MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Unicode version

Theorem prdsxmet 21164
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 21163. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
Assertion
Ref Expression
prdsxmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ y R
3 nfcsb1v 3389 . . . . 5  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
4 csbeq1a 3382 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
52, 3, 4cbvmpt 4486 . . . 4  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( y  e.  I  |->  [_ y  /  x ]_ R )
65oveq2i 6289 . . 3  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  R ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
71, 6eqtri 2431 . 2  |-  Y  =  ( S X_s ( y  e.  I  |-> 
[_ y  /  x ]_ R ) )
8 prdsdsf.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
9 eqid 2402 . 2  |-  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  =  (
Base `  [_ y  /  x ]_ R )
10 eqid 2402 . 2  |-  ( (
dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
11 prdsdsf.d . 2  |-  D  =  ( dist `  Y
)
12 prdsdsf.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
13 prdsdsf.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
14 prdsdsf.r . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
15 elex 3068 . . . . 5  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
1614, 15syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
1716ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
183nfel1 2580 . . . 4  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
194eleq1d 2471 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
2018, 19rspc 3154 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
2117, 20mpan9 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
22 prdsdsf.m . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( *Met `  V ) )
2322ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V ) )
24 nfcv 2564 . . . . . . 7  |-  F/_ x dist
2524, 3nffv 5856 . . . . . 6  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
26 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ x Base
2726, 3nffv 5856 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )
2827, 27nfxp 4850 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
2925, 28nfres 5096 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
30 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ x *Met
3130, 27nffv 5856 . . . . 5  |-  F/_ x
( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3229, 31nfel 2577 . . . 4  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
33 prdsdsf.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
344fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
35 prdsdsf.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
364fveq2d 5853 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3735, 36syl5eq 2455 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  V  =  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) )
3837sqxpeqd 4849 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
3934, 38reseq12d 5095 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4033, 39syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  (
( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4137fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( *Met `  V )  =  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
4240, 41eleq12d 2484 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( *Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4332, 42rspc 3154 . . 3  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( *Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) ) )
4423, 43mpan9 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( ( Base `  [_ y  /  x ]_ R )  X.  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  [_ y  /  x ]_ R ) ) )
457, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 44prdsxmetlem 21163 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   [_csb 3373    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   distcds 14918   X_scprds 15060   *Metcxmt 18723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-prds 15062  df-xmet 18732
This theorem is referenced by:  prdsmet  21165  xpsxmetlem  21174  prdsbl  21286  prdsxmslem1  21323
  Copyright terms: Public domain W3C validator