Theorem prdsxmetlem 18351

Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsdsf.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsdsf.v	|- V = ( Base ` R )
prdsdsf.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsdsf.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsdsf.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsdsf.i	|- ( ph -> I e. X )
prdsdsf.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsdsf.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( * Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsxmetlem	|- ( ph -> D e. ( * Met ` B ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x   x, B   x, D

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem

Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
2		fvex 5701	. . . 4 |- ( Base ` Y ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2474	. . 3 |- B e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> B e. _V )
5		prdsdsf.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
6		prdsdsf.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
7		prdsdsf.e	. . . 4 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
8		prdsdsf.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
9		prdsdsf.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. W )
10		prdsdsf.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. X )
11		prdsdsf.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
12		prdsdsf.m	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( * Met ` V ) )
13	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	prdsdsf 18350	. . 3 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
14		iccssxr 10949	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
15		fss 5558	. . 3 |- ( ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> D : ( B X. B ) --> RR* )
16	13, 14, 15	sylancl 644	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR* )
17	13	fovrnda 6176	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		elxrge0 10964	. . . 4 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( f D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( f D g ) ) )
19	18	simprbi 451	. . 3 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( f D g ) )
20	17, 19	syl 16	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 <_ ( f D g ) )
21	9	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
22	10	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. X )
23	11	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
24	23	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. Z )
25		simprl 733	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
26		simprr 734	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
27	5, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8	prdsdsval3 13662	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
28	27	breq1d 4182	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 ) )
29	12	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( * Met ` V ) )
30	5, 1, 21, 22, 24, 6, 25	prdsbascl 13660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
31	30	r19.21bi 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
32	5, 1, 21, 22, 24, 6, 26	prdsbascl 13660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
33	32	r19.21bi 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
34		xmetcl 18314	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
35	29, 31, 33, 34	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
37	35, 36	fmptd 5852	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
38		frn 5556	. . . . . 6 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
40		0xr 9087	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR* )
42	41	snssd 3903	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR* )
43	39, 42	unssd 3483	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
44		supxrleub 10861	. . . 4 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
45	43, 40, 44	sylancl 644	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
46		0le0 10037	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
47		c0ex 9041	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
48		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ 0 ) )
49	47, 48	ralsn 3809	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { 0 } z <_ 0 <-> 0 <_ 0 )
50	46, 49	mpbir 201	. . . . . 6 |- A. z e. { 0 } z <_ 0
51		ralunb 3488	. . . . . 6 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 /\ A. z e. { 0 } z <_ 0 ) )
52	50, 51	mpbiran2 886	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 )
53		ovex 6065	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
54	53	rgenw 2733	. . . . . 6 |- A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
55		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ 0 <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
56	36, 55	ralrnmpt 5837	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
57	54, 56	ax-mp 8	. . . . 5 |- ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
58	52, 57	bitri 241	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
59		xmetge0 18327	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
60	29, 31, 33, 59	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
61	60	biantrud 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
62		xrletri3 10701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
63	35, 40, 62	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
64		xmeteq0 18321	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
65	29, 31, 33, 64	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
66	61, 63, 65	3bitr2d 273	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
67	66	ralbidva 2682	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
68		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
69	68	fnmpt 5530	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I R e. Z -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
70	23, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
71	70	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
72	5, 1, 21, 22, 71, 25	prdsbasfn 13648	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f Fn I )
73	5, 1, 21, 22, 71, 26	prdsbasfn 13648	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g Fn I )
74		eqfnfv 5786	. . . . . 6 |- ( ( f Fn I /\ g Fn I ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
76	67, 75	bitr4d 248	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> f = g ) )
77	58, 76	syl5bb 249	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> f = g ) )
78	28, 45, 77	3bitrd 271	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> f = g ) )
79	27	3adantr3 1118	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
80	79	3adant3 977	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
81	12	3ad2antl1 1119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( * Met ` V ) )
82	30	3adantr3 1118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
83	82	3adant3 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
84	83	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
85	32	3adantr3 1118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
86	85	3adant3 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
87	86	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
88	81, 84, 87, 34	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
89	9	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> S e. W )
90	10	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> I e. X )
91	23	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I R e. Z )
92		simp23 992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> h e. B )
93	5, 1, 89, 90, 91, 6, 92	prdsbascl 13660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( h ` x ) e. V )
94	93	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h ` x ) e. V )
95		xmetcl 18314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
