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Theorem prdsxmslem2 18512
Description: Lemma for prdsxms 18513. The topology generated by the supremum metric is the same as the product topology, when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsxms.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsxms.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsxms.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsxms.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsxms.r  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
prdsxms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
prdsxms.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
prdsxms.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsxms.k  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
prdsxms.c  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem2  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Distinct variable groups:    g, k, B    x, g, D, k   
z, g, I, k, x    g, E    S, g, k, x    g, W, k, x    g, Y, k, x    ph, g,
k, x    R, g,
k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x, z)    C( x, z, g, k)    D( z)    S( z)    E( x, z, k)    J( x, z, g, k)    K( x, z, g, k)    V( x, z, g, k)    W( z)    Y( z)

Proof of Theorem prdsxmslem2
Dummy variables  p  r  w  y  m  u  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 topnfn 13608 . . . . 5  |-  TopOpen  Fn  _V
3 prdsxms.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> * MetSp )
4 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> * MetSp  ->  R  Fn  I )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
6 dffn2 5551 . . . . . 6  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
75, 6sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
8 fnfco 5568 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
92, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
10 prdsxms.c . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
1110ptval 17555 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  C ) )
121, 9, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  C
) )
13 eldifsn 3887 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) ) )
14 prdsxms.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  ( S X_s R )
15 prdsxms.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
16 prdsxms.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
17 prdsxms.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  Y
)
1814, 15, 1, 16, 17, 3prdsxmslem1 18511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
19 blrn 18392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  (
x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
2118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
22 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  p  e.  B )
23 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
r  e.  RR* )
24 xbln0 18397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2613ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  I  e.  Fin )
27 mptexg 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
29 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
3029rgenw 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. n  e.  I  ( (
p `  n )
( ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
31 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
3231fnmpt 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  I  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V  ->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
3330, 32mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
3433ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R : I --> * MetSp )
3534ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k
)  e.  * MetSp )
36 prdsxms.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
37 prdsxms.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
3836, 37xmsxmet 18439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
3935, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V ) )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
41 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
42153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  S  e.  W )
4335ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( R `  k )  e.  * MetSp )
44 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  B )
4534feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) )
4645oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
4714, 46syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) ) )
4847fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
4917, 48syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
5044, 49eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
5140, 41, 42, 26, 43, 36, 50prdsbascl 13660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( p `  k )  e.  V
)
5251r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( p `  k
)  e.  V )
53 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  r  e.  RR* )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  r  e.  RR* )
55 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( MetOpen `  E )  =  (
MetOpen `  E )
5655blopn 18483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( p `  k )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
5739, 52, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( R `  n )  =  ( R `  k ) )
5958fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( dist `  ( R `  n ) )  =  ( dist `  ( R `  k )
) )
6058fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  ( Base `  ( R `  k )
) )
6160, 36syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  V )
6261, 61xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) )  =  ( V  X.  V ) )
6359, 62reseq12d 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  k
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
6463, 37syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  E )
6564fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n
) )  |`  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
66 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  (
p `  n )  =  ( p `  k ) )
67 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  r  =  r )
6865, 66, 67oveq123d 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
69 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
7068, 31, 69fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  =  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
72 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R : I --> * MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) ) )
73 prdsxms.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
7472, 73syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R : I --> * MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  K )
7534, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  K )
7673, 36, 37xmstopn 18434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
7735, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E ) )
7875, 77eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  ( MetOpen `  E
) )
7957, 71, 783eltr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8079ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8134feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
8314, 82syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) )
8483fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( dist `  Y )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8516, 84syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8685fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( ball `  D )  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) )
8786oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  =  ( p ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
8858cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  I  |->  ( R `
 n ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) )
8988oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S
X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
90 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
91 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
9283fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9317, 92syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9444, 93eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
95 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  0  <  r )
9689, 90, 36, 37, 91, 42, 26, 35, 39, 94, 53, 95prdsbl 18474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
9787, 96eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
98 fneq1 5493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g  Fn  I  <->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I ) )
