Theorem prdsxmetlem 21461

Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsdsf.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsdsf.v	|- V = ( Base ` R )
prdsdsf.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsdsf.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsdsf.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsdsf.i	|- ( ph -> I e. X )
prdsdsf.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsdsf.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsxmetlem	|- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x   x, B   x, D

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem

Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
2		fvex 5889	. . . 4 |- ( Base ` Y ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2545	. . 3 |- B e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> B e. _V )
5		prdsdsf.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
6		prdsdsf.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
7		prdsdsf.e	. . . 4 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
8		prdsdsf.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
9		prdsdsf.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. W )
10		prdsdsf.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. X )
11		prdsdsf.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
12		prdsdsf.m	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
13	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	prdsdsf 21460	. . 3 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
14		iccssxr 11742	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
15		fss 5749	. . 3 |- ( ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> D : ( B X. B ) --> RR* )
16	13, 14, 15	sylancl 675	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR* )
17	13	fovrnda 6459	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		elxrge0 11767	. . . 4 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( f D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( f D g ) ) )
19	18	simprbi 471	. . 3 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( f D g ) )
20	17, 19	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 <_ ( f D g ) )
21	9	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
22	10	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. X )
23	11	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
24	23	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. Z )
25		simprl 772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
26		simprr 774	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
27	5, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8	prdsdsval3 15461	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
28	27	breq1d 4405	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 ) )
29	12	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
30	5, 1, 21, 22, 24, 6, 25	prdsbascl 15459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
31	30	r19.21bi 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
32	5, 1, 21, 22, 24, 6, 26	prdsbascl 15459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
33	32	r19.21bi 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
34		xmetcl 21424	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
35	29, 31, 33, 34	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
37	35, 36	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
38		frn 5747	. . . . . 6 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
40		0xr 9705	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR* )
42	41	snssd 4108	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR* )
43	39, 42	unssd 3601	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
44		supxrleub 11637	. . . 4 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
45	43, 40, 44	sylancl 675	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
46		0le0 10721	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
47		c0ex 9655	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
48		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ 0 ) )
49	47, 48	ralsn 4001	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { 0 } z <_ 0 <-> 0 <_ 0 )
50	46, 49	mpbir 214	. . . . . 6 |- A. z e. { 0 } z <_ 0
51		ralunb 3606	. . . . . 6 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 /\ A. z e. { 0 } z <_ 0 ) )
52	50, 51	mpbiran2 933	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 )
53		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
54	53	rgenw 2768	. . . . . 6 |- A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
55		breq1 4398	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ 0 <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
56	36, 55	ralrnmpt 6046	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
57	54, 56	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
58	52, 57	bitri 257	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
59		xmetge0 21437	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
60	29, 31, 33, 59	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
61	60	biantrud 515	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
62		xrletri3 11474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
63	35, 40, 62	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
64		xmeteq0 21431	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
65	29, 31, 33, 64	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
66	61, 63, 65	3bitr2d 289	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
67	66	ralbidva 2828	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
68		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
69	68	fnmpt 5714	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I R e. Z -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
70	23, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
71	70	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
72	5, 1, 21, 22, 71, 25	prdsbasfn 15447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f Fn I )
73	5, 1, 21, 22, 71, 26	prdsbasfn 15447	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g Fn I )
74		eqfnfv 5991	. . . . . 6 |- ( ( f Fn I /\ g Fn I ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
76	67, 75	bitr4d 264	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> f = g ) )
77	58, 76	syl5bb 265	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> f = g ) )
78	28, 45, 77	3bitrd 287	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> f = g ) )
79	27	3adantr3 1191	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
80	79	3adant3 1050	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
81	12	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
82	30	3adantr3 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
83	82	3adant3 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
84	83	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
85	32	3adantr3 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
86	85	3adant3 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
87	86	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
88	81, 84, 87, 34	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
89	9	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> S e. W )
90	10	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> I e. X )
91	23	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I R e. Z )
92		simp23 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> h e. B )
93	5, 1, 89, 90, 91, 6, 92	prdsbascl 15459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( h ` x ) e. V )
94	93	r19.21bi 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h ` x ) e. V )
95		xmetcl 21424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
96	81, 94, 84, 95	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
97		simp3l 1058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. RR )
98	97	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) e. RR )
99		xmetge0 21437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
100	81, 94, 84, 99	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
101		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
102	96, 101	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
103		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
105	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 e. RR* )
106	105	snssd 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> { 0 } C_ RR* )
107	104, 106	unssd 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
108	107	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
109		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
110		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
111	110	elabrex 6166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
112	111	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
113	101	rnmpt 5086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) }
114	112, 113	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
115	109, 114	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
116		supxrub 11635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
117	108, 115, 116	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
118		simp21 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> f e. B )
119	5, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8	prdsdsval3 15461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
120	119	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
121	117, 120	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) )
122		xrrege0 11492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( h D f ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
123	96, 98, 100, 121, 122	syl22anc 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
124		xmetcl 21424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
125	81, 94, 87, 124	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
126		simp3r 1059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. RR )
127	126	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) e. RR )
128		xmetge0 21437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
129	81, 94, 87, 128	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
130		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
131	125, 130	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
132		frn 5747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
134	133, 106	unssd 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
135	134	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
136		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
137		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
138	137	elabrex 6166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
139	138	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
140	130	rnmpt 5086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) }
141	139, 140	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
142	136, 141	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
143		supxrub 11635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
144	135, 142, 143	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
145		simp22 1064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> g e. B )
146	5, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8	prdsdsval3 15461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
147	146	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
148	144, 147	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) )
149		xrrege0 11492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( h D g ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
150	125, 127, 129, 148, 149	syl22anc 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
151	123, 150	readdcld 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR )
152	81, 84, 87, 59	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
153		xmettri2 21433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
154	81, 94, 84, 87, 153	syl13anc 1294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
155		rexadd 11548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
156	123, 150, 155	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
157	154, 156	breqtrd 4420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
158		xrrege0 11492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
159	88, 151, 152, 157, 158	syl22anc 1293	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
160		readdcl 9640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
161	160	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
162	161	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
163	123, 150, 98, 127, 121, 148	le2addd 10253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
164	159, 151, 162, 157, 163	letrd 9809	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
165	164	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
166	88	ralrimiva 2809	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
167		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
168	36, 167	ralrnmpt 6046	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
169	166, 168	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
170	165, 169	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
171	13	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
172	171, 92, 118	fovrnd 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
173		elxrge0 11767	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D f ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D f ) ) )
174	173	simprbi 471	. . . . . . . 8 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D f ) )
175	172, 174	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D f ) )
176	171, 92, 145	fovrnd 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
177		elxrge0 11767	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D g ) ) )
178	177	simprbi 471	. . . . . . . 8 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D g ) )
179	176, 178	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D g ) )
180	97, 126, 175, 179	addge0d 10210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
181		breq1 4398	. . . . . . 7 |- ( z = 0 -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
182	47, 181	ralsn 4001	. . . . . 6 |- ( A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
183	180, 182	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
184		ralunb 3606	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) /\ A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
185	170, 183, 184	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
186	43	3adantr3 1191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
187	186	3adant3 1050	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
188	161	rexrd 9708	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* )
189		supxrleub 11637	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
190	187, 188, 189	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
191	185, 190	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
192	80, 191	eqbrtrd 4416	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
193	4, 16, 20, 78, 192	isxmet2d 21420	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663   Basecbs 15199   distcds 15277   X__scprds 15422   *Metcxmt 19032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-prds 15424  df-xmet 19040

This theorem is referenced by:  prdsxmet  21462