96	81, 94, 84, 95	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
97		simp3l 985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. RR )
98	97	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) e. RR )
99		xmetge0 18327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
100	81, 94, 84, 99	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
101		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
102	96, 101	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
103		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
105	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 e. RR* )
106	105	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> { 0 } C_ RR* )
107	104, 106	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
108	107	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
109		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
110		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
111	110	elabrex 5944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
112	111	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
113	101	rnmpt 5075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) }
114	112, 113	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
115	109, 114	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
116		supxrub 10859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
117	108, 115, 116	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
118		simp21 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> f e. B )
119	5, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8	prdsdsval3 13662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
120	119	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
121	117, 120	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) )
122		xrrege0 10718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( h D f ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
123	96, 98, 100, 121, 122	syl22anc 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
124		xmetcl 18314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
125	81, 94, 87, 124	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
126		simp3r 986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. RR )
127	126	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) e. RR )
128		xmetge0 18327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
129	81, 94, 87, 128	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
130		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
131	125, 130	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
132		frn 5556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
134	133, 106	unssd 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
135	134	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
136		ssun1 3470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
137		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
138	137	elabrex 5944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
139	138	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
140	130	rnmpt 5075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) }
141	139, 140	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
142	136, 141	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
143		supxrub 10859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
144	135, 142, 143	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
145		simp22 991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> g e. B )
146	5, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8	prdsdsval3 13662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
147	146	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
148	144, 147	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) )
149		xrrege0 10718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( h D g ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
150	125, 127, 129, 148, 149	syl22anc 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
151	123, 150	readdcld 9071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR )
152	81, 84, 87, 59	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
153		xmettri2 18323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E e. ( * Met ` V ) /\ ( ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
154	81, 94, 84, 87, 153	syl13anc 1186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
155		rexadd 10774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
156	123, 150, 155	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
157	154, 156	breqtrd 4196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
158		xrrege0 10718	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
159	88, 151, 152, 157, 158	syl22anc 1185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
160		readdcl 9029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
161	160	3ad2ant3 980	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
162	161	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
163	123, 150, 98, 127, 121, 148	le2addd 9600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
164	159, 151, 162, 157, 163	letrd 9183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
165	164	ralrimiva 2749	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
166	88	ralrimiva 2749	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
167		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
168	36, 167	ralrnmpt 5837	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
169	166, 168	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
170	165, 169	mpbird 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
171	13	3ad2ant1 978	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
172	171, 92, 118	fovrnd 6177	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
173		elxrge0 10964	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D f ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D f ) ) )
174	173	simprbi 451	. . . . . . . 8 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D f ) )
175	172, 174	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D f ) )
176	171, 92, 145	fovrnd 6177	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
177		elxrge0 10964	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D g ) ) )
178	177	simprbi 451	. . . . . . . 8 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D g ) )
179	176, 178	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D g ) )
180	97, 126, 175, 179	addge0d 9558	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
181		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( z = 0 -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
182	47, 181	ralsn 3809	. . . . . 6 |- ( A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
183	180, 182	sylibr 204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
184		ralunb 3488	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) /\ A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
185	170, 183, 184	sylanbrc 646	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
186	43	3adantr3 1118	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
187	186	3adant3 977	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
188	161	rexrd 9090	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* )
189		supxrleub 10861	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
190	187, 188, 189	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
191	185, 190	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
192	80, 191	eqbrtrd 4192	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
193	4, 16, 20, 78, 192	isxmet2d 18310	1 |- ( ph -> D e. ( * Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   u. cun 3278   C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   + ecxad 10664   [,]cicc 10875   Basecbs 13424   distcds 13493   X__scprds 13624   * Metcxmt 16641

This theorem is referenced by:  prdsxmet  18352

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-xmet 16650