) } ) ) )
276		prdsxms.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` Y )
277	14, 15, 1, 5, 276	prdstopn 20720	. 2 |- ( ph -> J = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
278	275, 277, 270	3eqtr4d 2515	1 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840   |` cres 4841   "cima 4842   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   X_cixp 7540   Fincfn 7587   ficfi 7942   0cc0 9557   RR*cxr 9692   < clt 9693   RR+crp 11325   Basecbs 15199   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414   Xt_cpt 15415   X__scprds 15422   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034   MetOpencmopn 19037   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopSpctps 19996   *MetSpcxme 21410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-xms 21413

This theorem is referenced by:  prdsxms  21623