MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsxmet 20604
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 20603. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y R
3 nfcsb1v 3451 . . . . 5  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
4 csbeq1a 3444 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
52, 3, 4cbvmpt 4537 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( y  e.  I  |->  [_ y  /  x ]_ R )
65oveq2i 6293 . . 3  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
71, 6eqtri 2496 . 2  |-  Y  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
8 prdsdsf.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 eqid 2467 . 2  |-  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  =  (
Base `  [_ y  /  x ]_ R )
10 eqid 2467 . 2  |-  ( (
dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
11 prdsdsf.d . 2  |-  D  =  ( dist `  Y
)
12 prdsdsf.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
13 prdsdsf.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
14 prdsdsf.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
15 elex 3122 . . . . 5  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
1716ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
183nfel1 2645 . . . 4  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
194eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
2018, 19rspc 3208 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
2117, 20mpan9 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
22 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
2322ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
24 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x dist
2524, 3nffv 5871 . . . . . 6  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
26 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x Base
2726, 3nffv 5871 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )
2827, 27nfxp 5025 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
2925, 28nfres 5273 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
30 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x *Met
3130, 27nffv 5871 . . . . 5  |-  F/_ x
( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3229, 31nfel 2642 . . . 4  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
33 prdsdsf.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
344fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
35 prdsdsf.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
364fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3735, 36syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  V  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3837, 37xpeq12d 5024 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
3934, 38reseq12d 5272 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4033, 39syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  (
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4137fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
4240, 41eleq12d 2549 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4332, 42rspc 3208 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4423, 43mpan9 469 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
457, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 44prdsxmetlem 20603 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483   distcds 14557   X_scprds 14694   *Metcxmt 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-hom 14572  df-cco 14573  df-prds 14696  df-xmet 18180
This theorem is referenced by:  prdsmet  20605  xpsxmetlem  20614  prdsbl  20726  prdsxmslem1  20763
  Copyright terms: Public domain W3C validator