99 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g `  k )  =  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k ) )
10099eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) )
101100ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
10298, 101anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) ) )
10399, 70sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  =  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
104103ixpeq2dva 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  X_ k  e.  I 
( g `  k
)  =  X_ k  e.  I  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r ) )
105104eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
106102, 105anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) )  <->  ( (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
107106spcegv 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  ->  (
( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
1081073impib 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  /\  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
10928, 33, 80, 97, 108syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
1101093expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( 0  <  r  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
11125, 110sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
112111adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
113 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )
114113neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/) 
<->  ( p ( ball `  D ) r )  =/=  (/) ) )
115 ral0 3692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
116 difeq2 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  ( I  \  I ) )
117 difid 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I 
\  I )  =  (/)
118116, 117syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  (/) )
119118raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  I  ->  ( A. k  e.  (
I  \  z )
( g `  k
)  =  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
120119rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. k  e.  (/)  ( g `
 k )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
1211, 115, 120sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
122121adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
123122biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  <->  ( (
g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) ) )
124 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
125123, 124syl6rbbr 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ) ) )
126 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k )  <->  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) )
127125, 126bi2anan9 844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) ) )
128127exbidv 1633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
129112, 114, 1283imtr4d 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
130129ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
131130rexlimdvva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. p  e.  B  E. r  e. 
RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
13220, 131sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
133132imp3a 421 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
13413, 133syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
135134alrimiv 1638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
136 ssab 3373 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) 
C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }  <->  A. x
( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
137135, 136sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) } )
138137, 10syl6sseqr 3355 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C
)
139 ssv 3328 . . . . . . . . . 10  |-  * MetSp  C_ 
_V
140 fnssres 5517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  * MetSp 
C_  _V )  ->  ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp )
1412, 139, 140mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp
142 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x )  =  (
TopOpen `  x ) )
143 xmstps 18436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  x  e.  TopSp )
144 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  x )  =  (
TopOpen `  x )
145144tpstop 16959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  x )  e.  Top )
146143, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  ( TopOpen
`  x )  e. 
Top )
147142, 146eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  * MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x )  e.  Top )
148147rgen 2731 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  * MetSp  ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x
)  e.  Top
149 ffnfv 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen 
|`  * MetSp ) : * MetSp --> Top  <->  ( ( TopOpen  |`  * MetSp )  Fn  * MetSp  /\  A. x  e. 
* MetSp  ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) `  x
)  e.  Top )
)
150141, 148, 149mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen  |`  * MetSp ) : * MetSp --> Top
151 fco2 5560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen  |`  * MetSp ) : * MetSp --> Top  /\  R :
I --> * MetSp )  -> 
( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
152150, 3, 151sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
153 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
15410, 153ptbasfi 17566 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
1551, 152, 154syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
156 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
157156mopntop 18423 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
15818, 157syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  Top )
15914, 17, 15, 1, 5prdsbas2 13646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  ( Base `  ( R `  k
) ) )
1603, 74sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  K )
1613ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  * MetSp )
162 xmstps 18436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  k )  e.  * MetSp  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
16436, 73istps 16956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R `  k )  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  V ) )
165163, 164sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  e.  (TopOn `  V )
)
166160, 165eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V ) )
167 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
16936, 168syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Base `  ( R `  k ) )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
170169ixpeq2dva 7036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I 
( Base `  ( R `  k ) )  = 
X_ k  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
171159, 170eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) )
172 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
173172unieqd 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
)
174173cbvixpv 7039 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
175171, 174syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
176156mopntopon 18422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e.  (TopOn `  B )
)
17718, 176syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )
)
178 toponmax 16948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
179177, 178syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
180175, 179eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  e.  ( MetOpen `  D )
)
181180snssd 3903 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X_ n  e.  I  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  n ) }  C_  ( MetOpen `  D )
)
182175mpteq1d 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
183182ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
w  e.  B  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) )
184183cnveqd 5007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
185184imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
186 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  p  ->  (
w `  k )  =  ( p `  k ) )
187186eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  p  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( p `  k )  e.  u
) )
188 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) )
189188mptpreima 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  B  |  (
w `  k )  e.  u }
190187, 189elrab2 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) )
191161, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
192191adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
