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Theorem prdsvsca 15345
Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdsvsca.k  |-  K  =  ( Base `  S
)
prdsvsca.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
Assertion
Ref Expression
prdsvsca  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    f, K, g    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    .x. ( x, f, g)    K( x)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsvsca
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 prdsvsca.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  S
)
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 15342 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 15343 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqid 2422 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 15344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
13 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) ) )
14 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
15 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
16 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
17 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
18 eqidd 2423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
191, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5prdsval 15340 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )  u.  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  { <. f ,  g
>.  |  ( {
f ,  g } 
C_  B  /\  A. x  e.  I  (
f `  x )
( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) }
>. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) >. }  u.  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) ( Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
( Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
20 prdsvsca.m . 2  |-  .x.  =  ( .s `  P )
21 vscaid 15247 . 2  |-  .s  = Slot  ( .s `  ndx )
22 ovssunirn 6330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  ( .s `  ( R `  x ) )
2321strfvss 15126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  ( R `  x )
24 fvssunirn 5900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
25 rnss 5078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
26 uniss 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
2823, 27sstri 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  R
29 rnss 5078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  R  ->  ran  ( .s `  ( R `  x
) )  C_  ran  U.
ran  U. ran  R )
30 uniss 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( .s `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R )
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  ( .s `  ( R `
 x ) ) 
C_  U. ran  U. ran  U.
ran  R
3222, 31sstri 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
33 ovex 6329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
_V
3433elpw 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R  <->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R )
3532, 34mpbir 212 . . . . . . . . 9  |-  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R
3635a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  e. 
~P U. ran  U. ran  U.
ran  R )
37 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )
3836, 37fmptd 6057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R )
39 rnexg 6735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
40 uniexg 6598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
415, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
42 rnexg 6735 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
43 uniexg 6598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
45 rnexg 6735 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
46 uniexg 6598 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
47 pwexg 4604 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  ~P U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4844, 45, 46, 474syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
49 dmexg 6734 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
505, 49syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
513, 50eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
5248, 51elmapd 7490 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  e.  ( ~P U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) : I --> ~P U. ran  U. ran  U. ran  R ) )
5338, 52mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5453ralrimivw 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5554ralrimivw 2840 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  K  A. g  e.  B  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
56 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) )
5756fmpt2 6870 . . . 4  |-  ( A. f  e.  K  A. g  e.  B  (
x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) )  e.  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) : ( K  X.  B ) --> ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5855, 57sylib 199 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
59 fvex 5887 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  e.  _V
602, 59eqeltri 2506 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
61 fvex 5887 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
626, 61eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6360, 62xpex 6605 . . . 4  |-  ( K  X.  B )  e. 
_V
64 ovex 6329 . . . 4  |-  ( ~P
U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
65 fex2 6758 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B
) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( K  X.  B
)  e.  _V  /\  ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )  e.  _V )
6663, 64, 65mp3an23 1352 . . 3  |-  ( ( f  e.  K , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) : ( K  X.  B ) --> ( ~P U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  ->  (
f  e.  K , 
g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e.  _V )
6758, 66syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) )  e. 
_V )
68 snsstp2 4149 . . . 4  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }
69 ssun2 3630 . . . 4  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( S 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .i
`  ( R `  x ) ) ( g `  x ) ) ) ) )
>. } )
7068, 69sstri 3473 . . 3  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
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71 ssun1 3629 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
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7270, 71sstri 3473 . 2  |-  { <. ( .s `  ndx ) ,  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7319, 20, 21, 67, 72prdsvallem 15339 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  ( f  e.  K ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `  x )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   _Vcvv 3081    u. cun 3434    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   {cpr 3998   {ctp 4000   <.cop 4002   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   {copab 4478    |-> cmpt 4479    X. cxp 4847   dom cdm 4849   ran crn 4850    o. ccom 4853   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    |-> cmpt2 6303   1stc1st 6801   2ndc2nd 6802    ^m cmap 7476   X_cixp 7526   supcsup 7956   0cc0 9539   RR*cxr 9674    < clt 9675   ndxcnx 15105   Basecbs 15108   +g cplusg 15177   .rcmulr 15178  Scalarcsca 15180   .scvsca 15181   .icip 15182  TopSetcts 15183   lecple 15184   distcds 15186   Hom chom 15188  compcco 15189   TopOpenctopn 15307   Xt_cpt 15324    gsumg cgsu 15326   X_scprds 15331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-hom 15201  df-cco 15202  df-prds 15333
This theorem is referenced by:  prdsle  15347  prdsds  15349  prdstset  15351  prdshom  15352  prdsco  15353  prdsvscaval  15364
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