Theorem prdsvsca 14704

Description: Scalar multiplication in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbas.p	|- P = ( S X_s R )
prdsbas.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsbas.r	|- ( ph -> R e. W )
prdsbas.b	|- B = ( Base ` P )
prdsbas.i	|- ( ph -> dom R = I )
prdsvsca.k	|- K = ( Base ` S )
prdsvsca.m	|- .x. = ( .s ` P )

Assertion

Ref	Expression
prdsvsca	|- ( ph -> .x. = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, B   f, K, g   ph, f, g, x   f, I, g, x   P, f, g, x   R, f, g, x   S, f, g, x

Allowed substitution hints:   .x. ( x, f, g)   K( x)   V( x, f, g)   W( x, f, g)

Proof of Theorem prdsvsca

Dummy variables a c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbas.p	. . 3 |- P = ( S X_s R )
2		prdsvsca.k	. . 3 |- K = ( Base ` S )
3		prdsbas.i	. . 3 |- ( ph -> dom R = I )
4		prdsbas.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
5		prdsbas.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
6		prdsbas.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
7	1, 4, 5, 6, 3	prdsbas 14701	. . 3 |- ( ph -> B = X_ x e. I ( Base ` ( R ` x ) ) )
8		eqid 2460	. . . 4 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9	1, 4, 5, 6, 3, 8	prdsplusg 14702	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( +g ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
10		eqid 2460	. . . 4 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
11	1, 4, 5, 6, 3, 10	prdsmulr 14703	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` P ) = ( f e. B , g e. B |-> ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .r ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
12		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )
13		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) )
14		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) = ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) )
15		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } = { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } )
16		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
17		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
18		eqidd 2461	. . 3 |- ( ph -> ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) = ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) )
19	1, 2, 3, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 4, 5	prdsval 14699	. 2 |- ( ph -> P = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
20		prdsvsca.m	. 2 |- .x. = ( .s ` P )
21		vscaid 14607	. 2 |- .s = Slot ( .s ` ndx )
22		ovssunirn 6301	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran ( .s ` ( R ` x ) )
23	21	strfvss 14497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran ( R ` x )
24		fvssunirn 5880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` x ) C_ U. ran R
25		rnss 5222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ` x ) C_ U. ran R -> ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R )
26		uniss 4259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( R ` x ) C_ ran U. ran R -> U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R )
27	24, 25, 26	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ran ( R ` x ) C_ U. ran U. ran R
28	23, 27	sstri 3506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R
29		rnss 5222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran R -> ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R )
30		uniss 4259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ ran U. ran U. ran R -> U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
31	28, 29, 30	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran ( .s ` ( R ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
32	22, 31	sstri 3506	. . . . . . . . . 10 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R
33		ovex 6300	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. _V
34	33	elpw 4009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R <-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) C_ U. ran U. ran U. ran R )
35	32, 34	mpbir 209	. . . . . . . . 9 |- ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) e. ~P U. ran U. ran U. ran R )
37		eqid 2460	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) )
38	36, 37	fmptd 6036	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R )
39		rnexg 6706	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. W -> ran R e. _V )
40		uniexg 6572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran R e. _V -> U. ran R e. _V )
41	5, 39, 40	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran R e. _V )
42		rnexg 6706	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran R e. _V -> ran U. ran R e. _V )
43		uniexg 6572	. . . . . . . . . 10 |- ( ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran R e. _V )
44	41, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U. ran U. ran R e. _V )
45		rnexg 6706	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran R e. _V -> ran U. ran U. ran R e. _V )
46		uniexg 6572	. . . . . . . . 9 |- ( ran U. ran U. ran R e. _V -> U. ran U. ran U. ran R e. _V )
47		pwexg 4624	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran U. ran U. ran R e. _V -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
48	44, 45, 46, 47	4syl 21	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V )
49		dmexg 6705	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. W -> dom R e. _V )
50	5, 49	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom R e. _V )
51	3, 50	eqeltrrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
52		elmapg 7423	. . . . . . . 8 |- ( ( ~P U. ran U. ran U. ran R e. _V /\ I e. _V ) -> ( ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
53	48, 51, 52	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) : I --> ~P U. ran U. ran U. ran R ) )
54	38, 53	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
55	54	ralrimivw 2872	. . . . 5 |- ( ph -> A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
56	55	ralrimivw 2872	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
57		eqid 2460	. . . . 5 |- ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) )
58	57	fmpt2 6841	. . . 4 |- ( A. f e. K A. g e. B ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) e. ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) <-> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
59	56, 58	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) )
60		fvex 5867	. . . . . 6 |- ( Base ` S ) e. _V
61	2, 60	eqeltri 2544	. . . . 5 |- K e. _V
62		fvex 5867	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) e. _V
63	6, 62	eqeltri 2544	. . . . 5 |- B e. _V
64	61, 63	xpex 6704	. . . 4 |- ( K X. B ) e. _V
65		ovex 6300	. . . 4 |- ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V
66		fex2 6729	. . . 4 |- ( ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) /\ ( K X. B ) e. _V /\ ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) e. _V ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
67	64, 65, 66	mp3an23 1311	. . 3 |- ( ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) : ( K X. B ) --> ( ~P U. ran U. ran U. ran R ^m I ) -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
68	59, 67	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) e. _V )
69		snsstp2 4172	. . . 4 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. }
70		ssun2 3661	. . . 4 |- { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
71	69, 70	sstri 3506	. . 3 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } )
72		ssun1 3660	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
73	71, 72	sstri 3506	. 2 |- { <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( +g ` P ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( .r ` P ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , S >. , <. ( .s ` ndx ) , ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( S gsumg ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( .i ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) ) >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( TopOpen o. R ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , { <. f , g >. | ( { f , g } C_ B /\ A. x e. I ( f ` x ) ( le ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) } >. , <. ( dist ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( x e. I |-> ( ( f ` x ) ( dist ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) >. } u. { <. ( Hom ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) >. , <. (comp ` ndx ) , ( a e. ( B X. B ) , c e. B |-> ( d e. ( c ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ( 2nd ` a ) ) , e e. ( ( f e. B , g e. B |-> X_ x e. I ( ( f ` x ) ( Hom ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ` a ) |-> ( x e. I |-> ( ( d ` x ) ( <. ( ( 1st ` a ) ` x ) , ( ( 2nd ` a ) ` x ) >. (comp ` ( R ` x ) ) ( c ` x ) ) ( e ` x ) ) ) ) ) >. } ) )
74	19, 20, 21, 68, 73	prdsvallem 14698	1 |- ( ph -> .x. = ( f e. K , g e. B |-> ( x e. I |-> ( f ( .s ` ( R ` x ) ) ( g ` x ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   u. cun 3467   C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   {csn 4020   {cpr 4022   {ctp 4024   <.cop 4026   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   {copab 4497   |-> cmpt 4498   X. cxp 4990   dom cdm 4992   ran crn 4993   o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   1stc1st 6772   2ndc2nd 6773   ^m cmap 7410   X_cixp 7459   supcsup 7889   0cc0 9481   RR*cxr 9616   < clt 9617   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549  TopSetcts 14550   lecple 14551   distcds 14553   Hom chom 14555  compcco 14556   TopOpenctopn 14666   Xt_cpt 14683   gsum_g cgsu 14685   X__scprds 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-prds 14692

This theorem is referenced by:  prdsle  14706  prdsds  14708  prdstset  14710  prdshom  14711  prdsco  14712  prdsvscaval  14723