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Theorem prdsxmslem2 21622
 Description: Lemma for prdsxms 21623. The topology generated by the supremum metric is the same as the product topology, when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y s
prdsxms.s
prdsxms.i
prdsxms.d
prdsxms.b
prdsxms.r
prdsxms.j
prdsxms.v
prdsxms.e
prdsxms.k
prdsxms.c
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   ()   ()   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem prdsxmslem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.i . . . 4
2 topnfn 15402 . . . . 5
3 prdsxms.r . . . . . . 7
4 ffn 5739 . . . . . . 7
53, 4syl 17 . . . . . 6
6 dffn2 5741 . . . . . 6
75, 6sylib 201 . . . . 5
8 fnfco 5760 . . . . 5
92, 7, 8sylancr 676 . . . 4
10 prdsxms.c . . . . 5
1110ptval 20662 . . . 4
121, 9, 11syl2anc 673 . . 3
13 eldifsn 4088 . . . . . . . 8
14 prdsxms.y . . . . . . . . . . . 12 s
15 prdsxms.s . . . . . . . . . . . 12
16 prdsxms.d . . . . . . . . . . . 12
17 prdsxms.b . . . . . . . . . . . 12
1814, 15, 1, 16, 17, 3prdsxmslem1 21621 . . . . . . . . . . 11
19 blrn 21502 . . . . . . . . . . 11
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10
2118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
22 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
24 xbln0 21507 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2521, 22, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
2613ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3029rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231fnmpt 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3330, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3433ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3534ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
36 prdsxms.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
37 prdsxms.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3836, 37xmsxmet 21549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
40 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s s
41 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s s
42153ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4335ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
44 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4534feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4645oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 s s
4714, 46syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 s
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 s
4917, 48syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 s
5044, 49eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s
5140, 41, 42, 26, 43, 36, 50prdsbascl 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5251r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
55 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5655blopn 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5739, 52, 54, 56syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5958fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6058fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6160, 36syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6261sqxpeqd 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6359, 62reseq12d 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6463, 37syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6564fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
67 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6865, 66, 67oveq123d 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
69 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7068, 31, 69fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73 prdsxms.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7472, 73syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7534, 74sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7673, 36, 37xmstopn 21544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7735, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7875, 77eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7957, 71, 783eltr4d 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8079ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8134feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8281oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 s s
8314, 82syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s
8483fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
8516, 84syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
8685fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
8786oveqd 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
8858cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s
90 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s
91 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s s
9283fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 s
9317, 92syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s
9444, 93eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
95 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9689, 90, 36, 37, 91, 42, 26, 35, 39, 94, 53, 95prdsbl 21584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
9787, 96eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98 fneq1 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10099eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101100ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10298, 101anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10399, 70sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104103ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106102, 105anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106spcegv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1081073impib 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10928, 33, 80, 97, 108syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1101093expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15
11125, 110sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
113 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
114113neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . 13
115 ral0 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117 difid 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118116, 117syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120119rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1211, 115, 120sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122biantrud 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125123, 124syl6rbbr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15
126 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15
127125, 126bi2anan9 890 . . . . . . . . . . . . . 14
128127exbidv 1776 . . . . . . . . . . . . 13
129112, 114, 1283imtr4d 276 . . . . . . . . . . . 12
130129ex 441 . . . . . . . . . . 11
131130rexlimdvva 2878 . . . . . . . . . 10
13220, 131sylbid 223 . . . . . . . . 9
133132impd 438 . . . . . . . 8
13413, 133syl5bi 225 . . . . . . 7
135134alrimiv 1781 . . . . . 6
136 ssab 3485 . . . . . 6
137135, 136sylibr 217 . . . . 5
138137, 10syl6sseqr 3465 . . . 4
139 ssv 3438 . . . . . . . . . 10
140 fnssres 5699 . . . . . . . . . 10
1412, 139, 140mp2an 686 . . . . . . . . 9
142 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11
143 xmstps 21546 . . . . . . . . . . . 12
144 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13
145144tpstop 20031 . . . . . . . . . . . 12
146143, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11
147142, 146eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
148147rgen 2766 . . . . . . . . 9
149 ffnfv 6064 . . . . . . . . 9
150141, 148, 149mpbir2an 934 . . . . . . . 8
151 fco2 5752 . . . . . . . 8
152150, 3, 151sylancr 676 . . . . . . 7
153 eqid 2471 . . . . . . . 8
15410, 153ptbasfi 20673 . . . . . . 7
1551, 152, 154syl2anc 673 . . . . . 6
156 eqid 2471 . . . . . . . . 9
157156mopntop 21533 . . . . . . . 8
15818, 157syl 17 . . . . . . 7
15914, 17, 15, 1, 5prdsbas2 15445 . . . . . . . . . . . 12
1603, 74sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1613ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162 xmstps 21546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16436, 73istps 20028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 TopOn
165163, 164sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
166160, 165eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
167 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
16936, 168syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . 13
170169ixpeq2dva 7555 . . . . . . . . . . . 12
171159, 170eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11
172 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
173172unieqd 4200 . . . . . . . . . . . 12
174173cbvixpv 7558 . . . . . . . . . . 11
175171, 174syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
176156mopntopon 21532 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
17718, 176syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn
178 toponmax 20020 . . . . . . . . . . 11 TopOn
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10
180175, 179eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
181180snssd 4108 . . . . . . . 8
182175mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
183182ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
184183cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185184imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . . . . 15
186 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
187186eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
188 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
189188mptpreima 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190187, 189elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191161, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
192191adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
193 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
194161, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
195194adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
196193, 195eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
197 simprrr 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19855mopni2 21586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199192, 196, 197, 198syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20018ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
201 simprrl 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
202201adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
203 rpxr 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
204203ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
205156blopn 21593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
206200, 202, 204, 205syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
207 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
208 blcntr 21506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
209200, 202, 207, 208syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
210 blssm 21511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
211200, 202, 204, 210syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
212 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
213 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
214 rpgt0 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
215214ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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