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Theorem prdsxmslem2 21540
Description: Lemma for prdsxms 21541. The topology generated by the supremum metric is the same as the product topology, when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsxms.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsxms.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsxms.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsxms.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsxms.r  |-  ( ph  ->  R : I --> *MetSp )
prdsxms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
prdsxms.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
prdsxms.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsxms.k  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
prdsxms.c  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
Assertion
Ref Expression
prdsxmslem2  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Distinct variable groups:    g, k, B    x, g, D, k   
z, g, I, k, x    g, E    S, g, k, x    g, W, k, x    g, Y, k, x    ph, g,
k, x    R, g,
k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    B( x, z)    C( x, z, g, k)    D( z)    S( z)    E( x, z, k)    J( x, z, g, k)    K( x, z, g, k)    V( x, z, g, k)    W( z)    Y( z)

Proof of Theorem prdsxmslem2
Dummy variables  p  r  w  y  m  u  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
2 topnfn 15321 . . . . 5  |-  TopOpen  Fn  _V
3 prdsxms.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R : I --> *MetSp )
4 ffn 5745 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> *MetSp  ->  R  Fn  I )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
6 dffn2 5746 . . . . . 6  |-  ( R  Fn  I  <->  R :
I --> _V )
75, 6sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> _V )
8 fnfco 5764 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  R : I --> _V )  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
92, 7, 8sylancr 668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )
10 prdsxms.c . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
1110ptval 20581 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R )  Fn  I )  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R
) )  =  (
topGen `  C ) )
121, 9, 11syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  C
) )
13 eldifsn 4124 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) ) )
14 prdsxms.y . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  =  ( S X_s R )
15 prdsxms.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
16 prdsxms.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
17 prdsxms.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  Y
)
1814, 15, 1, 16, 17, 3prdsxmslem1 21539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
19 blrn 21420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  (
x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. p  e.  B  E. r  e.  RR*  x  =  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
2118adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
22 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  p  e.  B )
23 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
r  e.  RR* )
24 xbln0 21425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
2613ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  I  e.  Fin )
27 mptexg 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  Fin  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V )
29 ovex 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
3029rgenw 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. n  e.  I  ( (
p `  n )
( ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V
31 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
3231fnmpt 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  I  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  e. 
_V  ->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
3330, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I )
3433ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R : I --> *MetSp )
3534ffvelrnda 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k
)  e.  *MetSp )
36 prdsxms.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  V  =  ( Base `  ( R `  k )
)
37 prdsxms.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  k )
)  |`  ( V  X.  V ) )
3836, 37xmsxmet 21467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R `  k )  e.  *MetSp  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
3935, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
40 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S
X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
41 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
42153ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  S  e.  W )
4335ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( R `  k )  e.  *MetSp )
44 simp2l 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  B )
4534feqmptd 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) )
4645oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) )
4714, 46syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
k  e.  I  |->  ( R `  k ) ) ) )
4847fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
4917, 48syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
5044, 49eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) ) ) )
5140, 41, 42, 26, 43, 36, 50prdsbascl 15378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( p `  k )  e.  V
)
5251r19.21bi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( p `  k
)  e.  V )
53 simp2r 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  r  e.  RR* )
5453adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  r  e.  RR* )
55 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( MetOpen `  E )  =  (
MetOpen `  E )
5655blopn 21511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( p `  k )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
5739, 52, 54, 56syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  e.  ( MetOpen `  E
) )
58 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( R `  n )  =  ( R `  k ) )
5958fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( dist `  ( R `  n ) )  =  ( dist `  ( R `  k )
) )
6058fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  ( Base `  ( R `  k )
) )
6160, 36syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  k  ->  ( Base `  ( R `  n ) )  =  V )
6261sqxpeqd 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) )  =  ( V  X.  V ) )
6359, 62reseq12d 5124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  k
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
6463, 37syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  k  ->  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) )  =  E )
6564fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n
) )  |`  (
( Base `  ( R `  n ) )  X.  ( Base `  ( R `  n )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
66 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  (
p `  n )  =  ( p `  k ) )
67 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  r  =  r )
6865, 66, 67oveq123d 6325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
69 ovex 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
7068, 31, 69fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  I  ->  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  =  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r ) )
7170adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  =  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
