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Theorem prdsxmetlem 20997
Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x    x, B    x, D
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables  f 
g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2 fvex 5882 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
31, 2eqeltri 2541 . . 3  |-  B  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
5 prdsdsf.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
6 prdsdsf.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  R
)
7 prdsdsf.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
8 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9 prdsdsf.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
10 prdsdsf.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
11 prdsdsf.r . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
12 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
135, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12prdsdsf 20996 . . 3  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )
)
14 iccssxr 11632 . . 3  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
15 fss 5745 . . 3  |-  ( ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( 0 [,] +oo )  C_  RR* )  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1613, 14, 15sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> RR* )
1713fovrnda 6445 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18 elxrge0 11654 . . . 4  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( f D g )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( f D g ) ) )
1918simprbi 464 . . 3  |-  ( ( f D g )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( f D g ) )
2017, 19syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  ( f D g ) )
219adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
2210adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
2311ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
25 simprl 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
26 simprr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
275, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8prdsdsval3 14902 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
2827breq1d 4466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
) )
2912adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
305, 1, 21, 22, 24, 6, 25prdsbascl 14900 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
3130r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
325, 1, 21, 22, 24, 6, 26prdsbascl 14900 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3332r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
34 xmetcl 20960 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
3529, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
36 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
3735, 36fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I -->
RR* )
38 frn 5743 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
3937, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
40 0xr 9657 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
4241snssd 4177 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
4339, 42unssd 3676 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
44 supxrleub 11543 . . . 4  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0 ) )
4543, 40, 44sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) z  <_  0 ) )
46 0le0 10646 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
47 c0ex 9607 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
48 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
4947, 48ralsn 4071 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  0  <->  0  <_  0 )
5046, 49mpbir 209 . . . . . 6  |-  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
51 ralunb 3681 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  0
) )
5250, 51mpbiran2 919 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  0 )
53 ovex 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
5453rgenw 2818 . . . . . 6  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
55 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  0  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 ) )
5636, 55ralrnmpt 6041 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_ 
0  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0 ) )
5754, 56ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
5852, 57bitri 249 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
0 )
59 xmetge0 20973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )
6029, 31, 33, 59syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
6160biantrud 507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) ) )
62 xrletri3 11383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
6335, 40, 62sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  /\  0  <_  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) ) )
64 xmeteq0 20967 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6529, 31, 33, 64syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  =  0  <->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6661, 63, 653bitr2d 281 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  0  <->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6766ralbidva 2893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
68 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
6968fnmpt 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
7023, 69syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
7170adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
725, 1, 21, 22, 71, 25prdsbasfn 14888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  Fn  I )
735, 1, 21, 22, 71, 26prdsbasfn 14888 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  Fn  I )
74 eqfnfv 5982 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  I  /\  g  Fn  I )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7572, 73, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f  =  g  <->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
7667, 75bitr4d 256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. x  e.  I  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  0  <->  f  =  g ) )
7758, 76syl5bb 257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  0  <->  f  =  g ) )
7828, 45, 773bitrd 279 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ( f D g )  <_  0  <->  f  =  g ) )
79273adantr3 1157 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
80793adant3 1016 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
81123ad2antl1 1158 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
82303adantr3 1157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
83823adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
8483r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
85323adantr3 1157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
86853adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( g `  x )  e.  V
)
8786r19.21bi 2826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
8881, 84, 87, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
8993ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  S  e.  W )
90103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  I  e.  X )
91233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
92 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  h  e.  B )
935, 1, 89, 90, 91, 6, 92prdsbascl 14900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( h `  x )  e.  V
)
9493r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h `  x )  e.  V )
95 xmetcl 20960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
9681, 94, 84, 95syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
97 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  e.  RR )
99 xmetge0 20973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )
10081, 94, 84, 99syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )
101 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )
10296, 101fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) : I --> RR* )
103 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) 
C_  RR* )
10540a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  e.  RR* )
106105snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
107104, 106unssd 3676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
108107adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
109 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
110 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
