Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvsca Structured version   Unicode version

Theorem prdsvsca 14704
 Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p s
prdsbas.s
prdsbas.r
prdsbas.b
prdsbas.i
prdsvsca.k
prdsvsca.m
Assertion
Ref Expression
prdsvsca
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem prdsvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3 s
2 prdsvsca.k . . 3
3 prdsbas.i . . 3
4 prdsbas.s . . . 4
5 prdsbas.r . . . 4
6 prdsbas.b . . . 4
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 14701 . . 3
8 eqid 2460 . . . 4
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 14702 . . 3
10 eqid 2460 . . . 4
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 14703 . . 3
12 eqidd 2461 . . 3
13 eqidd 2461 . . 3 g g
14 eqidd 2461 . . 3
15 eqidd 2461 . . 3
16 eqidd 2461 . . 3
17 eqidd 2461 . . 3
18 eqidd 2461 . . 3 comp comp
191, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5prdsval 14699 . 2 Scalar g TopSet comp comp
20 prdsvsca.m . 2
21 vscaid 14607 . 2 Slot
22 ovssunirn 6301 . . . . . . . . . . 11
2321strfvss 14497 . . . . . . . . . . . . 13
24 fvssunirn 5880 . . . . . . . . . . . . . 14
25 rnss 5222 . . . . . . . . . . . . . 14
26 uniss 4259 . . . . . . . . . . . . . 14
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 27sstri 3506 . . . . . . . . . . . 12
29 rnss 5222 . . . . . . . . . . . 12
30 uniss 4259 . . . . . . . . . . . 12
3128, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
3222, 31sstri 3506 . . . . . . . . . 10
33 ovex 6300 . . . . . . . . . . 11
3433elpw 4009 . . . . . . . . . 10
3532, 34mpbir 209 . . . . . . . . 9
3635a1i 11 . . . . . . . 8
37 eqid 2460 . . . . . . . 8
3836, 37fmptd 6036 . . . . . . 7
39 rnexg 6706 . . . . . . . . . . 11
40 uniexg 6572 . . . . . . . . . . 11
415, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . 10
42 rnexg 6706 . . . . . . . . . 10
43 uniexg 6572 . . . . . . . . . 10
4441, 42, 433syl 20 . . . . . . . . 9
45 rnexg 6706 . . . . . . . . 9
46 uniexg 6572 . . . . . . . . 9
47 pwexg 4624 . . . . . . . . 9
4844, 45, 46, 474syl 21 . . . . . . . 8
49 dmexg 6705 . . . . . . . . . 10
505, 49syl 16 . . . . . . . . 9
513, 50eqeltrrd 2549 . . . . . . . 8
52 elmapg 7423 . . . . . . . 8
5348, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7
5438, 53mpbird 232 . . . . . 6
5554ralrimivw 2872 . . . . 5
5655ralrimivw 2872 . . . 4
57 eqid 2460 . . . . 5
5857fmpt2 6841 . . . 4
5956, 58sylib 196 . . 3
60 fvex 5867 . . . . . 6
612, 60eqeltri 2544 . . . . 5
62 fvex 5867 . . . . . 6
636, 62eqeltri 2544 . . . . 5
6461, 63xpex 6704 . . . 4
65 ovex 6300 . . . 4
66 fex2 6729 . . . 4
6764, 65, 66mp3an23 1311 . . 3
6859, 67syl 16 . 2
69 snsstp2 4172 . . . 4 Scalar g
70 ssun2 3661 . . . 4 Scalar g Scalar g
7169, 70sstri 3506 . . 3 Scalar g
72 ssun1 3660 . . 3 Scalar g Scalar g TopSet comp comp
7371, 72sstri 3506 . 2 Scalar g TopSet comp comp
7419, 20, 21, 68, 73prdsvallem 14698 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  cvv 3106   cun 3467   wss 3469  cpw 4003  csn 4020  cpr 4022  ctp 4024  cop 4026  cuni 4238   class class class wbr 4440  copab 4497   cmpt 4498   cxp 4990   cdm 4992   crn 4993   ccom 4996  wf 5575  cfv 5579  (class class class)co 6275   cmpt2 6277  c1st 6772  c2nd 6773   cmap 7410  cixp 7459  csup 7889  cc0 9481  cxr 9616   clt 9617  cnx 14476  cbs 14479   cplusg 14544  cmulr 14545  Scalarcsca 14547  cvsca 14548  cip 14549  TopSetcts 14550  cple 14551  cds 14553   chom 14555  compcco 14556  ctopn 14666  cpt 14683   g cgsu 14685  scprds 14690 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692 This theorem is referenced by:  prdsle  14706  prdsds  14708  prdstset  14710  prdshom  14711  prdsco  14712  prdsvscaval  14723
 Copyright terms: Public domain W3C validator