72 fvco3 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R : I --> *MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) ) )
73 prdsxms.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
7472, 73syl6eqr 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R : I --> *MetSp  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  =  K )
7534, 74sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  K )
7673, 36, 37xmstopn 21462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R `  k )  e.  *MetSp  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
7735, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E ) )
7875, 77eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  =  ( MetOpen `  E
) )
7957, 71, 783eltr4d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  /\  k  e.  I )  ->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8079ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
8134feqmptd 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  R  =  ( n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) )
8281oveq2d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
8314, 82syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  Y  =  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) )
8483fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( dist `  Y )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8516, 84syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
8685fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( ball `  D )  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) )
8786oveqd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  =  ( p ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )
8858cbvmptv 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  I  |->  ( R `
 n ) )  =  ( k  e.  I  |->  ( R `  k ) )
8988oveq2i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S
X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) )  =  ( S X_s ( k  e.  I  |->  ( R `  k
) ) )
90 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
91 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) )
9283fveq2d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  ( Base `  Y )  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9317, 92syl5eq 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
9444, 93eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  p  e.  ( Base `  ( S X_s ( n  e.  I  |->  ( R `  n
) ) ) ) )
95 simp3 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  0  <  r )
9689, 90, 36, 37, 91, 42, 26, 35, 39, 94, 53, 95prdsbl 21502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  ( dist `  ( S X_s (
n  e.  I  |->  ( R `  n ) ) ) ) ) r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
9787, 96eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
98 fneq1 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g  Fn  I  <->  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I ) )
99 fveq1 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( g `  k )  =  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k ) )
10099eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) )
101100ralbidv 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  I  ( (
n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) ) `
 k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
10298, 101anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) ) ) )
10399, 70sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  /\  k  e.  I
)  ->  ( g `  k )  =  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
104103ixpeq2dva 7547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  X_ k  e.  I 
( g `  k
)  =  X_ k  e.  I  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r ) )
105104eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
106102, 105anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) )  <->  ( (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
107106spcegv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  ->  (
( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
1081073impib 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) )  e.  _V  /\  ( ( n  e.  I  |->  ( ( p `
 n ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  n ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  n )
)  X.  ( Base `  ( R `  n
) ) ) ) ) r ) )  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
( n  e.  I  |->  ( ( p `  n ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  n )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  n
) )  X.  ( Base `  ( R `  n ) ) ) ) ) r ) ) `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
10928, 33, 80, 97, 108syl121anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  /\  0  <  r )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) )
1101093expia 1208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( 0  <  r  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
11125, 110sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( p (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  ( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
112111adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( p ( ball `  D
) r )  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
113 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )
114113neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/) 
<->  ( p ( ball `  D ) r )  =/=  (/) ) )
115 ral0 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
116 difeq2 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  ( I  \  I ) )
117 difid 3865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( I 
\  I )  =  (/)
118116, 117syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  I  ->  (
I  \  z )  =  (/) )
119118raleqdv 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  I  ->  ( A. k  e.  (
I  \  z )
( g `  k
)  =  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  <->  A. k  e.  (/)  ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
120119rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. k  e.  (/)  ( g `
 k )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
1211, 115, 120sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  ->  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )
123122biantrud 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) )  <->  ( (
g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) ) )
124 df-3an 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
) )
125123, 124syl6rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  <->  ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ) ) )
126 eqeq1 2427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k )  <->  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) )
127125, 126bi2anan9 882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  ( p
( ball `  D )
r )  =  X_ k  e.  I  (
g `  k )
) ) )
128127exbidv 1759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) )  <->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )  /\  (
p ( ball `  D
) r )  = 
X_ k  e.  I 
( g `  k
) ) ) )
129112, 114, 1283imtr4d 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  /\  x  =  ( p ( ball `  D
) r ) )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
130129ex 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  B  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
131130rexlimdvva 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. p  e.  B  E. r  e. 
