Theorem prdsxmetlem 21395

Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsdsf.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsdsf.v	|- V = ( Base ` R )
prdsdsf.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsdsf.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsdsf.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsdsf.i	|- ( ph -> I e. X )
prdsdsf.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsdsf.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsxmetlem	|- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x   x, B   x, D

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem

Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
2		fvex 5880	. . . 4 |- ( Base ` Y ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2527	. . 3 |- B e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> B e. _V )
5		prdsdsf.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
6		prdsdsf.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
7		prdsdsf.e	. . . 4 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
8		prdsdsf.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
9		prdsdsf.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. W )
10		prdsdsf.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. X )
11		prdsdsf.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
12		prdsdsf.m	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
13	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	prdsdsf 21394	. . 3 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
14		iccssxr 11724	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
15		fss 5742	. . 3 |- ( ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> D : ( B X. B ) --> RR* )
16	13, 14, 15	sylancl 669	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR* )
17	13	fovrnda 6445	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		elxrge0 11748	. . . 4 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( f D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( f D g ) ) )
19	18	simprbi 466	. . 3 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( f D g ) )
20	17, 19	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 <_ ( f D g ) )
21	9	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
22	10	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. X )
23	11	ralrimiva 2804	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
24	23	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. Z )
25		simprl 765	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
26		simprr 767	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
27	5, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8	prdsdsval3 15395	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
28	27	breq1d 4415	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 ) )
29	12	adantlr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
30	5, 1, 21, 22, 24, 6, 25	prdsbascl 15393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
31	30	r19.21bi 2759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
32	5, 1, 21, 22, 24, 6, 26	prdsbascl 15393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
33	32	r19.21bi 2759	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
34		xmetcl 21358	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
35	29, 31, 33, 34	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
37	35, 36	fmptd 6051	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
38		frn 5740	. . . . . 6 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
40		0xr 9692	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR* )
42	41	snssd 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR* )
43	39, 42	unssd 3612	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
44		supxrleub 11619	. . . 4 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
45	43, 40, 44	sylancl 669	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
46		0le0 10706	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
47		c0ex 9642	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
48		breq1 4408	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ 0 ) )
49	47, 48	ralsn 4012	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { 0 } z <_ 0 <-> 0 <_ 0 )
50	46, 49	mpbir 213	. . . . . 6 |- A. z e. { 0 } z <_ 0
51		ralunb 3617	. . . . . 6 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 /\ A. z e. { 0 } z <_ 0 ) )
52	50, 51	mpbiran2 931	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 )
53		ovex 6323	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
54	53	rgenw 2751	. . . . . 6 |- A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
55		breq1 4408	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ 0 <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
56	36, 55	ralrnmpt 6036	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
57	54, 56	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
58	52, 57	bitri 253	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
59		xmetge0 21371	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
60	29, 31, 33, 59	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
61	60	biantrud 510	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
62		xrletri3 11458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
63	35, 40, 62	sylancl 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
64		xmeteq0 21365	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
65	29, 31, 33, 64	syl3anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
66	61, 63, 65	3bitr2d 285	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
67	66	ralbidva 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
68		eqid 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
69	68	fnmpt 5709	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I R e. Z -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
70	23, 69	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
71	70	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
72	5, 1, 21, 22, 71, 25	prdsbasfn 15381	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f Fn I )
73	5, 1, 21, 22, 71, 26	prdsbasfn 15381	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g Fn I )
74		eqfnfv 5981	. . . . . 6 |- ( ( f Fn I /\ g Fn I ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
76	67, 75	bitr4d 260	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> f = g ) )
77	58, 76	syl5bb 261	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> f = g ) )
78	28, 45, 77	3bitrd 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> f = g ) )
79	27	3adantr3 1170	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
80	79	3adant3 1029	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
81	12	3ad2antl1 1171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
82	30	3adantr3 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
83	82	3adant3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
84	83	r19.21bi 2759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
85	32	3adantr3 1170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
86	85	3adant3 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
87	86	r19.21bi 2759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
88	81, 84, 87, 34	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
89	9	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> S e. W )
90	10	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> I e. X )
91	23	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I R e. Z )
92		simp23 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> h e. B )
93	5, 1, 89, 90, 91, 6, 92	prdsbascl 15393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( h ` x ) e. V )
94	93	r19.21bi 2759	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h ` x ) e. V )
95		xmetcl 21358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
96	81, 94, 84, 95	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
