Theorem prdsxmetlem 19942

Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsdsf.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsdsf.v	|- V = ( Base ` R )
prdsdsf.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsdsf.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsdsf.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsdsf.i	|- ( ph -> I e. X )
prdsdsf.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsdsf.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsxmetlem	|- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x   x, B   x, D

Allowed substitution hints:   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsxmetlem

Dummy variables f g h z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
2		fvex 5700	. . . 4 |- ( Base ` Y ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2512	. . 3 |- B e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> B e. _V )
5		prdsdsf.y	. . . 4 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
6		prdsdsf.v	. . . 4 |- V = ( Base ` R )
7		prdsdsf.e	. . . 4 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
8		prdsdsf.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
9		prdsdsf.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. W )
10		prdsdsf.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. X )
11		prdsdsf.r	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
12		prdsdsf.m	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
13	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	prdsdsf 19941	. . 3 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
14		iccssxr 11377	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
15		fss 5566	. . 3 |- ( ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( 0 [,] +oo ) C_ RR* ) -> D : ( B X. B ) --> RR* )
16	13, 14, 15	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> RR* )
17	13	fovrnda 6233	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		elxrge0 11393	. . . 4 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( f D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( f D g ) ) )
19	18	simprbi 464	. . 3 |- ( ( f D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( f D g ) )
20	17, 19	syl 16	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 <_ ( f D g ) )
21	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
22	10	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. X )
23	11	ralrimiva 2798	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
24	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. Z )
25		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
26		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
27	5, 1, 21, 22, 24, 25, 26, 6, 7, 8	prdsdsval3 14422	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
28	27	breq1d 4301	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 ) )
29	12	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
30	5, 1, 21, 22, 24, 6, 25	prdsbascl 14420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
31	30	r19.21bi 2813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
32	5, 1, 21, 22, 24, 6, 26	prdsbascl 14420	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
33	32	r19.21bi 2813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
34		xmetcl 19905	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
35	29, 31, 33, 34	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
36		eqid 2442	. . . . . . 7 |- ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
37	35, 36	fmptd 5866	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
38		frn 5564	. . . . . 6 |- ( ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
39	37, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
40		0xr 9429	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
41	40	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR* )
42	41	snssd 4017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR* )
43	39, 42	unssd 3531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
44		supxrleub 11288	. . . 4 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
45	43, 40, 44	sylancl 662	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 ) )
46		0le0 10410	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
47		c0ex 9379	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
48		breq1 4294	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> ( z <_ 0 <-> 0 <_ 0 ) )
49	47, 48	ralsn 3914	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { 0 } z <_ 0 <-> 0 <_ 0 )
50	46, 49	mpbir 209	. . . . . 6 |- A. z e. { 0 } z <_ 0
51		ralunb 3536	. . . . . 6 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 /\ A. z e. { 0 } z <_ 0 ) )
52	50, 51	mpbiran2 910	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 )
53		ovex 6115	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
54	53	rgenw 2782	. . . . . 6 |- A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
55		breq1 4294	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ 0 <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
56	36, 55	ralrnmpt 5851	. . . . . 6 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 ) )
57	54, 56	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
58	52, 57	bitri 249	. . . 4 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 )
59		xmetge0 19918	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
60	29, 31, 33, 59	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
61	60	biantrud 507	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
62		xrletri3 11128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
63	35, 40, 62	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) )
64		xmeteq0 19912	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
65	29, 31, 33, 64	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) = 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
66	61, 63, 65	3bitr2d 281	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
67	66	ralbidva 2730	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
68		eqid 2442	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
69	68	fnmpt 5536	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. I R e. Z -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
70	23, 69	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
71	70	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( x e. I |-> R ) Fn I )
72	5, 1, 21, 22, 71, 25	prdsbasfn 14408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f Fn I )
73	5, 1, 21, 22, 71, 26	prdsbasfn 14408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g Fn I )
74		eqfnfv 5796	. . . . . 6 |- ( ( f Fn I /\ g Fn I ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
75	72, 73, 74	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( f = g <-> A. x e. I ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
76	67, 75	bitr4d 256	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ 0 <-> f = g ) )
77	58, 76	syl5bb 257	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ 0 <-> f = g ) )
78	28, 45, 77	3bitrd 279	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ( f D g ) <_ 0 <-> f = g ) )
79	27	3adantr3 1149	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
80	79	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
81	12	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
82	30	3adantr3 1149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
83	82	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
84	83	r19.21bi 2813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) e. V )
85	32	3adantr3 1149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
86	85	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
87	86	r19.21bi 2813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( g ` x ) e. V )
88	81, 84, 87, 34	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
89	9	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> S e. W )
90	10	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> I e. X )
91	23	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I R e. Z )
92		simp23 1023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> h e. B )
93	5, 1, 89, 90, 91, 6, 92	prdsbascl 14420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( h ` x ) e. V )
94	93	r19.21bi 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h ` x ) e. V )
95		xmetcl 19905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
96	81, 94, 84, 95	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* )
97		simp3l 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. RR )
98	97	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) e. RR )
99		xmetge0 19918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
100	81, 94, 84, 99	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
101		eqid 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) )
102	96, 101	fmptd 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* )
103		frn 5564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ RR* )
105	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 e. RR* )
106	105	snssd 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> { 0 } C_ RR* )
107	104, 106	unssd 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
108	107	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
109		ssun1 3518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } )
110		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. _V
111	110	elabrex 5959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
112	111	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) } )
113	101	rnmpt 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) }
114	112, 113	syl6eleqr 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) )
115	109, 114	sseldi 3353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
116		supxrub 11286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
117	108, 115, 116	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
118		simp21 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> f e. B )
119	5, 1, 89, 90, 91, 92, 118, 6, 7, 8	prdsdsval3 14422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
120	119	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D f ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
121	117, 120	breqtrrd 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) )
122		xrrege0 11145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR* /\ ( h D f ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) <_ ( h D f ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
123	96, 98, 100, 121, 122	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR )
124		xmetcl 19905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
125	81, 94, 87, 124	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
126		simp3r 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. RR )
127	126	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) e. RR )
128		xmetge0 19918	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( h ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
129	81, 94, 87, 128	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
130		eqid 2442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) )
131	125, 130	fmptd 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* )
132		frn 5564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) : I --> RR* -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
133	131, 132	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ RR* )
134	133, 106	unssd 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
135	134	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
136		ssun1 3518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) C_ ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } )
137		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. _V
138	137	elabrex 5959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. I -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
139	138	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) } )
140	130	rnmpt 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = { z | E. x e. I z = ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) }
141	139, 140	syl6eleqr 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
142	136, 141	sseldi 3353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) )
143		supxrub 11286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
144	135, 142, 143	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
145		simp22 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> g e. B )
146	5, 1, 89, 90, 91, 92, 145, 6, 7, 8	prdsdsval3 14422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
147	146	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( h D g ) = sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
148	144, 147	breqtrrd 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) )
149		xrrege0 11145	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( h D g ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( h D g ) ) ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
150	125, 127, 129, 148, 149	syl22anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
151	123, 150	readdcld 9412	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR )
152	81, 84, 87, 59	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) )
153		xmettri2 19914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ ( ( h ` x ) e. V /\ ( f ` x ) e. V /\ ( g ` x ) e. V ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
154	81, 94, 84, 87, 153	syl13anc 1220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
155		rexadd 11201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) e. RR /\ ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
156	123, 150, 155	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) +e ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) = ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
157	154, 156	breqtrd 4315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) )
158		xrrege0 11145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* /\ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) e. RR ) /\ ( 0 <_ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) /\ ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) ) ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
159	88, 151, 152, 157, 158	syl22anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR )
160		readdcl 9364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
161	160	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
162	161	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR )
163	123, 150, 98, 127, 121, 148	le2addd 9956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( ( h ` x ) E ( f ` x ) ) + ( ( h ` x ) E ( g ` x ) ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
164	159, 151, 162, 157, 163	letrd 9527	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) /\ x e. I ) -> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
165	164	ralrimiva 2798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
166	88	ralrimiva 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* )
167		breq1 4294	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
168	36, 167	ralrnmpt 5851	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) e. RR* -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
169	166, 168	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. x e. I ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
170	165, 169	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
171	13	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
172	171, 92, 118	fovrnd 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) )
173		elxrge0 11393	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D f ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D f ) ) )
174	173	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( ( h D f ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D f ) )
175	172, 174	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D f ) )
176	171, 92, 145	fovrnd 6234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) )
177		elxrge0 11393	. . . . . . . . 9 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( h D g ) e. RR* /\ 0 <_ ( h D g ) ) )
178	177	simprbi 464	. . . . . . . 8 |- ( ( h D g ) e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( h D g ) )
179	176, 178	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( h D g ) )
180	97, 126, 175, 179	addge0d 9914	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
181		breq1 4294	. . . . . . 7 |- ( z = 0 -> ( z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
182	47, 181	ralsn 3914	. . . . . 6 |- ( A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> 0 <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
183	180, 182	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
184		ralunb 3536	. . . . 5 |- ( A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> ( A. z e. ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) /\ A. z e. { 0 } z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
185	170, 183, 184	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
186	43	3adantr3 1149	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
187	186	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
188	161	rexrd 9432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* )
189		supxrleub 11288	. . . . 5 |- ( ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
190	187, 188, 189	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) <-> A. z e. ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) z <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) ) )
191	185, 190	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) E ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
192	80, 191	eqbrtrd 4311	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B /\ h e. B ) /\ ( ( h D f ) e. RR /\ ( h D g ) e. RR ) ) -> ( f D g ) <_ ( ( h D f ) + ( h D g ) ) )
193	4, 16, 20, 78, 192	isxmet2d 19901	1 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2428   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   u. cun 3325   C_ wss 3327   {csn 3876   class class class wbr 4291   e. cmpt 4349   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   supcsup 7689   RRcr 9280   0cc0 9281   + caddc 9284   +oocpnf 9414   RR*cxr 9416   < clt 9417   <_ cle 9418   +ecxad 11086   [,]cicc 11302   Basecbs 14173   distcds 14246   X__scprds 14383   *Metcxmt 17800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-icc 11306  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-hom 14261  df-cco 14262  df-prds 14385  df-xmet 17809

This theorem is referenced by:  prdsxmet  19943