RR*  x  =  ( p ( ball `  D
) r )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
13220, 131sylbid 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( ball `  D )  ->  ( x  =/=  (/)  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) ) )
133132impd 433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
13413, 133syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
135134alrimiv 1764 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  (
g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I 
\  z ) ( g `  k )  =  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  k ) )  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
136 ssab 3533 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) 
C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }  <->  A. x
( x  e.  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } )  ->  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) ) )
137135, 136sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) } )
138137, 10syl6sseqr 3513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C
)
139 ssv 3486 . . . . . . . . . 10  |-  *MetSp  C_ 
_V
140 fnssres 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen  Fn  _V  /\  *MetSp  C_  _V )  -> 
( TopOpen  |`  *MetSp )  Fn  *MetSp )
1412, 139, 140mp2an 677 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen  |`  *MetSp )  Fn  *MetSp
142 fvres 5894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  *MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  *MetSp ) `  x )  =  (
TopOpen `  x ) )
143 xmstps 21464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  *MetSp  ->  x  e.  TopSp )
144 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen `  x )  =  (
TopOpen `  x )
145144tpstop 19950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  TopSp  ->  ( TopOpen `  x )  e.  Top )
146143, 145syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  *MetSp  ->  ( TopOpen
`  x )  e. 
Top )
147142, 146eqeltrd 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  *MetSp  ->  (
( TopOpen  |`  *MetSp ) `  x )  e.  Top )
148147rgen 2786 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  *MetSp  ( ( TopOpen  |`  *MetSp ) `  x
)  e.  Top
149 ffnfv 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( (
TopOpen 
|`  *MetSp ) : *MetSp --> Top  <->  ( ( TopOpen  |`  *MetSp )  Fn  *MetSp  /\  A. x  e. 
*MetSp  ( ( TopOpen  |`  *MetSp ) `  x
)  e.  Top )
)
150141, 148, 149mpbir2an 929 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen  |`  *MetSp ) : *MetSp --> Top
151 fco2 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( TopOpen  |`  *MetSp ) : *MetSp --> Top  /\  R :
I --> *MetSp )  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
152150, 3, 151sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )
153 eqid 2423 . . . . . . . 8  |-  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
15410, 153ptbasfi 20592 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  ( TopOpen  o.  R ) : I --> Top )  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
1551, 152, 154syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =  ( fi
`  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) )
156 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
157156mopntop 21451 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
15818, 157syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  Top )
15914, 17, 15, 1, 5prdsbas2 15364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  ( Base `  ( R `  k
) ) )
1603, 74sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  K )
1613ffvelrnda 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  *MetSp )
162 xmstps 21464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  k )  e.  *MetSp  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( R `  k )  e.  TopSp )
16436, 73istps 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R `  k )  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  V ) )
165163, 164sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  e.  (TopOn `  V )
)
166160, 165eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V ) )
167 toponuni 19938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  e.  (TopOn `  V )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  V  =  U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
16936, 168syl5eqr 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( Base `  ( R `  k ) )  = 
U. ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
) )
170169ixpeq2dva 7547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  I 
( Base `  ( R `  k ) )  = 
X_ k  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)
171159, 170eqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) )
172 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
173172unieqd 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
)
174173cbvixpv 7550 . . . . . . . . . . 11  |-  X_ k  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )
175171, 174syl6eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) )
176156mopntopon 21450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  e.  (TopOn `  B )
)
17718, 176syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )
)
178 toponmax 19939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
MetOpen `  D )  e.  (TopOn `  B )  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
179177, 178syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( MetOpen `  D ) )
180175, 179eqeltrrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  e.  ( MetOpen `  D )
)
181180snssd 4144 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X_ n  e.  I  U. ( (
TopOpen  o.  R ) `  n ) }  C_  ( MetOpen `  D )
)
182175mpteq1d 4504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
183182ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
w  e.  B  |->  ( w `  k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) )
184183cnveqd 5028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) ) )
185184imaeq1d 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
) )
186 fveq1 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  p  ->  (
w `  k )  =  ( p `  k ) )
187186eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  p  ->  (
( w `  k
)  e.  u  <->  ( p `  k )  e.  u
) )
188 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) )