97		simp3l 1037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. RR )
98	97	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) e. RR )
99		xmetge0 21371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
100	81, 94, 84, 99	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
101		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
102	96, 101	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
103		frn 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
105	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 e. RR* )
106	105	snssd 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> { 0 } C_ RR* )
107	104, 106	unssd 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
108	107	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
109		ssun1 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
110		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
111	110	elabrex 6153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
112	111	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
113	101	rnmpt 5083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) }
114	112, 113	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
115	109, 114	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
116		supxrub 11617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
117	108, 115, 116	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
118		simp21 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> f e. B )
119	5, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8	prdsdsval3 15395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
120	119	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
121	117, 120	breqtrrd 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) )
122		xrrege0 11476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( h D f ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
123	96, 98, 100, 121, 122	syl22anc 1270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
124		xmetcl 21358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
125	81, 94, 87, 124	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
126		simp3r 1038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. RR )
127	126	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) e. RR )
128		xmetge0 21371	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
129	81, 94, 87, 128	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
130		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
131	125, 130	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
132		frn 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
134	133, 106	unssd 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
135	134	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
136		ssun1 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
137		ovex 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
138	137	elabrex 6153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
139	138	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
140	130	rnmpt 5083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) }
141	139, 140	syl6eleqr 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
142	136, 141	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
143		supxrub 11617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
144	135, 142, 143	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
145		simp22 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> g e. B )
146	5, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8	prdsdsval3 15395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
147	146	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
148	144, 147	breqtrrd 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) )
149		xrrege0 11476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( h D g ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
150	125, 127, 129, 148, 149	syl22anc 1270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
151	123, 150	readdcld 9675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR )
152	81, 84, 87, 59	syl3anc 1269	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
153		xmettri2 21367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
154	81, 94, 84, 87, 153	syl13anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
155		rexadd 11532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
156	123, 150, 155	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
157	154, 156	breqtrd 4430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
158		xrrege0 11476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
159	88, 151, 152, 157, 158	syl22anc 1270	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
160		readdcl 9627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
161	160	3ad2ant3 1032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
162	161	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
163	123, 150, 98, 127, 121, 148	le2addd 10239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
164	159, 151, 162, 157, 163	letrd 9797	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
165	164	ralrimiva 2804	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
166	88	ralrimiva 2804	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
167		breq1 4408	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
168	36, 167	ralrnmpt 6036	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
169	166, 168	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
170	165, 169	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
171	13	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
172	171, 92, 118	fovrnd 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
173		elxrge0 11748	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D f ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D f ) ) )
174	173	simprbi 466	. . . . . . . 8 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D f ) )
175	172, 174	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D f ) )
176	171, 92, 145	fovrnd 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
177		elxrge0 11748	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D g ) ) )
178	177	simprbi 466	. . . . . . . 8 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D g ) )
179	176, 178	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D g ) )
180	97, 126, 175, 179	addge0d 10196	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
181		breq1 4408	. . . . . . 7 |- ( z = 0 -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
182	47, 181	ralsn 4012	. . . . . 6 |- ( A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
183	180, 182	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
184		ralunb 3617	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) /\ A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
185	170, 183, 184	sylanbrc 671	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
186	43	3adantr3 1170	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
187	186	3adant3 1029	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
188	161	rexrd 9695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* )
189		supxrleub 11619	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
190	187, 188, 189	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
191	185, 190	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
192	80, 191	eqbrtrd 4426	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
193	4, 16, 20, 78, 192	isxmet2d 21354	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   E.wrex 2740   _Vcvv 3047   u. cun 3404   C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   0cc0 9544   + caddc 9547   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   +ecxad 11414   [,]cicc 11645   Basecbs 15133   distcds 15211   X__scprds 15356   *Metcxmt 18967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-hom 15226  df-cco 15227  df-prds 15358  df-xmet 18975

This theorem is referenced by:  prdsxmet  21396