MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsxmet 20075
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 20074. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ y R
3 nfcsb1v 3410 . . . . 5  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
4 csbeq1a 3403 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
52, 3, 4cbvmpt 4489 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( y  e.  I  |->  [_ y  /  x ]_ R )
65oveq2i 6210 . . 3  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
71, 6eqtri 2483 . 2  |-  Y  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
8 prdsdsf.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 eqid 2454 . 2  |-  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  =  (
Base `  [_ y  /  x ]_ R )
10 eqid 2454 . 2  |-  ( (
dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
11 prdsdsf.d . 2  |-  D  =  ( dist `  Y
)
12 prdsdsf.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
13 prdsdsf.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
14 prdsdsf.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
15 elex 3085 . . . . 5  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
1716ralrimiva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
183nfel1 2631 . . . 4  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
194eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
2018, 19rspc 3171 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
2117, 20mpan9 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
22 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
2322ralrimiva 2829 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
24 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ x dist
2524, 3nffv 5805 . . . . . 6  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
26 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ x Base
2726, 3nffv 5805 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )
2827, 27nfxp 4973 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
2925, 28nfres 5219 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
30 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ x *Met
3130, 27nffv 5805 . . . . 5  |-  F/_ x
( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3229, 31nfel 2628 . . . 4  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
33 prdsdsf.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
344fveq2d 5802 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
35 prdsdsf.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
364fveq2d 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3735, 36syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  V  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3837, 37xpeq12d 4972 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
3934, 38reseq12d 5218 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4033, 39syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  (
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4137fveq2d 5802 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
4240, 41eleq12d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4332, 42rspc 3171 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4423, 43mpan9 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
457, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 44prdsxmetlem 20074 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076   [_csb 3394    |-> cmpt 4457    X. cxp 4945    |` cres 4949   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Basecbs 14291   distcds 14365   X_scprds 14502   *Metcxmt 17925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-hom 14380  df-cco 14381  df-prds 14504  df-xmet 17934
This theorem is referenced by:  prdsmet  20076  xpsxmetlem  20085  prdsbl  20197  prdsxmslem1  20234
  Copyright terms: Public domain W3C validator