189188mptpreima 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  { w  e.  B  |  (
w `  k )  e.  u }
190187, 189elrab2 3232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u )  <-> 
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) )
191161, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
192191adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
193 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  K )
194161, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
195194adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  K  =  ( MetOpen `  E
) )
196193, 195eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  u  e.  ( MetOpen `  E )
)
197 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  (
p `  k )  e.  u )
19855mopni2 21504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  u  e.  (
MetOpen `  E )  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) 
C_  u )
199192, 196, 197, 198syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
)
20018ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
201 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  p  e.  B )
202201adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  B )
203 rpxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
204203ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR* )
205156blopn 21511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
206200, 202, 204, 205syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
) )
207 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
r  e.  RR+ )
208 blcntr 21424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR+ )  ->  p  e.  ( p ( ball `  D
) r ) )
209200, 202, 207, 208syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  p  e.  ( p
( ball `  D )
r ) )
210 blssm 21429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  B )  /\  p  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
211200, 202, 204, 210syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  B )
212 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( (
p `  k )
( ball `  E )
r )  C_  u
)
213 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  ph )
214 rpgt0 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
215214ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
0  <  r )
216213, 202, 204, 215, 97syl121anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r )  =  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r ) )
217216eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( w  e.  ( p ( ball `  D
) r )  <->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
218217biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  w  e.  X_ k  e.  I  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
219 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  w  e. 
_V
220219elixp 7539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  <-> 
( w  Fn  I  /\  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) ) )
221220simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  X_ k  e.  I 
( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  A. k  e.  I 
( w `  k
)  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E
) r ) )
222218, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  A. k  e.  I  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
223 simp-4r 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  k  e.  I )
224 rsp 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. k  e.  I  (
w `  k )  e.  ( ( p `  k ) ( ball `  E ) r )  ->  ( k  e.  I  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) ) )
225222, 223, 224sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  ( ( p `  k
) ( ball `  E
) r ) )
226212, 225sseldd 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  (
p `  k )  e.  u ) ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( ( p `
 k ) (
ball `  E )
r )  C_  u
) )  /\  w  e.  ( p ( ball `  D ) r ) )  ->  ( w `  k )  e.  u
)
227211, 226ssrabdv 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  { w  e.  B  |  ( w `
 k )  e.  u } )
228227, 189syl6sseqr 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  -> 
( p ( ball `  D ) r ) 
C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) )
229 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
p  e.  y  <->  p  e.  ( p ( ball `  D ) r ) ) )
230 sseq1 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
231229, 230anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( p (
ball `  D )
r )  ->  (
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
232231rspcev 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( p ( ball `  D ) r )  e.  ( MetOpen `  D
)  /\  ( p  e.  ( p ( ball `  D ) r )  /\  ( p (
ball `  D )
r )  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
233206, 209, 228, 232syl12anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  ( u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
( p `  k
) ( ball `  E
) r )  C_  u ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen
`  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
234199, 233rexlimddv 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  (
u  e.  K  /\  ( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u ) ) )  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
235234expr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( p  e.  B  /\  ( p `  k
)  e.  u )  ->  E. y  e.  (
MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) ) )
236190, 235syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  ->  E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
237236ralrimiv 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
238158ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Top )
239 eltop2 19987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) E. y  e.  ( MetOpen `  D ) ( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  (
( `' ( w  e.  B  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. p  e.  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k
) ) " u
) E. y  e.  ( MetOpen `  D )
( p  e.  y  /\  y  C_  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
241237, 240mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  B  |->  ( w `  k ) ) "
u )  e.  (
MetOpen `  D ) )
242185, 241eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  I )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
