Theorem prdsvsca 14398

Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )
prdsvsca.k	|- K = ( Base ` S )
prdsvsca.m	|- .x. = ( .s ` P )

Assertion

Ref	Expression
prdsvsca	|- ( ph -> .x. = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, B   f, K, g   ph, f, g, x   f, I, g, x   P, f, g, x   R, f, g, x   S, f, g, x

Allowed substitution hints:   .x. ( x, f, g)   K( x)   V( x, f, g)   W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsvsca

Dummy variables a c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		prdsvsca.k	. . 3 |- K = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		prdsbas.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
5		prdsbas.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
6		prdsbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6, 3	prdsbas 14395	. . 3 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
8		eqid 2443	. . . 4 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9	1, 4, 5, 6, 3, 8	prdsplusg 14396	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
10		eqid 2443	. . . 4 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
11	1, 4, 5, 6, 3, 10	prdsmulr 14397	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
12		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
13		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
14		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
15		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
16		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
17		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
18		eqidd 2444	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
19	1, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5	prdsval 14393	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
20		prdsvsca.m	. 2 |- .x. = ( .s ` P )
21		vscaid 14301	. 2 |- .s = Slot ( .s ` ndx )
22		ovssunirn 6117	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( .s ` ( R ` x ) )
23	21	strfvss 14192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
24		fvssunirn 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
25		rnss 5068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
26		uniss 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
27	24, 25, 26	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
28	23, 27	sstri 3365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
29		rnss 5068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R -> ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R )
30		uniss 4112	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R -> U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
32	22, 31	sstri 3365	. . . . . . . . . 10 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
33		ovex 6116	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. _V
34	33	elpw 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R <-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
35	32, 34	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R )
37		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
38	36, 37	fmptd 5867	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R )
39		rnexg 6510	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
40		uniexg 6377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
41	5, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
42		rnexg 6510	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
43		uniexg 6377	. . . . . . . . . 10 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
44	41, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
45		rnexg 6510	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran R e. _V -> ran U. ran U. ran R e. _V )
46		uniexg 6377	. . . . . . . . 9 |- ( ran U. ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran U. ran R e. _V )
47		pwexg 4476	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran U. ran R e. _V -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
48	44, 45, 46, 47	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
49		dmexg 6509	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
50	5, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom R e. _V )
51	3, 50	eqeltrrd 2518	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
52		elmapg 7227	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V /\ I e. _V ) -> ( ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
53	48, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
54	38, 53	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
55	54	ralrimivw 2800	. . . . 5 |- ( ph -> A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
56	55	ralrimivw 2800	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
57		eqid 2443	. . . . 5 |- ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
58	57	fmpt2 6641	. . . 4 |- ( A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
59	56, 58	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
60		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` S ) e. _V
61	2, 60	eqeltri 2513	. . . . 5 |- K e. _V
62		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) e. _V
63	6, 62	eqeltri 2513	. . . . 5 |- B e. _V
64	61, 63	xpex 6508	. . . 4 |- ( K X. B ) e. _V
65		ovex 6116	. . . 4 |- ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V
66		fex2 6532	. . . 4 |- ( ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) /\ ( K X. B ) e. _V /\ ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
67	64, 65, 66	mp3an23 1306	. . 3 |- ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
68	59, 67	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
69		snsstp2 4025	. . . 4 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. }
70		ssun2 3520	. . . 4 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
71	69, 70	sstri 3365	. . 3 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
72		ssun1 3519	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
73	71, 72	sstri 3365	. 2 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
74	19, 20, 21, 68, 73	prdsvallem 14392	1 |- ( ph -> .x. = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   u. cun 3326   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   {cpr 3879   {ctp 3881   <.cop 3883   U.cuni 4091   class class class wbr 4292   {copab 4349   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   o. ccom 4844   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   1stc1st 6575   2ndc2nd 6576   ^m cmap 7214   X_cixp 7263   supcsup 7690   0cc0 9282   RR*cxr 9417   < clt 9418   ndxcnx 14171   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   .icip 14243  TopSetcts 14244   lecple 14245   distcds 14247   Hom chom 14249  compcco 14250   TopOpenctopn 14360   Xt_cpt 14377   gsum_g cgsu 14379   X__scprds 14384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-prds 14386

This theorem is referenced by:  prdsle  14400  prdsds  14402  prdstset  14404  prdshom  14405  prdsco  14406  prdsvscaval  14417