MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxms Structured version   Unicode version

Theorem prdsxms 20238
Description: The indexed product structure is an extended metric space when the index set is finite. (Although the extended metric is still valid when the index set is infinite, it no longer agrees with the product topology, which is not metrizable in any case.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
Assertion
Ref Expression
prdsxms  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  Y  e.  *MetSp )

Proof of Theorem prdsxms
Dummy variables  g 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsxms.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  S  e.  W
)
3 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  I  e.  Fin )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( dist `  Y )  =  (
dist `  Y )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
6 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  R : I --> *MetSp )
71, 2, 3, 4, 5, 6prdsxmslem1 20236 . . 3  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( dist `  Y
)  e.  ( *Met `  ( Base `  Y ) ) )
8 ssid 3484 . . 3  |-  ( Base `  Y )  C_  ( Base `  Y )
9 xmetres2 20069 . . 3  |-  ( ( ( dist `  Y
)  e.  ( *Met `  ( Base `  Y ) )  /\  ( Base `  Y )  C_  ( Base `  Y
) )  ->  (
( dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  Y
) ) )
107, 8, 9sylancl 662 . 2  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( ( dist `  Y )  |`  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  Y )
) )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  Y )  =  (
TopOpen `  Y )
12 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( R `  k
) )  =  (
Base `  ( R `  k ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (
dist `  ( R `  k ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  k )
)  X.  ( Base `  ( R `  k
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  k
) )  |`  (
( Base `  ( R `  k ) )  X.  ( Base `  ( R `  k )
) ) )
14 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  ( R `  k ) )  =  ( TopOpen `  ( R `  k ) )
15 eqid 2454 . . . 4  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k
)  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }  =  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  I  /\  A. k  e.  I  ( g `  k )  e.  ( ( TopOpen  o.  R ) `  k )  /\  E. z  e.  Fin  A. k  e.  ( I  \  z
) ( g `  k )  =  U. ( ( TopOpen  o.  R
) `  k )
)  /\  x  =  X_ k  e.  I  ( g `  k ) ) }
161, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15prdsxmslem2 20237 . . 3  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( TopOpen `  Y
)  =  ( MetOpen `  ( dist `  Y )
) )
17 xmetf 20037 . . . . 5  |-  ( (
dist `  Y )  e.  ( *Met `  ( Base `  Y )
)  ->  ( dist `  Y ) : ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) --> RR* )
18 ffn 5668 . . . . 5  |-  ( (
dist `  Y ) : ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) -->
RR*  ->  ( dist `  Y
)  Fn  ( (
Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
19 fnresdm 5629 . . . . 5  |-  ( (
dist `  Y )  Fn  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) )  -> 
( ( dist `  Y
)  |`  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) )  =  ( dist `  Y ) )
207, 17, 18, 194syl 21 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( ( dist `  Y )  |`  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )  =  ( dist `  Y
) )
2120fveq2d 5804 . . 3  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( MetOpen `  (
( dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( dist `  Y )
) )
2216, 21eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  ( TopOpen `  Y
)  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  Y
)  |`  ( ( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y ) ) ) ) )
23 eqid 2454 . . 3  |-  ( (
dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  =  ( ( dist `  Y )  |`  (
( Base `  Y )  X.  ( Base `  Y
) ) )
2411, 5, 23isxms2 20156 . 2  |-  ( Y  e.  *MetSp  <->  ( (
( dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  Y
) )  /\  ( TopOpen
`  Y )  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  Y )  |`  ( ( Base `  Y
)  X.  ( Base `  Y ) ) ) ) ) )
2510, 22, 24sylanbrc 664 1  |-  ( ( S  e.  W  /\  I  e.  Fin  /\  R : I --> *MetSp )  ->  Y  e.  *MetSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800    \ cdif 3434    C_ wss 3437   U.cuni 4200    X. cxp 4947    |` cres 4951    o. ccom 4953    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   X_cixp 7374   Fincfn 7421   RR*cxr 9529   Basecbs 14293   distcds 14367   TopOpenctopn 14480   X_scprds 14504   *Metcxmt 17927   MetOpencmopn 17932   *MetSpcxme 20025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-xms 20028
This theorem is referenced by:  prdsms  20239  pwsxms  20240  xpsxms  20242
  Copyright terms: Public domain W3C validator