243242ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
)
244160raleqdv 3032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  K  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
245243, 244mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  I )  ->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
246245ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
247 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( TopOpen  o.  R ) `  k )  =  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) )
248 fveq2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  m  ->  (
w `  k )  =  ( w `  m ) )
249248mpteq2dv 4510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  (
w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
250249cnveqd 5028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) )
251250imaeq1d 5185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )
252251eleq1d 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n )  |->  ( w `
 m ) )
" u )  e.  ( MetOpen `  D )
) )
253247, 252raleqbidv 3040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  ( A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) ) )
254253cbvralv 3056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  k
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  A. m  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
255246, 254sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  I  A. u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D ) )
256 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  =  ( m  e.  I ,  u  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )
257256fmpt2x 6872 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  I  A. u  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  m ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
)  e.  ( MetOpen `  D )  <->  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
) )
258255, 257sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
) )
259 frn 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  I ,  u  e.  ( (
TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) : U_ m  e.  I  ( { m }  X.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )
) --> ( MetOpen `  D
)  ->  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  C_  ( MetOpen
`  D ) )
260258, 259syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) )  C_  ( MetOpen
`  D ) )
261181, 260unssd 3644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) )  C_  ( MetOpen `  D )
)
262 fiss 7946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( MetOpen `  D )  e.  Top  /\  ( {
X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) )  C_  ( MetOpen `  D )
)  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  I  U. (
( TopOpen  o.  R ) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  (
( TopOpen  o.  R ) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) 
C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
263158, 261, 262syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n ) }  u.  ran  ( m  e.  I ,  u  e.  ( ( TopOpen  o.  R
) `  m )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  I  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  n )  |->  ( w `  m
) ) " u
) ) ) ) 
C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
264155, 263eqsstrd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  C_  ( fi `  ( MetOpen `  D )
) )
265 fitop 19926 . . . . . . 7  |-  ( (
MetOpen `  D )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( MetOpen `  D )
)  =  ( MetOpen `  D ) )
266158, 265syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( MetOpen
`  D ) )  =  ( MetOpen `  D
) )
267156mopnval 21449 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  B )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) ) )
26818, 267syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
269 tgdif0 20004 . . . . . . 7  |-  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) )  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D ) )
270268, 269syl6eqr 2482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
271266, 270eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( MetOpen
`  D ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
272264, 271sseqtrd 3502 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) ) )
273 2basgen 20002 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} )  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C ) )
274138, 272, 273syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D )  \  { (/) } ) )  =  ( topGen `  C
) )
27512, 274eqtr4d 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( topGen `  ( ran  ( ball `  D
)  \  { (/) } ) ) )
276 prdsxms.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  Y )
27714, 15, 1, 5, 276prdstopn 20639 . 2  |-  ( ph  ->  J  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) )
278275, 277, 2703eqtr4d 2474 1  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   {cab 2408    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3435    u. cun 3436    C_ wss 3438   (/)c0 3763   {csn 3998   U.cuni 4218   U_ciun 4298   class class class wbr 4422    |-> cmpt 4481    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855    o. ccom 4856    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6304    |-> cmpt2 6306   X_cixp 7532   Fincfn 7579   ficfi 7932   0cc0 9545   RR*cxr 9680    < clt 9681   RR+crp 11308   Basecbs 15118   distcds 15196   TopOpenctopn 15317   topGenctg 15333   Xt_cpt 15334   X_scprds 15341   *Metcxmt 18952   ballcbl 18954   MetOpencmopn 18957   Topctop 19913  TopOnctopon 19914   TopSpctps 19915   *MetSpcxme 21328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fi 7933  df-sup 7964  df-inf 7965  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-xneg 11415  df-xadd 11416  df-xmul 11417  df-icc 11648  df-fz 11791  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-ip 15205  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-hom 15211  df-cco 15212  df-rest 15318  df-topn 15319  df-topgen 15339  df-pt 15340  df-prds 15343  df-psmet 18959  df-xmet 18960  df-bl 18962  df-mopn 18963  df-top 19917  df-bases 19918  df-topon 19919  df-topsp 19920  df-xms 21331
This theorem is referenced by:  prdsxms  21541
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