111110elabrex 6156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) } )
113101rnmpt 5258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) }
114112, 113syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
115109, 114sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
116 supxrub 11541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
117108, 115, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
118 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  f  e.  B )
1195, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8prdsdsval3 14902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
121117, 120breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( h D f ) )
122 xrrege0 11400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D f )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  <_ 
( h D f ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR )
12396, 98, 100, 121, 122syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR )
124 xmetcl 20960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR* )
12581, 94, 87, 124syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR* )
126 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  RR )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  e.  RR )
128 xmetge0 20973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( h `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  0  <_  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )
12981, 94, 87, 128syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )
130 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )
131125, 130fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR* )
132 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR* )
133131, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) 
C_  RR* )
134133, 106unssd 3676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
136 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )
137 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
138137elabrex 6156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
139138adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  { z  |  E. x  e.  I 
z  =  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) } )
140130rnmpt 5258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  I  z  =  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) }
141139, 140syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
142136, 141sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
143 supxrub 11541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
144135, 142, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
145 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  g  e.  B )
1465, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8prdsdsval3 14902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
h D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) ,  RR* ,  <  )
)
148144, 147breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( h D g ) )
149 xrrege0 11400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( h D g )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( h D g ) ) )  -> 
( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
150125, 127, 129, 148, 149syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
151123, 150readdcld 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  e.  RR )
15281, 84, 87, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  0  <_  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )
153 xmettri2 20969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  V )  /\  ( ( h `
 x )  e.  V  /\  ( f `
 x )  e.  V  /\  ( g `
 x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  ( (
( h `  x
) E ( f `
 x ) ) +e ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
15481, 94, 84, 87, 153syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) +e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
155 rexadd 11456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR  /\  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) +e ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) )  =  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) )
156123, 150, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) ) +e ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  =  ( ( ( h `  x
) E ( f `
 x ) )  +  ( ( h `
 x ) E ( g `  x
) ) ) )
157154, 156breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) ) )
158 xrrege0 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR*  /\  ( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( ( h `
 x ) E ( f `  x
) )  +  ( ( h `  x
) E ( g `
 x ) ) ) ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR )
15988, 151, 152, 157, 158syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
160 readdcl 9592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR )  ->  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
1611603ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
162161adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR )
163123, 150, 98, 127, 121, 148le2addd 10191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( h `  x ) E ( f `  x ) )  +  ( ( h `  x ) E ( g `  x ) ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
164159, 151, 162, 157, 163letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  ( ( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
165164ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
16688ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
RR* )
167 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
16836, 167ralrnmpt 6041 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
169166, 168syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
170165, 169mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
171133ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,] +oo ) )
172171, 92, 118fovrnd 6446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D f )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
173 elxrge0 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( h D f )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( h D f ) ) )
174173simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D f )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( h D f ) )
175172, 174syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D f ) )
176171, 92, 145fovrnd 6446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( h D g )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
177 elxrge0 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( h D g )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( h D g ) ) )
178177simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( h D g )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( h D g ) )
179176, 178syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( h D g ) )
18097, 126, 175, 179addge0d 10149 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
181 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
18247, 181ralsn 4071 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  0  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) ) )
183180, 182sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
184 ralunb 3681 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) z  <_  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  /\  A. z  e.  { 0 } z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
185170, 183, 184sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) z  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) ) )
186433adantr3 1157 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
1871863adant3 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
188161rexrd 9660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( (
h D f )  +  ( h D g ) )  e. 
RR* )
189 supxrleub 11543 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
190187, 188, 189syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( h D f )  +  ( h D g ) )  <->  A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) ) )
191185, 190mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
19280, 191eqbrtrd 4476 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B  /\  h  e.  B )  /\  (
( h D f )  e.  RR  /\  ( h D g )  e.  RR ) )  ->  ( f D g )  <_ 
( ( h D f )  +  ( h D g ) ) )
1934, 16, 20, 78, 192isxmet2d 20956 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   +ecxad 11341   [,]cicc 11557   Basecbs 14644   distcds 14721   X_scprds 14863   *Metcxmt 18530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-prds 14865  df-xmet 18539
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