193 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  K )
194161, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
195194adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
196193, 195eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  ( MetOpen `  E )
)
197 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  (
p `  k )  e.  u )
19855mopni2 18476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  u  e.  (
MetOpen `  E )  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) 
C_  u )
199192, 196, 197, 198syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
)
20018ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
201 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  p  e.  B )
202201adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  B )
203 rpxr 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
204203ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR* )
205156blopn 18483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
206200, 202, 204, 205syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
207 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
208 blcntr 18396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR+ )  ->  p  e.  ( p ( ball `  D
) r ) )
209200, 202, 207, 208syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  ( p
( ball `  D )
r ) )
210 blssm 18401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
211200, 202, 204, 210syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
212 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r )  C_  u
)
213 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  ph )
214 rpgt0 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
215214ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
0  <  r )
216213, 202, 204, 215, 97syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
217216eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( w  e.  ( p ( ball `  D
) r )  <->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
218217biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
219 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  w  e. 
_V
220219elixp 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( w  Fn  I  /\  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) ) )
221220simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) )
222218, 221syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  A. k  e.  I  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
223 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  k  e.  I )
224 rsp 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. k  e.  I  (
w `  k )  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  ( k  e.  I  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
225222, 223, 224sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
226212, 225sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  u
)
227211, 226ssrabdv 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  { w  e.  B  |  ( w `
 k )  e.  u } )
228227, 189syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
229 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
p  e.  y  <->  p  e.  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
230 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
231229, 230anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
232231rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
)  /\  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
233206, 209, 228, 232syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen
`  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
234199, 233rexlimddv 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
235234expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
236190, 235syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
237236ralrimiv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
238158ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
239 eltop2 16995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
240238, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
) E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
241237, 240mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  (
MetOpen `  D ) )
242185, 241eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
243242ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
)
244160raleqdv 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
245243, 244mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
246245ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
247 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) )
248 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
w `  k )  =  ( w `  m ) )
249248mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
250249cnveqd 5007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
251250imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )
252251eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 m ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
253247, 252raleqbidv 2876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
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254253cbvralv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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255246, 254sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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)  e.  ( MetOpen `  D ) )
256 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
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TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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257256fmpt2x 6376 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
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) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
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) )
258255, 257sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
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259 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  I ,  u  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
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) --> ( MetOpen `  D
)  ->  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
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) ) " u
) )  C_  ( MetOpen
`  D ) )
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`  D ) )
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( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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)
262 fiss 7387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( MetOpen `  D )  e.  Top  /\  ( {
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( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
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) ) " u
) ) ) ) 
C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
264155, 263eqsstrd 3342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
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MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( MetOpen `  D )
)  =  ( MetOpen `  D ) )
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`  D ) )  =  ( MetOpen `  D
) )
267156mopnval 18421 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) )
26818, 267syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
269 tgdif0 17012 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
270268, 269syl6eqr 2454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
271266, 270eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( MetOpen
`  D ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
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} ) ) )
273 2basgen 17010 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C ) )
274138, 272, 273syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C
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27512, 274eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
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276 prdsxms.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
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) )
278275, 277, 2703eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   X_cixp 7022   Fincfn 7068   ficfi 7373   0cc0 8946   RR*cxr 9075    < clt 9076   RR+crp 10568   Basecbs 13424   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620   Xt_cpt 13621   X_scprds 13624   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   TopSpctps 16916   *
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This theorem is referenced by:  prdsxms  18513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303
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